例谈初中生直观想象能力的培养

徐德同 樊向阳

摘要：基于2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中主要考查直观想象能力的7个小题及6个师生问卷题的监测结果，对初中生直观想象能力的培养提出教学建议：借助模型进行合理想象;依据语言描述画（想象）出图形;建立数与形的联系意识。

关键词：学业质量监测直观想象画图数形联系

直观想象能力是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式，特别是图形，理解和解决数学问题的能力。主要包括：几何直观和空间观念。几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）图形的形状、关系，对數学研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力;空间观念作为一种抽象思维能力，更倾向于即使脱离了背景，也能想象出图形的形状、关系的能力。直观想象能力具体表现在三个方面：一是借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;二是利用图形理解数学概念，描述、分析数学问题;三是建立形与数的联系，把握不同事物之间的关联。直观想象能力从高到低可以分为A、B、C、D四个水平。

直观想象能力是数学关键能力的构成要素，是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。人类的一切知识都是从直观开始（得到概念），而以理念结束的。无论数学研究对象的存在，还是数学研究对象的关系，都离不开直观想象。

2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中，共设计了7个小题（下文提到的每一道试题都是其中之一，用具有明确含义的字母与数字组合进行编号——其中的“M”指数学，“8”指年级，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客观题，“S”代表主观题，后三个数中前两个代表题号，最后一个代表小题号）主要用以考查学生的直观想象能力。分析样本数据，我们发现，江苏省八年级学生的直观想象能力基本停留在会识图层面，想象力发展不均衡，有显著的区域差异和校际差异，文字语言和图形语言之间的转换能力不强，数和形相互转化和结合的意识更显薄弱。本文根据全省46262名八年级学生的测试成绩、问卷调查以及4573名数学教师的问卷调查得到的数据分析，对初中生直观想象能力的培养提出相应的教学建议。

一、借助模型进行合理想象

平面几何的研究对象是形象直观的图形，这些图形一般是从生活中的模型抽象而来的。在平面几何诸如线段、角、三角形等内容的教学中，可以适时借助模型进行演示，引导学生通过观察获得几何直观和空间想象的感性认识。本次测试中，试题M8BO031以生活中常见的几何体为模型，要求学生想象从不同角度观察得到的平面几何图形，虽然学生的得分率还比较高，但是数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生的得分率差异很大，反映了学生空间想象能力发展的两极分化。调查问卷中，我们设置了关于师生“学习（教学）几何时，老师让我们（引导学生）利用实物模型进行观察思考”的问题，结果表明，部分教师的教学依然过于依赖口头讲授，这在一定程度上造成了试题M8BO031的得分率与同层次问题相比不高的状况。

试题M8BO031下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）

本题主要用来测试学生“借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律”这一直观想象能力具体表现的水平状况。本题要求学生能正确识别空间物体的主视图、左视图和俯视图。能正确解答本题的学生的直观想象能力处于C及以上水平，具有知识理解的能力。本次测试中，本题的得分率为97.3%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为99.2%、98.1%、94.8%和79.7%。

本题典型的错误为选择D选项。教学中有很多不经意的做法、举措，看似提高了学生的分数，实则扼杀了学生的想象力。一次听七年级的课，有一道题是画出正方体的平面展开图，多数学生只用了不到一分钟就把11种展开图全都画好了。问学生为什么画得这么快，学生说老师要求我们按规律背下来了。这反映了一定的教学现状，即关注的焦点几乎集中在如何正确、迅速地解决问题，得到相同、刻板的“标准答案”，以及记住结论;而发现问题、分析问题过程中应该存在的想象和探求、讨论的过程都被压缩了。“以分数为准绳，以成绩为标杆”的教育观是阻碍甚至扼杀学生直观想象能力发展的最直接原因。

教学中，借助模型给学生足够的空间去想象探究，是发展学生直观想象能力的基本前提。几何教学，尤其是几何概念教学中，如果能经常借助特殊模型（如平行四边形、菱形、长方体、正方体等），让学生通过直观感知特殊模型中点、线、面的位置关系，积累图形的表象，增强图形的直观感，养成由直观到想象的思维习惯，则对培养学生的直观想象能力具有明显的促进作用。教学中，除了借助现成的模型之外，也可以利用活动课程让学生制作模型，从而了解平面图形是如何构造出空间图形的，对平面图形和空间图形的对应位置关系形成清晰的认识。学生动手操作的过程也是平面图形与立体图形之间转化关系的建构过程，能够增强学生的几何直观意识，发展学生的空间想象能力。

二、依据语言描述画（想象）出图形

几何的学习、研究离不开图形，加强学生的识图、画图能力显得极其重要。培养学生的识图能力时，教师要让学生掌握最基本的图形性质，掌握文字语言、符号语言和图形语言之间的相互转化。比如，教学“三视图”时，教师应该引导学生从左面、上面、正面三个不同的方向来观察、分析立体图形，了解图形之间的对应位置关系，理解几何体在各个方位的图形特征。培养学生的画图能力时，教师应该引导学生尝试脱离模型想象几何体的特征，并画出相应的视图。依据语言描述画（想象）出图形，是培养学生几何直观、发展学生空间观念、提高学生发现问题和分析问题能力的有效途径。由本次质量监测结果可以发现，依据语言描述画出图形，是八年级学生的薄弱环节：学生要从数字、图表、文字、说明等中提取适切的、关键的信息有一定的困难，文字语言、符号语言与图形语言之间的转换比较薄弱。

本题主要用来测试学生“借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律”这一直观想象能力具体表现的水平状况。本题要求学生能正确识别图形运动前后的形状、大小等位置关系和数量关系。能正确解答本题的学生的直观想象能力处于A水平，具有知识创新的能力。本次测试中，本题的得分率为96.7%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为99.3%、97.9%、94.8%和78%。

本題典型的错误是没有掌握“平面几何图形平移前后形状没有改变”的规律。在“图形变换”（图形的平移、轴对称图形的翻转、中心对称图形的旋转等）的教学中，应有意识地让学生想象变换前后图形形状、大小等位置和数量之间的关系。

三、建立数与形的联系意识

数学中，数与形是相互联系、密不可分的。建立数与形的联系，能加深学生对数学问题本质的理解和认知，从而使学生更快地找到解决数学问题的方法。建立数与形的联系，本质是将几何直观的直观性与空间想象的抽象性相结合，更加形象具体地体现数学知识“数”与“形”两方面的本质属性。理解数与形内在本质的一致性，建立数与形的联系意识，是发展直观想象能力的重要方法。遇到较难解决的数学问题时，可以依托几何图形表露的信息来确定其中的数量关系，也可以依靠数量关系来剖析当中的几何图形问题。也就是说，数形结合既可以利用几何图形对问题中的数量关系进行直观感知，借助“形”的直观性对“数”进行更好的理解和构建，在获取关于“数”的结论过程中借助“形”将表象的知识材料进行转化和重组，同时也是空间想象的过程，是“从数到形，从形到数”的相互转化。

试题M8AS172小明计划购买一双运动鞋，在购物网站上浏览，看到如下页表1所示的男鞋尺码对照表。

中码CHN220225230…250255260…美码USA4.555.5…7.588.5…（2）以表1中的中码为横坐标、美码为纵坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点。

本题主要用来测试学生“利用图形理解数学概念，描述、分析数学问题”这一直观想象能力具体表现的水平状况。本题要求学生能通过平面直角坐标系对收集的数据进行整理，从中探求并发现规律。能正确解答本题的学生的直观想象能力处于B及以上水平，具有知识迁移的能力。本次测试中，本题的得分率为93.5%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为99.5%、96.6%、85.7%和50.4%。

本题典型的错误是读错图形中对应的数，或者没有正确理解图形中数的含义，导致描点错误。教学中，要引导学生正确识别数字、图表、文字、说明等对应的信息，更要适时地引导学生借助图形理解概念、解决问题。这样既能增强学生的学习兴趣，又能培养学生的直观理解能力——直观理解能力是直观想象能力的核心要素。

比如，函数的图像是初中数学的重要研究对象。函数图像的几何特征能有效地反映函数的基本性质，利用图像有助于直观寻找理解和解决函数问题的方法。函数教学中，很多教师为学生总结了大量的考试必备的“结论”和“规律”，结果造成很多学生知其然而不知其所以然，做题时由数联想不到形，由形联想不到数，甚至出现记忆错误和混乱的情况。很多时候，问题就出在学生没有形成数形结合的眼光和思维。

此外，通过分析测试数据，我们发现，在学生直观想象能力总体和各个具体表现的发展上，城区与乡村之间、苏南与苏北之间存在显著差异。这就要求我们：一方面，加强乡村学校发展步伐，通过各种途径和方式给予其补偿性发展机会，从而缩小城乡教育质量差距，在更高的水平上实现教育的优质均衡发展;另一方面，在平时的教学中加强对数据的分析，遵循学生直观想象能力发展的规律，针对直观想象的不同表现，结合学生的已有知识和能力水平，有所侧重地安排教学任务，从而促进学生直观想象能力的全面发展。

本文系江苏省教育厅“基于测试分析的跟进式改革重大研究项目”中“义务教育学科核心素养和关键能力研究”（编号：2015jyktzd02）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 董林伟，喻平.基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J].数学教育学报，2017（1）.

[2] 孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012（7）.

[3] 〔德〕康德.纯粹理性批判[M].邓晓芒，译.北京：人民出版社，2004.