复合函数求导教学改革方案

李婧岩 李晓虹 程丛电

摘 要：提出一种复合函数求导教学改革方案.方案通过加深理解一元复合函数求导与多元复合函数求导的共性与联系出发，改革复合函数求导教学，提高教学水平.一元复合函数的求导公式与链式法则是学好复合函数求导的关键，加深对二者共性与联系的认识有利于教与学.

关键词：复合函数；求导； 链式法则；教改

[中图分类号]G640 [文献标志码]A

A Consideration on The Teaching of Derivatives of Complex Functions

LI JingYana ，LI XiaoHongb，CHENG CongDiana

（a.School of Mathematics and System Science；b.College of Educational Science， Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China）

Abstract：The derivation formula of composite functions and the chain rule on the derivation of multivariate composite functions are the key to learn the derivation of composite functions well and deepening the understanding of their commonness and connection is beneficial to teaching. This paper tries to show their commonness and connection， and further proposes a teaching reform plan. Finally， the effects of the proposed reform plan are explained.

Key words：composite functions； derivation； chain rule； teaching reform

复合函数求导法则是高等数学和数学分析教学中的一项重要内容，也是一个教学难点.一元复合函数的求导公式与链式法则具有很强的共性，复合函数求导公式是链式法则的特例，由后者可以推出前者；链式法则是复合函数求导公式的推广与发展.本文从加深理解一元复合函数求导与多元复合函数求导的共性与联系出发，提出教改方案.

1 复合函数求导公式与链式法则的共性

1.1 基础知识

一元复合函数求导公式 设u=φ（x）在x0可导，y=f（u）在点u0=φ（x0）可导，则复合函数f（φ（x））在点x0可导，且

f（φ（x0））′=f′（u0）φ′（x0）=f′（φ（x0））φ′（x0）.（1）

链式法则 若函数x=φ（s，t），y=ψ（s，t）在点（s0，t0）可微，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）=（φ（s0，t0），ψ（s0，t0））可微，则复合函数z=f（φ（s，t），ψ（s，t））在点（s0，t0）可微，且它们关于s和t的偏导数分别为

1.2 链式法则是复合函数求导公式的发展与推广

设z=f（x，y），x=x（t），y=y（t），且它们具有良好的分析性，则关于函数z（t）=f（x（t），y（t）），有

显然，由复合函数求导公式（1）到式（3），再由式（3）到式（2）是一个自然的演化过程，说明链式法则是复合函数求导公式的发展与推广.

1.3 复合函数求导公式是链式法则的特例

设z=f（x（s），y（s））在链式法则式（2）中，令φ（s，t）=x（s），ψ（s，t），则xt=0，yt=0，xs=x′（s），fs=y′（s），于是由式（2）可得z′=fx·x′（s）+fy·y′（s），这便是式（3）.又设z=f（y（s）），并令x（s）=0，g（x（s），y（s））=x（s）+f（y（s）），则有z=f（y（s））=g（x（s），y（s）），且gx=1，fy=f′（y），x′（s）=0，故由式（3）可得z′（s）=gx·x′（s）+fy·y′（s）=f′（y（s））·y′（s）；再令y=z，φ（s）=y（s），x=s，则有y′（x）=f′（φ（x））·φ′（x），这便是复合函数的求导公式（1）.

式（2）可以推出式（3），式（3）可以推出式（1），說明复合函数的求导公式是链式法则的特例.

复合函数求导公式与链式法则有着密切的联系与共性.在教学中加强对共性与联系的认识，可以减少因相关公式过多产生混淆而出现的运算错误，又能够提高学生处理复合函数求导问题的灵活性与熟练程度.

2 复合函数求导教学改革方案

环节1 增加z=f（x，y），x=x（t），y=y（t）类函数求导例题，为后面讲授公式（3）做适当的铺垫.

例1 设函数z=1+x1+y，而x=sint，y=cost，求dzdt.

解 易知，y=1-x2，而z=1+x1+1-x2，故

dzdt=d（1+x）dt·11+1-x2+d11+1-x2dt ·（1+x）=1+sint+cost（1+cost）2.

解题略去了复杂的计算过程，使学生初步认识z=f（x（s），y（s））这种类型函数的求导问题，初步接触多元复合函数求导问题，认识到用复合函数求导公式解这类问题的难度，从而激发学生学习多元复合函数求导的兴趣，产生简化z=f（x（s），y（s））这样函数求导过程的想法.

环节2 在讲授完偏导数与多元函数微分内容后，增加偏导数在复合函数求导中的应用，证明公式（3）.

例2 用公式（3）重解例1.

解 此复合函数以t为自变量，x，y为中间变量.易知

zx=11+cost，zy=-1+sint（1+cost）2， dxdt=cost，dydt=-sint，

由公式（3）可以得到 dzdt=1+sint+cost（1+cost）2.

证明公式（3）可较明确地展示出一元复合函数求导公式与链式法则的共性.通过例题的讲授，可使学生加深对导数与偏导数联系的认识，并认识到利用这种联系，即运用公式（3）进行求导可降低运算难度，从而为学习链式法则搭建桥梁.

环节3 讲授链式法则，说明公式（1）和公式（3）都是公式（2）的特例，并用运用公式（2）重解例题.

例3 用公式（2）重解例1.

解 这时，xt=dxdt，yt=dydt，zt=dzdt，所以，

dzdt=zt=zx·dzdt+zy·dzdt =cost1+cost-（-sint）·（1+sint）（1+cost）2 =1+sint+cost（1+cost）2.

补加环节1和环节2为讲授多元复合函数求导做了充分地铺垫，讲授链式法则既可以降低讲授难度，又可以使学生更好地掌握该公式.例3进一步表现了导数与偏导数的联系，利用这种内在联系可以简化复合函数的求导过程，潜在地说明复合函数的求导公式：即公式（1）与公式（3）都是公式（2）的特例，从而可使学生学会根据问题的特点运用适当的公式，增强运用公式的熟练程度与灵活性.

3 总结

对复合函数求导教学进行改革，添加三个教学环节，既可以加深学生对于导数与偏导数联系的认识，又可使学生递进式地学习链式法则，从而化解这个教学难点，提高学生运用复合函数求导公式与链式法则进行求导运算的能力.充分重视对一元复合函数求导与多元复合函数求导的共性与联系的认识，能降低学生掌握复合函数求导的难度，提高学生运算能力.

编辑：吴楠