探讨竖直平面内圆周运动的两个模型及拓展应用

韦山 谷柳宾

【摘要】圆周运动是高中物理教学的重要组成部分，其学习难度比较大。因此，教师可以以圆周运动的两个模型为突破口，降低圆周运动理论知识的学习难度，保证学生的学习效率，减轻学生课业负担。基于此，本文展开了分析，分别阐述了两种模型的基本原理及拓展应用案例。

【关键词】竖直平面内;圆周运动;两个模型;拓展应用

【基金项目】本文系2015年度广西教育科学“十二五”规划课题“高中物理课业负担问题研究”（项目编号：2015C257）阶段性研究成果。

竖直平面内的圆周运动理论比较抽象，在实际教学过程中，教师通过构建绳拉小球、轻杆带小球的运动模型，可以更好地让学生理解圆周运动原理，并进一步提高学生的知识实践能力和问题解决能力。在实际教学中，教师除了讲解基本的圆周运动理论知识外，还应当详细地讲解其应用方法，从而提高教学效率，减轻学生学习负担。

一、绳拉小球在竖直平面内的圆周运动模型

1.原理

如图1所示，轻绳一端拴着一个小球，其中轻绳在点O处是固定的。这样轻绳就可以在平面内进行圆周运动。当速度过快时，被轻绳拉着的小球就会做圆周运动。若速度达不到一定的值时，小球是无法做圆周运动的，因为小球所受的合力达不到物体做圆周运动的要求。对此，教师可以让学生思考在什么条件下物体能够做圆周运动。先就速度临界值来说，当小球在最高点时，绳子会提供向着圆心O的拉力。也就是说，小球总共受到拉力、重力两个力。当其中的拉力为零时，小球受到的合力最小，也就是其最小受力值等于小球的重力。这时，小球在最高点受到向心力主要由小球的重力提供，也就是：mg=mv2/R。通过计算可得出，其速度临界值为v=。当v>时，mv2/R>mg，也就是说当重力无法提供足够的向心力，维持小球的圆周运动时，小球就会向外远离圆心，绳子就会产生相应的拉力，以平衡小球。此时，小球的向心力为：mv2/R=mg+F。当v<时，小球就无法达到最高点。

在教学中，教师首先可以以此为模型，给学生演示圆周运动的过程，并详细讲解其中的原理。然后教师就可以将这一知识点进行拓展，以此提高学生的实践能力。

2.拓展应用

在拓展应用过程中，教师可以选择相似的题目巩固学生的基础学习能力和应用能力。如下面一道例题，如图2所示，绳子一段系着有水的水桶。当它在做圆周运动时，水的质量为0.5kg，绳长为0.4米。这时计算以下问题：①当水桶经过最高点时，水不流出时的水桶最小速度;②若水在最高点时，其速率为4m/s，那么桶底对水的压力是多大？从中我们能够看出，这道题目与绳拉小球模型相似。在具体求解的过程中，教师可引导学生将绳拉小球模型运用到这一问题的计算中。

首先，若水桶里的水无法流出，则表明水的重力要小于向心力，那么就可得出mg<mv2/R。其中m=0.5kg，R=0.4m，经过计算就能够得出其最小速度为2m/s。其次，若水的速率达到4m/s，则证明重力所提供的向心力无法提供水需要的向心力。水桶对水也有作用力，假设其为F。那么，通过对水进行受力分析，并结合第二牛顿定律可得知：F+mg=mv2/R。其中v=4m/s，R=0.4m，m=0.5kg。通过计算可得F=6.25N，方向是竖直向上。从中我们能够发现，虽然水桶对小球的结构、重力值等不相同，但是其关键在于维持圆周运动的基本条件，从这一方面入手才能找到解题方法。所以，在拓展应用过程中，教师应当注意多列举一些相似的题目，以学生的思维，巩固学生的基础知识。

二、轻杆带小球在竖直平面内的圆周运动模型

如图3所示，在轻杆带小球的模型中，小球是被固定的，且小球在轻杆的作用下做圆周运动。此时，轻杆既能提供一定的向着圆心O的拉力，也能提供背着圆心O的支持力，以保持小球的稳定。所以，在最高点时，轻杆也会提供作用力，中和小球的重力，从而使小球所受的作用力为零，保持平衡。与绳拉小球模型不同的是，绳子无法提供背着圆心O的支持力。

对这一模型进行讨论，我们可以将其分为以下四种情况。第一，在最高点时，若轻杆无作用力，而小球重力刚刚能够提供小球做圆周运动的向心力时，mg=mv2R，可计算出v=，轻杆对小球的作用力F=0。第二，在最高点时，轻杆对小球有作用，且与重力共同提供小球做圆周运动的向心力。显然，此时轻杆的作用与轻绳相同，杆对小球有向圆心的拉力，这样就能得出F+mg=mv2/R。显然，随着向心力的增大，輕杆对小球的拉力也会变大。第三，小球重力比较大，除能提供基本的圆周运动向心力外，还会给轻杆造成一定的压力。这时，轻杆就需要提供向上的支持力，以抵御小球重力的作用。根据这一受力情况，就可得出：mv2R+F=mg。此时，mv2R<mg，即v<，但速度不能为零，且F会随着速度的增加而减少。第四，速度为零，轻杆与重力相抵，即F=mg。从以上分析能够看出轻杆拉小球的模型比较复杂，因为轻杆可提供各种作用力，维持小球的稳定。这就需要我们具体问题具体分析，即便是在实际应用中，也要认真分析各种情况，这样才能保证结果的完整性。

如图4所示，轻杆的一端连接着小球，质量为m，轻杆长为l。当小球在竖直平面内做圆周运动时，若要保证小球能够做完整的圆周运动，则在最低点时，小球的速度至少多大？对于这道题目，我们需认真分析题目所提供的信息。首先，若是小球能够做完整的圆周运动，则小球在最高点时能维持圆周运动。因为从最低点到最高点是需要消耗能量的。只要小球在最高点时，维持圆周运动的基本条件，就能保证小球做完整的圆周运动。所以，我们可将最高点作为临界位置。结合轻杆拉小球模型得知，在最高点时，小球速率为零为小球做圆周运动的最小速度值。此时，小球重力等于轻杆支持力。结合上述分析及机械能力守恒，可得知，在小球从最低点运动到最高点的过程中，1/2mv最低=mgx2l+0，通过计算可得出，v最低=2。

综上所述，竖直平面内圆周运动的两个模型是理解圆周运动的基本原理的有效手段，快速解决相似问题非常重要，是减轻学生课业负担的好办法。这两个模型的关键点在于认真分析最高点时，小球的受力情况，学生只有充分掌握这一要点，才能充分利用圆周运动模型解决其他问题。所以，在这一课时的教学过程中，教师应当深入贯彻“授之以鱼不如授之以渔”的理念，提高学生的解题能力。

【参考文献】

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