基于三维Copula函数的CPI与GDP、M3相关性研究
2019-09-10刘晓晓何华张建
刘晓晓 何华 张建
摘要 利用我国1993年1月至2017年10月CPI、GDP、M3的季度同比增长率数据，运用解析法，选择出最优的三维Copula函数形式分析了CPI与GDP、M3之间的相关性以及尾部相关性特征。研究表明CPI与GDP、M3增长率的变化是一致的，即CPI与GDP、M3存在正向相关关系。
关 键 词 三维Copula；CPI；GDP；M3；相关性
中图分类号 F832 文献标志码 A
0 引言
CPI作为衡量通货膨胀的重要指标，反映居民消费价格的变动情况，对通货膨胀问题的研究是经济学界热点问题。一般来讲，物价全面、持续上涨就被认为发生了通货膨胀，对物价产生作用的因素主要有实际因素与货币因素两个因素。
无论从经济学理论或从各个国家经济发展的实践来分析，通货膨胀率与经济增长率之间均存在密切关系。从经济周期理论角度来看，两者是判断经济周期的重要指标，将两者结合进行研究有助于更加全面、深刻地分析宏观经济波动的问题。根据货币主义理论，导致物价水平和经济活动变动最根本的原因是货币供应量变动。弗里德曼的通货膨胀理论指出：通货膨胀随时随地都是一种货币现象，通货膨胀发生在货币供应量增速超过产量增度的情况下。对通货膨胀与货币供应量关联性的研究有利于了解通货膨胀形成机制，对制定合理的经济政策以推动经济的发展具有重要意义。考虑我国经济运行状况，对于实际因素，本文用GDP作为衡量经济发展程度的指标。对于货币因素，广义货币供应量M3拓宽了货币的统计范畴，将股票、金融衍生品等流动性较高的金融资产纳入调控的范围，扩展了已有的货币供应层次，故本文用M3作为衡量货币政策松紧度的指标。
目前，研究通货膨胀等宏观经济的文献相对较多。周文与赵果庆[1]使用1996—2009年GDP、CPI及M2增长率的季度数据，建立了动力系统模型分析了经济增长与通货膨胀的关系，得出两者之间存在同向变动关系。李斯特[2]采用SVAR模型对通货膨胀与货币供应量之间的关系进行研究，得出两者之间存在长期均衡关系。宋建江与胡国运[3]用图示法与模型检验，分析检验了各层次的货币供应量与通货膨胀的相关性及因果关系，得出两者存在较强相关性。陈朝旭[4]通过Granger因果關系检验及脉冲响应分析对经济增长与通货膨胀间的影响效应检验，得出两者之间存在双向Granger因果关系。王童与雷怀英[5]用二维Copula函数对CPI与GDP的季度同比增长率进行研究，得出CPI与GDP之间存在正向相关关系。
对于通货膨胀的研究多数文献利用的是相关计量方法，然而，传统的线性相关性检验对非线性相关关系进行度量时有一定的局限性，度量结果可能不准确。Copula理论的提出为描述各个变量之间的相关性提供了新途径。Copula作为各个变量边缘分布间的连接函数，几乎包含变量间所有的相关性信息，可用于描述变量间的非线性相关关系。Copula具有许多优越性质如：可构造多种类型的多元分布，函数形式多样化等。对于通货膨胀的研究本文在二维Copula函数的基础上，用三维Copula函数对CPI与GDP、M3之间的相关性进行分析，从影响通货膨胀最重要、最根本的角度出发，研究所得结论更容易转化为切实可行的经济政策。
1 基本概念
1.1 阿基米德Coupula函数
定义1 设[φ]是[0，1→0，∞]上的严格、连续减函数，满足[φ1=0]，[φ]的伪逆函数[φ-1：0，∞→0，1]，定义如下
[φ-1=φ-1t，0≤t≤φ00，φ0≤t≤∞]， （1）
则称[Cu，v=φ-1φu+φv]为阿基米德Copula，[φt]称其生成元[6]。
在Copula函数类中，因阿基米德Copula构造简单，且具有很多良好的性质，因此得到广泛应用。阿基米德Copula函数族中Gumbel Copula，Clayton Copula，No.12 Copula因具有厚尾分布特征，在金融领域应用广泛。
1.1.1 Gumbel Copula
Gumbel Copula函数形式为[Cu，v，α=exp--lnuα+-lnvα1α]，其中[α]为参数，且[α∈1，∞）]，生成元为[φt=-lntα]。Gumbel Copula对变量间在分布上尾处的变化较为敏感，因此可用于描述具有上尾相关特征变量间的相关关系。
1.1.2 Clayton Copula
Clayton Copula函数形式为[Cu，v，α=maxu-α+v-α-1-1α，0]，其中[α]为参数，且[α∈-1，0⋃0，∞]，生成元为[φt=1αt-α-1]。Clayton Copula对变量间在分布下尾处的变化较为敏感，因此可用于描述具有下尾相关特征变量之间的相关关系。
1.1.3 No.12 Copula
No.12 Copula函数形式为[Cu，v，α=1+u-1-1α+v-1-1α1α-1]，其中[α]为参数，且[α∈1，∞]，生成元为[φt=1t-1α]。
1.2 尾部相关系数
尾部相关系数被广泛应用极值理论，常用于说明当其中一个随机变量为极值时，另外一个随机变量也出现极值的概率[7]。尾部相关性对于研究金融资产的波动溢出极为重要。本文中考虑的尾部相关性是当GDP，M3发生大幅度增加或者减少时，CPI也发生大幅度增加或者减少的概率。由Copula的定义和性质，可以推出三维Copula函数的尾部相关性的表达式。
正尾部相关性：
[λup=P（Z>u|X>u，Y>u）=P（X>u，Y>u，Z>u）P（X>u，Y>u）=1-3u+C（u，u，α1）+C（u，u，α2）+C（u，u，α3）-C（u，u，u）1-2u+C（u，u，α1）]， （2）
式中：[u]为概率；[α1]为随机变量[X，Y]对应的相关参数；[α2]为随机变量[Y，Z]对应的相关参数；[α3]为随机变量[X，Z]对应的相关参数。
负尾部相关性：
[λlo=P（Z>u|X 式中：[u]为概率；[α1]为Copula中随机变量[X，Y]对应的相关参数。 2 Copula函数形式的选择 目前Copula在实际应用中一个重要的问题是函数形式的选取。不同形式的Copula函数可能导致不同的分析结果，选择合理的Copula函数尤为重要。 2.1 Copula函数模型参数的估计 2.1.1 三维Copula分布函数的确定 命题1 设[U，V，W]是服从[0，1]均匀分布的随机变量，且[U，V，W]具有阿基米德Copula函数[Cu，v，w]，[φt]为[Cu，v，w]的生成元，设[M=2φuφu+φv+φw]，[N=2φvφu+φv+φw]，[T=Cu，v，w]，则可验证[M，N，T]是相互独立的，并且[M，N]均服从[0，1]均匀分布[6]。 由命题1的已知条件可得到随机变量[M，N，T]联合分布函数表达式，假设[H（m，n，t）]表示联合分布函数，则[H（m，n，t）=mn0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ‴（t）2[φ′（t）]4dt]，又因随机变量是相互独立的，且[M，N]均服从[0，1]均匀分布，故可得[FM（m）=m]，[FN（n）=n]，则[FT（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ‴（t）2[φ′（t）]4dt]。令[K（t）]为[C（u，v，w）]的分布函数，则[K（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ‴（t）2[φ′（t）]4dt]。多维阿基米德Copula分布函数的给出，为多维随机变量间Copula模型的选择提供了途径。 2.1.2 三维Copula函数Kendall秩相关系数的确定 命题2 设[x1，y1，z1]和[x2，y2，z2]为具有联合分布函数[H（x，y，z）]的两个独立向量，假设[x1，x2]的边缘分布均为[F]，[y1，y2]的边缘分布均为[G]，[z1，z2]的边缘分布均为[W]，设[Cu，v，w]是与[H（x，y，z）]相对应的阿基米德Copula函数，且[φt]为生成元，[Q]表示和谐概率与不和谐概率之差，考虑等概率抽样，则 [Q=401t∙φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ‴（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]。 （4） 证明： [Q=P（X1 [P（X1 [P（X1>X2，Y1>Y2）+P（Y1 首先 [P（X1 [R3C（F（x），G（y），W（z））dC（F（x），G（y），W（z））]， （6） 令[u=F（x），v=G（y），w=W（z）]，则 [P（X1 [P（X1 利用同樣方法可得 [P（X1>X2，Y1>Y2，Z1>Z2）=I3C（u，v，w）dC（u，v，w）]， （9） [P（X1>X2，Y1>Y2）=I2C（u，v）dC（u，v）]。 （10） 故可得 [Q=4I3C（u，v，w）dC（u，v，w）-23（I2C（u，v）dC（u，v）+I2C（v，w）dC（v，w）+I2C（u，w）dC（u，w））=] [4E（C（u，v，w））-23（E（C（u，v））+E（C（v，w））+E（C（u，w）））]。 （11） 由命题1可知[C（u，v，w）]的分布函数为 [K（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ‴（t）2[φ′（t）]4dt]。 （12） 由二维Copula函数的性质可得[C（u，v）]的分布函数为 [KC（u，v）（t）=t-φ（t）φ′（t）]。 （13） 故得 [Q=401t∙φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ‴（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]， （14） 式中：[α1]为随机变量[u，v]对应的相关参数；[α2]为随机变量[v，w]对应的相关参数；[α3]为随机变量[u，w]对应的相关参数。 命题2中[Q]就是[X，Y，Z]的总体Kendall秩相关系数，即 [τ=401t∙φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ‴（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]。 （15） 2.2 最优Copula函数形式选择 1）假定设[x1，y1，z1]和[x2，y2，z2]为具有联合分布函数[H（x，y，z）]的2个独立向量，对应的Copula为[Cu，v，w]，则样本[X，Y，Z]的Kendall秩相关系数为 [τX，Y，Z=τX，Y+τY，Z+τX，Z3]， （16） 式中，[τX，Y=2nn-11≤i≤j≤nsignxj-xiyj-yi]，類似可定义[τY，Z]与[τX，Z]，这里[sign]为符号函数[6]。 由命题2可得[X，Y，Z]的总体Kendall秩相关系数[τX，Y，Z]，利用样本Kendall秩相关系数作为总体Kendall秩相关系数的估计值，从而得到Copula函数中参数估计值[α]，即令[τX，Y，Z=τX，Y，Z]。 2）求出相应Copula函数表达式，通过比较与经验Copula函数的平方欧式距离，从而选择最优Copula函数。 3）为验证所得结果，对其进行拟合优度检验。 3 实例分析 本文采用季度数据进行度量，选取1993年1月到2017年10月CPI、GDP、M3的季度同比增长率数据，数据均来源于国家统计局网站及中经网统计数据库。因CPI、GDP、M3分布的具体形式并不能确定，故本文首先用经验分布函数来估计三者的边际分布，从而降低因为边际分布的假设不恰当所带来的误差。 第1步，利用经验分布函数，将CPI、GDP、M3的季度增长率序列[（xt，yt，zt）]转化为新的系列[（ut，vt，wt）]，其中[ut=Fx（xt），][vt=Fy（yt），][wt=Fz（zt），][t=1，…，T]分别为[X，Y，Z]的经验分布函数，选择Gumbel Copula，Clayton Copula，以及阿基米德族中的No.12 Copula [8]。 第2步，利用MATLAB编程计算出[τ]与[τ]，并以[τ]作为[τ]的非参数估计，得到表1中3种Copula函数中的参数[α]。 第3步，求出相应的Copula函数的表达式，计算3种Copula函数的平方欧式距离，如表2所示。 由表2可得出，[C1]相对于[C2]、[C3]对数据的拟合效果较好，因此[C1]（Gumbel Copula）既是最优的Copula函数。下面进行拟合优度检验。 第4步，利用[Q-Q]散点图思想，若某个Copula函数能够较好的拟合观测数据，则图像应更接近直线[y=x]。图1至图3分别为 C1（Gumbel Copula）、C2（Clayton Copula）、C3（No.12 Copula）与经验分布函数的Q-Q图。 由[Q-Q]图可得出，[C1]（Gumbel Copula）拟合效果较好，与第3步所得出的结论一致。 4 结论 文中选出了最优Copula函数以对CPI与GDP、M3的季度同比增长率数据进行相关性研究，最后用选出的最优Copula函数Gumbel Copula函数分析尾部相关性特征，考虑当GDP与M3超过[q0.925，][q0.95]，[q0.975，][q0.995]时，CPI超过对应分位数的概率，即考虑当[u=0.925，][u=0.95，u=0.975，u=0.995]时的正尾部相关性，由二维Copula函数可得CPI与GDP对应的相关参数[α1=2.608 7]，CPI与M3对应的相关参数[α2=1.477 4]，GDP与M3对应的相关参数[α3=1.667 7]。结果见表3。 由表3可知当GDP与M3超过[q0.925，q0.95，q0.975，q0.995]时，CPI超过对应分位数的概率分别为[0.842 0，] [0.845 2，][0.838 7， 0.833 3]。 本文基于三维Copula函数对CPI与GDP、M3的相关性进行分析。可以得出CPI与GDP、M3具有正相关关系。研究三者之间的相关关系对于提高人民的生活水平，维持物价稳定实现经济的增长，也为建设和谐社会的需要，起着积极的作用。国家应采取相应的措施稳定CPI的走势，真正的挑战不是能够控制通过通货膨胀，而是将其控制在可以接受的水平，同时尽可能维持经济的稳定增长。为了实现预期目标要将货币政策、财政政策及行政手段相结合，控制货币供应量的增长速度，同时，还应该以财政政策与行政手段相配合，合理控制经济增长，稳定物价。 参考文献： [1] 周文，赵果庆.中国GDP增长与CPI：关系、均衡与“十二五”预期目标调控[J]. 经济研究，2012，47（5）：4-17. [2] 李斯特.通货膨胀与货币供应量关系的实证检验[J]. 统计与决策，2013（21）：120-122. [3] 宋建江，胡国.我国货币供应量与通货膨胀关系的实证分析[J]. 上海金融，2010（10）：33-37. [4] 陈朝旭.我国通货膨胀与经济增长关系研究[J].当代经济研究，2011（5）：71-75. [5] 王童，雷怀英. 基于Copula函数的CPI与GDP相关性研究[J]. 通货膨胀趋势研究，2017（17）：16-19. [6] 宋亮，陈绍东.多维Copula函数的一种随机变量模拟生成方法[J].统计与决策，2016（4）：67-70. [7] 李强，周孝华.基于Copula的我国台湾和韩国股票市场相关性研究[J].管理工程学报，2014，28（2）：100-107. [8] 于波，陈希镇，杜江. Copula函数的选择方法与应用[J]. 数理统计与管理，2008，27（6）：1028-1033. [9] 李霞. Copula方法及其应用[M]. 北京：经济管理出版，2014：89-116. [10] 谢中华. MATLAB统计分析与应用：40个案例分析[M]. 2版.北京：北京航空航天大学出版社，2015：217-226. [责任编辑 田 丰]
