主动演绎过程，追求思维策略

摘要：在“生长数学”理念下，“三角形内角和”的教学目标是促进思维生长，教学活动是主动演绎过程，教学重心是追求思维策略。在这样的价值判断下，设计相应的教学活动，重点引导学生在证明三角形内角和定理的过程中，产生“式结构”与“形结构”的联想转化，不断生长新的思维，迸发新的想法，最终获得哲学方法论上的认识。由此获得的教学反思有：厘清知识逻辑是教学设计的前提;把握思维逻辑是教学活动的关键;明晰教学逻辑是教学活动的根本。

关键词：生长数学三角形内角和教学设计

一、“生长数学”理念下的“三角形内角和”教学价值判断

（一）教学目标是注重知识应用，还是促进思维生长？

“三角形内角和”这一内容，学生在小学已经初步接触过，通过测量角或“拼角”等活动已经知道了“三角形的内角和为180°”这一结论。初中再次研究这一内容，是对小学知识的重复，还是对其进行再构建、再生长、再创造？值得我们深思。

对于这一内容，部分教师在教学中只是简单地证明一下“三角形的内角和为180°”，而把大部分时间放在运用三角形内角和定理解决一些纯数学问题上，即把教学目标放在知识的应用上。笔者认为，这种做法只开发了“三角形内角和”教学的表象价值，没有挖掘出其智慧价值。而其智慧价值应该是让学生在探究“为什么是180°”的过程中，产生“式结构”与“形结构”的联想转化，不断生长新的思维，迸发新的想法;同时，产生一种超经验和数学美的体会，即三角形的内角和刚好是180°，不会多一分，也不会少一厘，它让人不得不信。

（二）教学活动是被动接受知识，还是主动演绎过程？

为了追求所谓的“教学效率”，很多教师在教学中往往会代替学生思考知识、方法的发现、发明过程，使学生成了被动地接受教师讲解知识正确性的听众。这种课堂上，学生不是真思考，而是假思考。对于“三角形内角和”，真思考的教学是让学生主动、全身心地投入发现三角形的内角和是180°、发明这个结论的证明路径和方法的过程中。一句话，就是让学生主动地演绎三角形内角和的发现过程和推理认证的发明过程。

（三）教学重心是训练操作程序，还是追求思维策略？

生活中有这样的常识：制造工具的价值远远大于使用工具的价值。因为制造工具是核心技术，是生产力，使用工具是程序性操作，是“打工者”思维。对于“三角形内角和”，同样存在这样的问题：教学重点是有序、规范地表达证明和解题过程，还是发展学生的策略性思维？笔者认为，规范表达不是不要求，而是要把握一个度;比其更重要的是开发学生的策略性思维。

二、价值判断下的“三角形内角和”教学活动设计

问题1（展示三角板教具）这个三角板可以抽象成数学中的什么图形？你能在纸上再画出一些这样的图形吗？

设计意图：从学生熟悉的三角形开始新课的学习，以此为这节课的生长点。让学生画三角形，学生会画出各种形状不同、大小不等的三角形。期盼学生画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类三角形，这些三角形将为后面探究三角形内角和的本质奠基。

活动预设：如果学生画出的三角形类型不全，可以追问：根据老师的要求，你還能画出一些不同形状的三角形来吗？使学生画全不同类型的三角形。此时，教师可以将学生画出的有代表性的不同类型的三角形画在黑板上（如图1），为下面将要进行的探究活动做准备。

图1

问题2老师在黑板上画出的三角形是同学们画出的形状不同、大小不等的三角形的代表。现在请同学们思考一下：这些长得不一样的三角形具有共同的特点（性质）吗？

设计意图：让学生回忆小学学过的三角形内角和的性质，引导学生感受几何学习中的“形变质不变”的神奇魅力。尽管三角形的形状与大小各不相同，但是，小学学过的知识会告诉学生，其内角和都为180°。对这个结论，在小学里，学生的认识可能还没有上升到“形变质不变”这样一个哲学化的层面，但是通过这样一个活动，凸显了三角形内角和性质的神奇，也践行了螺旋上升的生长理念。

活动预设：如果学生基础较弱，提炼不出三角形内角和的性质，可以追问或启发：尽管三角形的形状与大小不同，但是从“几何量”的角度看（对于“几何量”的概念，在“三角形概念”的教学中，就要明确对学生加以说明。因为研究几何图形，就是研究几何图形的“几何量”的关系），这些三角形都有什么元素呢？它们又有什么关系呢？从而把学生的思维聚焦到三角形内角（或其他“几何量”）上来，进而得到所需要的结论。

如果学生基础较好，一下子说出了很多关于三角形的性质，可以将这些性质一一写在黑板上，但是要利用“雕塑式板书”的艺术，将“三角形的内角和为180°”写在第一行。接着，引导学生“饭要一口口地吃，事要一件件地做”，追问学生：你们想先研究哪一个性质呢？此时，也可能出现不同的研究需求，这没有关系，因为受板书的提醒，会有部分学生表示想先研究“三角形的内角和为180°”，此时便可以利用教师特有的话语权，顺水推舟地迎合这些学生的想法，将教学活动推进到下一个环节。

问题3你们知道三角形的内角和是180°，那么知道为什么吗？

设计意图：讲道理（证明），是数学学科的重要精神追求和思维特征。再次提醒学生用“讲道理”的方法来说明结论，让学生认识到“这需要证明”。长期坚持这样的思维方式，有利于学生形成正确的世界观、价值观、人生观以及理性思维的品质。

活动预设：对于学生基础较好的班级，这种设计意图，不会存在任何意外。对于学生基础不是很好的班级，可能会有学生直接回答：小学老师告诉我们的。此时，要提醒学生注意审题：老师现在问你的是为什么三角形的内角和是180°，而不是谁告诉你三角形的内角和是180°的。使学生回到“需要证明”这个预设上来。另外，可能会有学生回答：通过撕角拼图可以说明三角形的内角是180°。这时，要让学生上台来动手操作，展示其通过数学实验验证的过程，并且把相应的图形保留在黑板上（如图2），为下面证明过程中辅助线的自然诞生做铺垫。然后，要指出“这是验证”，并且通过追问将数学思维自然生长到“如何证明”上来。

图2

问题4（1）根据撕角拼图的实验，你能想到怎样的证明方法？

（2）观察式子∠A+∠B+∠C=180°的结构，你能想到怎样的图形结构？从而得到怎样的证明方法？

设计意图：如何证明这个结论，是这节课的重点和难点。让学生自然地想到证明方法，很考验教师的数学理解和教学机智。笔者认为，数学学习是一个基于数学本质自然生长的过程——本质的东西是所谓的“大道”，最为简单、有效;而代数的本质往往落在“式结构”上，几何的本质往往落在“形结构”上。因此，数学教学应该行走在“式结构”与“形结构”的时空中，让它们擦出火花，埋下种子，进而生根、发芽、开花、结果。

回到证明“三角形的内角和为180°”这个命题上来，就是要在△ABC中，根据“∠A+∠B+∠C=180°”这个“式结构”，想象到具体的几何图形的“形结构”。具体地，“∠A+∠B+∠C=180°”这个“式结构”可以分为两个部分来认识：一个是“∠A+∠B+∠C”，其中的“+”就是要将∠A、∠B、∠C放（聚）到一起，由此能够自然地想到“撕角拼图”和“等角凑图”;另一个是“180°”，由此能够自然地想到平角模型、邻补角的和模型、平行线中的同旁内角的和模型。

因此，针对基础薄弱的学生设计问题4（1），让他们在“撕角拼图”实验的提示下，想到证明方法，同时感悟实验的理性价值与智慧价值;而针对基础较好的学生设计问题4（2），直接让他们产生对“式结构”与“形结构”的联想，获得证明方法，同时感悟控制变量思想的运用。

活动预设：对于基础薄弱的学生，可以通过问题4（1），引导他们得到下列三种基于辅助线的证明方法：（1）由拼成平角的实验（如图2），可以得到过点A作BC平行线DE图3（如图3）的证法;（2）由拼成邻补角的实验，可以得到延长BA到点E并过点A作BC平行线AD（如图4）的证法;（3）由拼成平行线中的同旁内角的实验，可以得到过点A作BC平行线AD（如图5）的证法。

图4图5

然后，引导学生反思：正因为三角形的三个内角的和是180°，我们才可以设计出‘拼角实验’，进而找到将三角形的三个内角拼成平角、邻补角或平行线中的同旁内角的辅助线，来证明此结论。

而对于基础较好的学生，则可以通过问题4（2），引导他们想到这三个基本的“形结构”。接下来自然地进入如何将三角形不在一起的三个内角，通过等角变换（改变角的位置，而不改变角的大小）放（聚）到一起的技术操作层面。虽是技术操作，但是思维含量不可小觑：有层次的思维应该是依次考虑变换一个角、两个角和三个角的可能性及方法。于是，根据“生长数学”最近联想、最近生长的原则，联想到作平行线可以实现等角变换：变换一个角的辅助线（如图5），变换两个角的辅助线（如图3、图4），变换三个角的辅助线（如图6），各种证明方法便应运图6而生了。当然，变换三个角还有变到三角形内和三角形外的情形，这里不再另述。

然后，引导学生反思：上述有层次的思维体现的其实是物理、化学、生物等自然科学中常用的控制变量法，即让一些量不变，另一些量改变;而在各个思维层次里，由于∠A、∠B、∠C “地位平等”，也可以有相应的辅助线变式。由此，帮助学生打通学科间的方法壁垒，理解“结构模型”本质性、包容性，提高思维的深刻性、灵活性。

最后，还要追问：为什么我们用一个三角形来证明内角和为180°，就可以认为所有的三角形的内角和都为180°呢？引导学生用运动的观点（如图7）反思上述证明不失一般性。

图7图8

问题5（1）如图8，在△ABC中，点D是边CA延长线上的一点，若∠B=48°，∠C=62°，求∠BAD。

（2）如图9，AB与CD相交于点M，如果∠A=∠D，求证：∠B=∠C。

（3）如图10，点B是线段AC上一点，并且∠A=∠DBE=∠C，求证：∠D=∠EBC。

图9图10

设计意图：这三题都是三角形内角和定理的简单应用。第（1）题可以引导学生得到三角形外角的性质这个推论。第（2）题可以引导学生挖掘对顶角相等的隐含条件，从而对“8字形”结构有初步的认识。第（3）题可以让学生初步认识“一线三等角”的结构。

问题6本课你学习了什么？你最大的收获有哪些？

设计意图：期盼学生能够总结出以下四点：一是数学上通常可以通过“式结构”来联想“形结构”，让这两种结构联系在一起，发挥数与形的力量;二是添加辅助线是解决几何问题的主要手段;三是平行线可以改变角的位置，不改变角的大小，从而把角放（聚）到一起;四是研究几何的视角就是探究图形变化的过程中“几何量”不变的规律。

活动预设：如果学生总结有困难，教师可以引导学生回顾这节课的数学活动。在学生小结的过程中，教师要用“雕塑式板书”的艺术，突出上述四个活动经验。

三、活动设计下的“三角形内角和”教学反思

“生长数学”教学理念凸显知识的生长性，指向思维的生长性，助力生命的成长。而生长性外显于逻辑性，下面从知识逻辑、思维逻辑、教学逻辑三方面来谈谈笔者对本课例的教学反思。

（一）厘清知识逻辑是教学设计的前提

数学教学活动是以数学知识为载体的，而数学知识及其发展是有先后顺序和逻辑关系的，这就必然关系着教学活动、教学过程的选择、设计和优化。因此，厘清知识的逻辑关系是设计教学活动的前提。

“三角形内角和”这一内容的知识逻辑，除了发现内角和为180°、证明内角和为180°、应用内角和为180°解决问题这些显性的逻辑之外，还有上述活动设计中提出的“变中不变”“不失一般性”的隐性逻辑。教学中，只有把显性逻辑与隐性逻辑加以整合，彰显知识的生长性和关联性，才能发挥数学教学的育人价值。

（二）把握思维逻辑是教学活动的关键

这里所说的思维逻辑是指，在教学过程中，根据要学习的知识逻辑，学生与教师所进行的思维活动的规律。思维逻辑不仅体现在知识本身上，还体现在参与教学活动的教师与学生的思维活动中。

本课例中，让学生从“180°”这个“式结构”自然想到“平角”“鄰补角的和”“平行线中的同旁内角的和”三种“形结构”，从“∠A+∠B+∠C”中的“+”自然想到“把∠A、∠B、∠C放到一起”，进而自然想到控制变量法、作平行线等，都是在让学生建立思维的逻辑，体会逻辑的价值，感悟生长的力量。

（三）明晰教学逻辑是教学活动的根本

这里所说的教学逻辑是指，在教学过程中，师生之间教与学全过程的思维及规律。教育的根本目的就是让学生更好、更快地生长、成长。一节数学课就应该讲述一个思维“故事”，在这个过程中带给学生终身受用的哲学方法论上的认识，即让学生“带得走”的能力和素养。

本课例中，让学生在证明“在任意△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°”的过程中，体会“干什么”（“+”意味着“把三个内角放在一起”）、“怎么干”（平行线可以改变角的位置，不改变角的大小，因此可以引入平行线）、“试试看”（用控制变量法）、“有何收获”（从“平等”的角度，产生了模型下的变式方法;从运动的角度，用一个三角形来证明内角和定理又“不失一般性”）。这种解决问题的全过程，有其特别的教育意义。因为这种思维方法，不仅是解决此问题的方法，也是解决所有数学问题的方法。从某种意义上说，又不仅是解决数学问题的方法，也是解决将来生活中、工作中遇到的各种问题的方法。

参考文献：

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