抛物线及其标准方程课堂创新实录

韩伟 任秀忠

抛物线及其标准方程是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）选修2-1中的第二章第四节的内容，是继椭圆、双曲线之后的第三大圆锥曲线，有着广泛的应用。本节内容在初中二次函数学习中已经探讨过，学生已经对抛物线并不陌生。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，有着承上启下的作用。

教学目标

知识与技能：掌握定义;掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。过程与方法：通过二次函数的图像发现抛物线的几何特征，进一步总结出抛物线的定义;并分小组探讨开口四个方向的抛物线的标准方程的过程，进一步理解求曲线方程的方法—坐标法;培养学生在解决数学问题时能够具备观察、类比、分析、计算的能力。情感、态度与价值观：让学生体验研究解析几何的基本思想，发现问题，归纳猜想证明的数学重要方法，进一步体会数形结合的思想，特殊到一般的数学思想方法。

教学重点与难点

重点：抛物线的定义;根据具体条件求出抛物线的标准方程;根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程。难点：抛物线的标准方程的推导。

教学方法与过程

采用“主动学习与创新意识培养数学课堂教学模式”。

设计问题，创设情境 上课开始，播放NBA球员科比的精彩投篮视频。同时启发学生：多么精彩的投篮，多么优美的曲线。有人说数学是枯燥的，是抽象的。其实，数学是美的，是“玩出来的”。请同学们合上课本，让我们一起研究圆锥曲线里的第三大曲线抛物线。请同学们回忆下，我们在数学学习中，接触过抛物线吗？学生马上回答：在初中学习的二次函数的图像是抛物线。教师继续：我们学过的二次函数的图像是开口向上或向下的抛物线，已经学过它的对称轴、顶点坐标等问题。那么抛物线到底有怎样的几何特征和哪些性质？请同学们拿出我们的研究性探究学案，自主完成后以小组为单位进行交流并进行展示。

学生探索，尝试解决 学生根据探究学案进行探究，并相互交流所得结果。老师指导并与学生交流。学生利用实物投影说明自己的结论，老师追问为什么选择这五个点，测量的结果，你发现了什么规律？你是如何证明这一规律的，化简过程中的关键是什么？对研究问题的方法进行总结。在小组讨论和推导中，老师不断指导学生讨论。

信息交流，揭示规律 根据学生讨论的结果，教师与学生一起总结出抛物线标准方程的四种形式，那么如何区别这四种形式的方程呢？提示：抛物线的开口，焦点在什么轴上与什么项有关;方程中的一次项系数和焦点的坐标值有何关系;焦点坐标和准线方程有什么关系？学生认真思考，讨论后回答。总结为：开口的方向与一次项的系数的正负有关，焦点所在的坐标轴就是一次项所对应的坐标轴，一次项的系数和焦點的坐标值是4倍的关系，焦点坐标和准线方程对应的值是相反数的关系。

运用规律，解决问题 教师给学生两组习题让学生快速完成。

1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y2=20x （2）y=2x2

（3）2y2+5x=0 （4）x2+8y=0

2.根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

（1）焦点是F（3，0）（2）准线方程为x=-  （3）焦点到准线的距离是2。

通过习题学生熟悉标准方程和准线，焦点的关系，让学生感受到抛物线标准方程的四种形式对解题的重要性。

变练为编，深化提高 将题目变一变，锻炼学生的发散思维，请每组同学编出一道抛物线的问题，其他同学解答，并进行小组讨论。学生分别组成小组编制试题，有的是简单数值的变换，有的是多条件的变换，通过编题，把权利下放给学生，调动了学生的积极性，发挥了学生的创造性。

信息交流，教学相长 让学生总结解题规律，如已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，先定量后定位，反之要先定位再定量;由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定p的一个条件就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定。

反思小结，观点提炼 本节课除了学生掌握抛物线的定义和抛物线的四种形式的标准方程这些知识之外，我们还通过研究几何性质运用了归纳猜想，证明重要数学方法体现了从特殊到一般的数学思想;通过推导抛物线的标准方程给抛物线插上了数的翅膀，为进一步研究抛物线的几何性质打下基础，体现了数形结合的数学思想。

当然，在数学的学习中，还需要同学之间的合作探究精神和认真观察、善于思考、大胆猜想、小心证明的良好思维品质。同时给学生留下课后作业，让学生结合所学知识内容说明二次函数。

结束语

借助学生原有知识结构，从学生最近思维发展区上提出问题，是本节课一大特点。本节课以开口向上的抛物线为研究对象，改变了教材中以开口向右的抛物线为研究对象的做法，实际是对已学习的二次函数图像的升华，使学生更容易理解和接受抛物线的定义。

（作者单位：山东省惠民县第一中学）