“数形结合”培养初中生思维能力

李国坚

数形结合思想是数学基本思想之一，是学生思考和解答问题的基本方法，亦是初中数学教学的重点和难点。数形结合思想贯穿于整个初中数学教学，在教学过程中，教师要有意渗透这一思想，让学生学会以数化形、以形变数、形数互变，在应用数形结合方法解决问题的同时，感受、理解并逐步掌握和运用数形结合思想。在实际生活中，往往遇到的是具体的形象的“形”，而在数学中就是一般的抽象的“数”，让学生将数形结合起来，不僅是数学学习的必由之路，也是锻炼提高学生应用能力的必经之路。

以数化形抽象问题具体化

利用数形结合思想，以数化形，将抽象复杂的问题简单化、具体化，帮助学生轻松找到解答方法，极大地提高了教学效率。抽象性是数学学科最基本的特性之一，它使得数学语言更加简洁、准确，同时也使数学问题更加深奥，使学生感到数学异常难学。数学问题中抽象的数量关系使得学生无法准确理顺和把握，而借助数学图形就能够直观、形象地展现。如利用数轴能清晰比较出有理数的大小。在处理方程问题时，一般是将方程的根看作函数图象与x轴交点的横坐标。如此以来，学生能够画出函数图象也就确定了方程的解。这样不仅简化了问题本身，使学生解题速度得到提高，更为重要的是极大地提高了学生解题的准确率。

利用以数化形能够帮助学生快速、准确地理解抽象问题，如美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德用3个直角三角形非常巧妙地证明了勾股定理。即用3个直角三角形巧妙组成一个直角梯形，利用3个三角形的面积之和等于梯形面积，从而得出“直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方”。借助以数化形，定理的证明就非常简单，学生也容易掌握接受，达到良好的教学效果。

以形变数确定具体数量

图形能够更加直观地展示各数量之间的关系，但很多时候要求解出具体数值，则需要借助代数计算，否则就很难确定具体的数量。如下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第（1）个图形中一共有3个菱形，第（2）个图形中一共有7个菱形，第（3）个图形中一共有13个菱形，按此规律排下去，第（9）个图形中菱形的个数为多少？这个题目如果按照常规做法，一步一步把对应的菱形画出，难度很大，学生也不易理解。如果我们将图形化为数字求解，那么答案就直接算出来了：第（1）个图形中一共有3个菱形，3=12+2;第（2）个图形中一共有7个菱形，7=22+3;第（3）个图形中一共有13个菱形，13=32+4……，第（n）个图形中菱形个数为：n2+n+1，所以第（9）个图形中一共有92+9+1=91个菱形。从图形上看起来求解难的问题，利用代数计算很简单;所以，图化为数不仅解决了求值问题，更让学生挖掘出了图形中的隐含条件，理清数量之间的关系，将复杂问题简单化。

在初中数学教学中，将图形转化为数字极大地锻炼和培养了学生的抽象思维，其实，很多公式的推导都是利用这一方法。进入中学阶段，几何问题难度越来越大，需要学生有较强的数形转化能力以解决复杂的几何问题。从“形”化为“数”，是具体问题一般化了，也就是让学生掌握了正确的解题思想和解题方法，加深学生对知识的理解，提高了他们的数学素养。

形数互变培养学生数学思维

在解答实际问题，尤其是综合题目时，我们需要用到的不是单纯“以形变数”或“以数化形”，而是要它们相互转化。也就是说题目中有的数要化为形帮助学生清晰确定其数量关系，而有些形又要借助代数计算才能得到求解，要根据具体题目合理地选用“以形变数”和“以数化形”方法，并将其有效结合，形数互化，最终准确求解。如在学习平面直角坐标系及函数时，教师就要给学生留下遇到函数问题就会想起数形结合的印记，适当建立平面直角坐标系，完美地诠释数形的结合。将函数引入平面直角坐标系之后，那么就可以利用代数方法解决几何问题了。总结起来，实数、代数式、函数、不等式集中代表了初中阶段的“数”，而直线（包含数轴）、角、圆、抛物线等则集中代表了初中阶段的“形”。在教学中、学生解答问题的过程中，教师都要积极灌输数形结合的思想，通过数形结合使学生的思维更加开阔，积极探寻出数形关系，找到问题解答方法。华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想之所以在解答问题时应用广泛，在于具有极大的灵活性与创造性，所以其不是固定的，教师交给学生的是思想方法，而学生要根据实际问题恰当灵活选择，学生多练习多使用，教师多引导，那么学生的数学思维能力就能得到相应的锻炼和提升。

结束语

数形结合思想在初中数学中应用广泛，以数化形、以形变数、形数互变能帮助学生快速准确解决复杂问题。在实际教学中，教师将数形结合思想渗透在概念的定义和讲解中，渗透于具体题目的解答之中，使其贯穿整个初中的数学学习，如遇思维困境，要及时改变思考问题、解决问题的方法，用“形”启迪“数”，以“数”界定“形”，形数互化培养学生的数学思维能力，提升学生的数学素养。

（作者单位：广东省开平市月山初级中学）