浅谈三角函数的解题方法

杨进花

摘要：在高中数学研究中，对三角函数的掌握可以帮助学生分析问题，很好的深入掌握一些函数的性质和图像，不同类型的三角函数用不同的方法进行求解，对这个主题进行研究和总结是非常有必要的，在高考数学中，三角函数的求解是占了很大的比例，在高中数学学习中学好三角函数对我们是非常重要的。

关键词：三角函数;单调性;周期性;奇偶性;最值;对称性

三角函数的学习涉及广泛，需要学生用大量时间学习相关知识，所以学生在学习过程当中会感觉到有一定的难度，教师在教学过程中要启发和引导学生学习类比，推广，特殊化，整体代换等的数学思想，使学生学会数学思考与推理，不断提高数学思维能力。从解析几何的学习中，我们感受到代数方法（数及其运算）在研究几何问题中的作用和有效性，通过本章的学习可以发现，“只变其形其质”的代数变换，这种变换是解决数学问题的重要手段，三角变换也是“只变其形其质”的，这种变换是解决问题的关键;所以在教学中我们要”觀察”，“思考”，“探究”相结合，教学是教师的教与学生的学的统一的过程，是师生交流，积极互动，共同发展的过程，一种全新的，主体性的教学模式应运而生，引起教师与学生之间知识上有意义上的讨论，学生掌握知识，形成能力，沟通现实生活与数学学习，将抽象的数学问题与抽象定义之间的桥梁，诱发学生思维的积极性，引起学习更多的联想，能容易调动学生已有的知识经验，感受和兴趣，学生不会感到枯燥，使学生自主参与知识获得过程，问题的解决过程，让学生的学习兴趣大大的提高，同时也极大的促进了学生的学习能力。

一 三角函数的定义：

我们知道，实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应的唯一的正弦（余弦）值，由这个对应法则确定的函数叫正弦（余弦）函数，用y=sinx（y=cosx），他们的定义域都是实数集R。

二 三角函数的图像

[1]三角函数的图像可以通过实验得到：

在高中数学教学中，三角函数的图像是塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏抖，再挂在架子上，做成一个简单的单摆，在正弦余弦的下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横坐标，把漏抖灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可以得到一个正余弦曲线。

[2]数学方法得到正弦余弦曲线

将单位圆均分成12等分，过圆上各分点作X轴的垂线，得到对应于 ... 。角的正弦线，相应地，再把x轴上从0到 的这一段分成12等分，把X轴的正弦线向右平移，使它的起点与X轴重合，再把这些正弦线向右平行，使它的起点与X轴的点重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来，就可以得到正弦函数的图像了。

[3]学生作正弦函数的图像时常采用的五点作图法。解题时常采用整体代换的思想。

三 三角函数的性质：

【周期性】由三角函数的图像可知三角函数是一个周期函数，并且最小的正周期为2 ，计算公式为：

【定义域】正弦函数的定义域为R。

【单调性】正（余）弦函数的图像在R上是一个连续的无限延展波浪形状的数学图像，y=sinx单调递增区间为[ ，单调递减区间为 ;y=cosx的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。在求解正（余）弦函数的单调性时一定要保证表达式中 的系数为正，但系数为负数时要先提出一个系数来，变成y=-sinx，单调性与原来函数相反，余弦函数的单调性与原来函数相同。

【奇偶性】正弦函数为奇函数，图像关于原点对称，余弦函数为偶函数，图像关于Y轴对称。

【最值】正弦函数和余弦函数的图像都夹在Y=1和Y=-1之间，对于y=sinx，在 时取得最大值为1，在 时取得最小值为-1;对于y=cosx，在 时取得最大值为1，在 时取得最小值为-1.

四 三角函数 的解析式

求解三角函数的解析式在高考中有重要的意义，主要有以下几个方面：A等于函数的最大值减最小值的二分之一;求W前必须先求周期T，而一个简谐运动中四段为一个周期，依据函数的图像可以求解出T，即又因为 ，可以求出W的值， 要用五点法来进行求解，主要是设第一点： 第二点设 ，第三点设 ，第四点设 ;B等于函数的最大值加最小值的二分之一。

五：三角函数 中求解问题。

中求解周期，单调性，最值，对称性，主要的方法就用整体代换，即将 看成一个整体，将 换成 型的形式，利用标准的 的图像和性质来进行求解，但问题就来了，在具体求解的三角函数中，往往不会给你 的形式，是需要求转换为标准形式，一般情况下利用以下几种方法将转换为标准形式，（1）利用和差角公式，（2）利用二倍角正弦公式，（3）利用正余弦函数的升角降幂公式，（4）利用三角恒等变换公式： ，利用以上四种方法将三角式子换成标准形式 ，就可以求解了。

总之：三角函数这章的知识面比较广，问题具有一定的复杂性，需要记忆和理解知识多，而且还要灵活的运用涉及的公式，需要通过总结复习，对所学的理论进一步强化，应做好错题记录本和练习本，了解自身的不足，并对自身的不足进行反思，完善，找到适合自己的学习方法，做到举一反三，养成反思的好习惯，最终实现高效学习。教师在教学过程中要帮助学生掌握正确而科学的学习方法，能让他们终身受益，古人云：“授人以鱼，不如授人以渔。”我要求学生根据相关的问题要主动的去查询资料，然后去整理利用这些信息来设计恰当的学习活动，有助于学生掌握知识和能力要求。

参考文献：

[1]彭雨韵，《关于高中学习的心得体会》

[2]章建跃，普通高中课程实验教材人教版。

[3]《中学生报.教研周刊》知网查询方法http：//cnki.net。