数学实验环境下的深度学习

张建山

摘要：数学实验的实践特征可归纳为从直观到抽象、从感性到理性、从经验到方法。这不仅关系到深度学习的表现形式、思维方式和通用技术，更有助于学生数学“三大能力”（抽象力、推理力、模型力）的发展，有助于数学核心素养的层级与缓存，能实现数学思考阶段性目标的定性发展。以《主视图、左视图、俯视图》一课的片段为例进行说明。

关键词：数学实验深度学习三视图

文献研究显示，深度学习（deep learning）是对学习状态的质性描述，涉及学习的投入程度、思维层次和认知体验等层面，强调对概念本质的理解与把握，及其对学习内容的扬弃与可持续利用，实现学习的正迁移和有思维的问题解决。这里的“有思维”主要聚焦概念的工具性、概念性以及关系性的理解与定位。在R.斯根普看来，“工具性理解”是一种程序性理解，即一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作;“关系性理解”则还需要加上对符号意义或替代物本身结构上的认识。朱桂凤老师觉得，斯根普提出的工具性理解和关系性理解跨度太大;从数学学科的认知过程来看，应该还有一个基于学科本身的内部的理解过程，也是概念形成和概括的核心过程，可以称之为概念性理解。当然，数学知识的学习要更多地定位于关系性理解，只有从工具性理解达到关系性理解，才能把握数学对象的本质。

数学实验作为一门实践学，追求的恰是“数学思考”（即“有思维”）目标的有序实现，以及概念意义的深度建构和思维方式的概括与表征。但由于初中学生的抽象、推理和模型思维尚待发展，形象思维大于抽象思维，工具理性大于概念理性，概念理性大于关系思维，就决定了数学实验的实践特征可归纳为从直观到抽象、从感性到理性、从经验到方法。这不仅关系到深度学习的表现形式、思维方式和通用技术，更有助于学生数学“三大能力”（抽象力、推理力、模型力）的发展，有助于数学核心素养的层级与缓存，能实现数学思考阶段性目标的定性发展。

下面，以江苏省连云港市“特级教师走基层活动”中朱桂凤老师执教的苏科版初中数学七年级上册《主视图、左视图、俯视图》一课的片段为例，试谈笔者对数学实验环境下的“深度学习”（基于抽象力、推理力和模型力的发展）的些许思考，并以此彰显数学实验课程的实践意义及其“思维扶贫”的微言大义。

一、从直观到抽象：数学实验深度学习的表现形式

在数学实验实践学范畴，直观是数学实验运行的基本方式，抽象是数学实验的目的，从直观到抽象是深度学习的表现形式。在数学实验教学中，实验内容与步骤的确立就是直观思维得以运行的行动载体，实验结论的概括与提炼就是数学抽象力发挥作用的行为表现;从直观到抽象的过程就是数学实验环境下深度学习的基本途径，有助于数学理解目标的实现。一般地，数学实验对数学思考目标的补偿作用，不止于过程性目标，还在于结果性目标的最大化达成。也就是说，数学思考的成效最终要通过结果性目标来表现。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011版）》）看来，结果性目标“了解”是从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征，还要根据对象特征从具体情境中辨认或举例说明对象。这就是数学实验发生概念层的基本目标，与概念的工具性理解显性相关。

【教学片段1】

活动1：请两位同学走到黑板前，并排面向全体同学站立后连续向左转。

活动2：请学生看投影，并齐声朗读苏轼的《题西林壁》。

师这两个活动要告诉我们什么？说说你的想法。

生从不同方向看同一物体，物体形状可能会不同。

生要较为全面地认识一个物体，通常需要从多个方向观察。

活动3：画一画。依次出示问题：

图1（1）如图1，从上面、左面、正面看一个球，看到的图形分别是什么？请动手画一画。

（一位学生展示。）

师这些图形能不能随便画？

生不能。

（2）动手配对：如图2，观察四棱锥，右边3幅图分别是从哪个方向看到的？

图2

（一位学生展示：把3幅图分别拖到从上面、正面、左面看的对应位置。）

师（投影一个没有画出对角线的正方形）能不能说从上面看到的是这样的图？

生不能。应该能看到四棱锥的棱和顶点。

师画的时候又该注意什么？能不能随意画两个三角形？

生两个三角形要一样大小，画图时要注意对应的长度一致。

（3）动手配对：如下页图3，桌面上放着一个圆柱和一个长方体，请找出下面3幅图分别是从哪一个方向看到的？

图3

（一位学生展示：把3幅图分别拖到从上面、正面、左面看的对应位置。）

从“直观”到“抽象”是概念发生环节的关键词。直观意味着知道具体对象，抽象意味着知道对象特征，从直观到抽象旨在让学生举例说明对象特征。在数学实验深度学习实施范畴，从直观到抽象的思维形态表现在三个层面：一是目标定位的适应性，能让每一个学生获得良好的个体数学发展，知道应知应会的知识;二是实验思维的补偿性，能让每一个学生都有“够到桃”的抽象机会;三是思维反应块的层次性，能让每一个学生都有发展多元思维的契机，形成概念的本质特征，剔除概念的非本质属性，实现“了解”概念的目标，及其抽象过程的支持性条件（直观的问题情境）。这些带有刺激物特征的问题反应块，实现了从直观到抽象的“深度学习”意义，即思维的适应性、补偿性和层次性;并落实了数学思考的“工具性”目标，当然这里的工具性除了具有程序性知识的意义，还有思维工具本身的指向意义。

课前，执教者通过投影，明确了本节课的学习目标：（1）在具体情境中，获得直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图的画法;（2）在问题解决中，判断简单物体的视图，知道視图的应用，发展空间观念。这既是对《课标（2011版）》中第三学段（7—9年级）“图形与几何”领域课程内容“通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念;会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据简单的视图描述简单的几何体”的课时化考量，更是对本节课作为概念起始课的基于“从直观到抽象的三层思维形态”的整体预设。

执教中，让两位学生上台展示，其他学生在“连续向左转”思维的参与下，看到了同学身体的四个面。朗读《题西林壁》活动的跟进，意在通过两个活动中图文的变换，掩映图形变换思想，让学生明白“从三个方向”看到的同一个物体的图形有可能是不一样的，同时，感知至少从三个方向上看一个物体，才能把握物体的概貌特征。这组活动实现了与小学“从三个方向看”概念意义的自然衔接，既是唤醒经验，更是为下一步“够桃”备好垫脚的“凳子”。活动3中的3个梯级问题是“思维反应块”，意在让学生在画图与选择中不断地抽象“三视图”的特征，有助于概念的发生与形成，在过程性“做数学”中达成了解概念的目标。其中，问题（1）是从“从三个方向看”到“三个视图”的思维过渡，是从小学几何到初中几何的衔接，有助于学生感知中心投影的物理压缩意义，以及课时目标的准确定位;问题（2）是示范“三视图”的画法和规则，有利于引导学生规范画图意识，养成科学思维;问题（3）则是由简单到复杂的思维范式，引导学生的数学思考由“单一思维”走向“组合思维”，落实概念抽象和重组的意义，为概念的迁移提供直观数学实验的思维基础。

二、从感性到理性：数学实验深度学习的思维方式

在数学实验深度学习范畴，感性思维是知识获得的逻辑起点，理性思维是知识保持的支持条件，从感性思维到理性思维的变迁是概念理解的数学思维方式。数学思考为深度学习提供支撑，深度学习的层次支配着问题解决的水平和方向，为数学思考提供不可或缺的铺垫。进一步而言，举一反三的数学例规法及其触类旁通的问题解决套路，都为数学实验的有序操作提供深度学习的支撑。在过程性体验目标的支配下，数学实验作为一种理解知识的程序，可促发概念理解目标的层次性实现。例如，从“用细木棒搭三角形”获得“三角形三边制约关系”，就是从感性到理性的实验过程。其中，“较短两边的和大于最长边”结论的提炼，就是深度学习的结果形态。

认知心理学将理解问题看成是头脑中形成问题空间的过程。问题空间是个体对一个问题所达到的全部认识状态，包括问题的起始状态和目标状态以及由前者过渡到后者的各种中间状态和有关的操作与推理。在大尺度的数学实验逻辑推理范畴，起始状态就是感性思维，目标状态就是理性思维，由感性到理性的过程就是起始状态过渡到目标状态的外在思维方式。《课标（2011版）》把“理解”看作是描述对象特征和由来（概念的起始状态），阐述对象与相关对象之间的区别和联系（概念对象与相关对象之间的关系）。正如从“从正面、左面、上面看”到“主视图、左视图、俯视图”概念的形成，就是从感性到理性的一个生动的例规性非完全推理。其实，从“选择、辨认‘三视图’”到“画出‘三视图’”的过程就是从感性思维上升到理性思维的过程，实现了对概念本质特征的进一步把握。不难理解，这些层次性思维有助于概念的概念性产生式形成，与概念的结果性目标具有内部关系一致性，发展了学生的概括与表征水平。

【教学片段2】

活动4：如表1，观察表中所示物体，将看到的图形填入表中。学生画图后，分组展示。

师画出图形的大小有什么要求？

生画图的大小要与原几何体一致。

师具体要怎么做才能让画图的大小与原几何体一致？请小组讨论后，分别汇报交流。

（学生分组展示后，归纳出画图大小规范的标准：长对正、高平齐、宽相等。）

师请尝试用自己的语言给主视图、左视图、俯视图以描述性的概念。

（兩位学生分别给出自己的概念描述。）

图4活动5：如图4，请尝试画出该物体的“三视图”，并将自己画图的结果与课本上的结果相比对，进一步体会如何才能规范画图，并把自己的想法与同伴交流。

在数学实验中，数学认知理解目标达成的质量，受深度学习问题反应块的支配：适度的问题有助于概念的理解与把握，正如适量变式练习是形成心智技能的重要途径。为了追求适合的问题反应块，需要做好三个层面的数学实验操作：一是提出问题，落实数学实验的概括功能;二是解决问题，搭建数学实验从感性思维上升到理性思维的台阶;三是元认知体验，落实概念的概念性理解，即概念发生的必要性和来龙去脉。

在“三视图”概念的形成与使用模块，就是突出感性思维到理性思维的过渡状态，有利于概念的认知理解以及过程性目标的实现。教学片段2中，活动4让学生先从三个方向看，再画出三个基本几何体的“三视图”。这是教学片段1中“配对”活动的认知升级，使“三视图”概念的感性特征愈发明显。画图后的交流反思意在让学生评价思维结果的科学性和规范性，进而具体理解“长对正、高平齐、宽相等”的实际意义。这是落实理性推理的支持条件，进而在由特殊到一般思想引领下，能顺利给出“三视图”的描述性概念。活动5让学生在画出复杂几何体“三视图”的基础上，分组评价画图结果，并且在与课本对照的过程中，进一步确定理性画图方法。如果说活动4含有感性思维的成分较多，那么活动5更多的是理性思维的载体，确认理性画图方法就是元认知体验的具体表现，落实了从感性到理性认知理解目标的有序实现，突出了数学实验深度学习的推理特征：经历推理、概括与反思，形成概念性理解的能力。

三、从经验到方法：数学实验深度学习的通用技术

心理学研究表明，专家之所以具有较强的迁移能力，原因之一就是他们具有解决某一问题的丰富的背景经验或认知结构。在数学实验评价学范畴，背景经验可以理解为一种客观的知识结构，方法体系可以理解为一种个体的认知结构，将知识结构转化为认知结构的过程就是从经验到方法的实现过程。在实践学范畴，数学实验是通过对实验现象和结果的分析、表征与应用，以及相应的“请用语言描述你的发现”“你怎么知道的？”“下一步，你还需要怎么做？”等带有元认知监控特征的活动，诱发深度学习发生的。这里的深度学习主要包括元认知层面的分析、反思与评价，有助于认知迁移的实现，是经验转化为方法的通用技术，更是对概念进行关系性理解，形成和发展模型力的不可替代的途径。

【教学片段3】

活动6：如图5，分别画出图中两个物体的主视图、左视图、俯视图。学生独立画图。

图5

师与活动5中的“三视图”结果相比较，有什么不同？产生这些不同的根本原因是什么？

（学生分组展示。）

活动7：如图6，该几何体由大小相同的小立方体搭成。

（1）请在方格纸中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图。

（2）现在你手头还有一些相同的小立方体，如果保持俯视图和左视图不变，那么在这个几何体上最多可以再添加几个小立方体？为什么？说说你的想法。

图6图7

活动8：小结反思。

（1）举例说明，经历本节课的学习，你获得了什么？

（2）举例说明，你知道了什么？

（3）你对图形世界有了哪些新认识？

活动9：图7是一个由长方体和圆柱组合而成的几何体。已知长方体的底面是正方形，其边长与圆柱底面圆的直径相等，其高也与圆柱的高相等。

（1）画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图;

（2）若圆柱底面圆的直径为a，高为b。现将该几何体露在外面的部分喷上油漆，求需要喷漆部分的面积。

进一步而言，在数学实验环境下，深度学习表现为三个思维层面：

第一是应用意识。也就是有意识地利用数学概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。如，从“从三个方向看”到“三视图”概念的抽象，就是应用意识的第一个层面。此外，还包括认识到现实世界中蕴含着大量与数量有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法加以解决。在整个数学实验过程中，应该注意培养学生的数学应用意识。活动7第（2）问的解决，需要思维在几何体与“三视图”之间不停往返，这是应用概念的行为，带有逆向思考的特征，实现了将数学实验的活动经验上升到数学方法体系层面，落实了概念的关系性理解，驱动了数学实验的概念经验转化为概念方法的内部支持。

第二是發展区意识。就是使学生思维知觉水平与问题思维水平一致，经历问题解决能将学生的事实发展水平上升到现有发展区水平，从而有助于从经验到方法目标的有序实现。当然，任何实验经验的层级最终都需要结果性实验目标的达成，这就要求学生掌握和运用概念。一般情况下，掌握是在理解的基础上，把对象用于新的情境;运用是综合使用已经掌握的对象，选择和创造适当的方法解决问题。前者是概念使用层，后者是概念解释层。无论概念的掌握还是运用，都与概念的关系性理解具有内部关系一致性。比如，活动6就直接指向掌握概念的结果形态。与活动5画图结果的比对（教师的追问），意在让概念的结果形态在“同与不同”及“同与不同背后原因的思索”中愈发丰满，为概念使用层级提供足够的理解基础。而活动7第（2）问的解决过程中，互逆思维的使用，正是概念使用与概念解释两个不同层面往复的过程。这个问题触及学生的问题解决能力，是对结构概念的一种最好解释。好的数学实验总是在引导学生进行数学思考的同时，关注培养学生的问题解决能力——这才是最好的数学实验教学，也是有质量的深度学习的外在表现。

第三是元认知意识。一般情况下，它是对认知活动的认知，是对概念意义的解释与拓展。《课标（2011版）》明确指出，数学知识教学要把每一堂课教学的知识置于整体的知识体系中，注重知识之间的结构和体系，处理好局部与整体的关系，引导学生感受数学的整体性，体会某些知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。为此，基于深度学习，执教者建构了包括提出问题、合作探究、讨论反思、认知回流、应用解释等实验模型，有助于学生在实验过程中，将整体思维纳入自己的认知结构，实现对知识的系统把握，达成“知其然，知其所以然”的目标。在活动8这一结课环节，执教者就是基于“从经验到方法”，让学生在反思评价中，获得基本方法（基本套路），及时将数学实验外在的操作行为转化为概念解释力，实现深度学习，培养模型意识。比如，小结中的“举例说明”本身带有元认知意识，有助于学生形成上下贯通、左右衔接的知识体系，是将实验经验上升到实验方法的通用技术。另外，活动9的问题设置是由“三视图”回归代数思维的表现形式，而代数思维本身就是一种模型，也是一种元认知意识，即“画图—模型—解释”，这有助于概念认知结构的迁移与变式，有助于元认知目标的实现。

*本文系江苏省中小学教学研究第十二期重点资助课题“基于‘深度教学’视角的数学实验常态化实施实践研究”（编号：2017JK12ZA11）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 康淑敏.基于学科素养培育的深度学习研究[J].教育研究，2016（7）.

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[3] 张安军.分类思想在人教版初中数学教材中的作用及其教学启示[J].中学数学，2018（8）.