初高中数学教材衔接的部分试题剖析

潘丽钦

摘 要：用党的十九大精神统领高考命题，强调创新精神，实践能力的培养。由于初中数学与高中数学在知识内容上存在一些空缺或者衔接不当。所以在讲授高中新课之前，应当补充一些衔接知识，以使学生能尽快适应高中数学。本文通过以下初高中数学知识“脱节”点做出部分相应的试题剖析，使学生培养高中数学所应具备的素养。

关键词：立方和与差的公式；因式分解；二次函数；二元二次方程组及其在圆锥曲线中的应用；裂项相消与倒序相加.

1、立方和与差的公式：初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

（1）立方和公式 ：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3

（2）立方差公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3

例1、下列各式：

（1）（4+m）（16-4m+m2） （2）（1/5m-1/2n）（1/25m2+1/10mn+1/4n2）

解：原式=43+m3=64+m3. 解：原式=（1/5m）3-（1/2n）3=1/125m3-1/8n3

2、因式分解：初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。

例2、因式分解：（1）12x2-5x-2 （2）5x2+6xy-8y2

解：（1）12x2-5x-2=（3x-2）（4x+1）

（2）5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）

3、二次函数：初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值， 二次不等式恒成立问题等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容。

中学数学中常用的配方形式有：

（1） ax2+bx+c=a（x+b/2a）2+（4ac-b2）/4a；（2）a2+b2=（a+b）2-2ab ；

（3）（a-b）2=（a+b）2-4ab ；（4） ；

（5）a2+1/a2 =（a+1/a）2-2

例4、已知x2-3x+1=0，求x3+1/x3的值.

解：∵x2-3x+1=0 ∴x≠0 ∴x+1/x=3

原式=（x+1/x）（x2-1+1/x2）=（x+1/x）[（x+1/x）2-3]=3（32-3）=18

例5、 若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根.

（1）x12+x22； （2）1/x1+1/x2； （3）x13+x23.

解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根，

∴x1+x2=-5/2，x1x2=-3/2.

（1）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-5/2）2-2·（-3/2）=4016；

（2） =1/1003；

（3）x13+x23=（x1+x2）（ x12-x1x2+x22）=（x1+x2）[ （ x1+x2） 2-3x1x2]

=（-5/2）×[（-5/2）2-3×（-3/2）]=-215/8.

例6、 解下列分式不等式：

（1） （2x-3）/（x+1）<0 （2） 1/（x+2）≤3

解：（1）不等式（2x-3）/（x+1）<0等价于（2x-3）（x+1）<0，

所以原不等式的解为：-1

（2）

所以原不等式的解为：x<-2或x≥-5/3。

例7、关于x的不等式mx2-4mx+m+3=0在R上恒成立，求实数m的取值范围.

[解析]：（1）m=0时，不等式在R上恒成立

（2）

∴由（1）、（2）可得，m的取值范围为[0，1）.

4 、二元二次方程组及其在圆锥曲线中的应用：

例8、 求直线x-2y-2=0与椭圆x2+4y2-4=0的交点。

解：二元二次方程組

由②，得 x=2y+2， ③

把③代入①，整理，得： 8y2+8y=0，

即 y（y+1）=0. 解得 y1=0，y2=-1.

把y1=0代入③， 得 x1=2；

把y2=-1代入③， 得x2=0.

所以原方程组的解是

所求交点是（2，0）和（0，-1）

说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解.

5、裂项相消与倒序相加：

常用裂项形式有：

（1） ；（2）

（3） ；（4）

例9、已知函数f（x）=x2+2bx过点（1，2），若数列{1/f（n）}的前n项和为Sn，则S2 015的值是________.

解：∵函数f（x）=x2+2bx过点（1，2），∴1+2b=2，解得b=1/2.

∴f（x）=x2+x.∴1/f（n）=1/[n（2+n）]=1/n-1/（n+1）.

∴Sn=（1-1/2）+（1/2-1/3）+…+[1/n-1/（n+1）]=1-1/（n+1）=n/（n+1）. ∴S2 015=2015/2016.

通过以上部分试题剖析，可以知道，初中内容“浅、少、易”，与学生生活贴近，简单、具体形象；高中内容“起点高，容量多，难度大”，概括性、抽象性、逻辑性明显增强。高 一教学重在培养学生良好学习习惯，培养学生分析问题，解决问题能力，把学生掌握“基础知识，基本方法”，放在首位。我们要真正树立素质教育和新课程的理念，用课标新教材的思想来看待衔接教学，要敢于降低高一上学期的教学目标，真正做到低起点、缓坡度，扎实搞好衔接教学，促进学生全面发展和健康成长。

[参考文献]

[1]黄鸿樱，辛林.初高衔接视角下的中考函数试题剖析，福建中学数学，2012（12）：7-8.

[2] 林传利.关于初高中数学学习衔接的若干思考，福建中学数学，2014（9）：25-26.

[3]余胜利.从中学生认知发展角度促进初高中数学衔接.中学数学教学参考（上旬），2014（6）：39-41.