浅谈数学功底对高中物理教学的影响

黄德平

【摘要】  在电源输出功率的最大值的教学中有多种数学方法，本文作者从自身体验出发，比较了各种数学方法的推导过程和学生掌握情况，以此说明，数学功底对物理教学有较大影响，物理教师也不能忽视数学的学习提高。

【关键词】  电源 输出功率 数学功底

【中图分类号】  G633.7                     【文献标识码】  A 【文章编号】  1992-7711（2019）13-098-01

物理离不开数学。许多物理问题涉及到数学运算。因此，大学物理教育专业普遍开设《数学物理方法》这一课程，旨在提升物理教师应用数学解决物理问题的能力。然则，高中物理教学并不需要这么复杂的数学推理（竞赛除外），一般的高中生也难以接受物理题中繁杂的数学推理和运算。在高中物理教学中，如何将复杂的数学推导清晰展现——用高中生已有的数学知识，这既体现物理老师的匠心，更考验物理教师的数学功底。

在笔者多年的物理教学中，一直认为电源的输出功率的最值问题的教学涉及的数学推理过程很具有代表性。物理教师对数学基本不等式的认识和体会是否到位，直接影响其推导方式，进而影响学生的思维模式。

我们先来看这个问题：电源电动势为E，内阻为r，对于外电阻是纯电阻的情况，若外电阻为R，试证明：当R=r时，电源的输出功率最大。在笔者早年教学中，往往是这样推导的：

P=I2R=■，将分母按完全平方公式展开，而后分子、分母同除以R，则有

P=■=■，其中，R+■依据数学基本不等式可知

R+■≥2■=2r，则P≤■，当且仅当R=r时取“=”。

这个推导过程，相信大多数高二学生能比较顺利的接受。但是笔者发现，在应用类似方法解决滑动变阻器最大功率时，部分学生遇到了比较大的的障碍。我们来看一下这道题：如图所示，E=6V，r=4Ω，R1=2Ω，R2的变化范围是0～10Ω.求：①电源的最大输出功率;②R1上消耗的最大功率;③R2上消耗的最大功率。

这道题比较经典，相信大家都见过。笔者这里只讨论第三问中学生存在的问题，而且抛开等效电源这一思路，单纯从数学推导的角度来考虑这个问题。用类似的方法，其推导过程如下：

P=I2R=■=■=■≤■当且仅当R2=R1+r时取“=”。

这个推导表达式，看起来很庞大，学生较容易产生畏难情绪，其次这里涉及到一个整体代换的问题，即把R1+r看成一个整体，这无疑又加大了难度。还有部分学生将其分母整理为（R2+R1+r）2=（R2+r）2+R21+2（R2+r）R1或（R2+R1+r）2=（R2+R1）2+r2+2（R2+R1）r

这样的形式，进而无法利用基本不等式来求解。

正是笔者作为物理教师，没有掌握更为简洁的数学推导过程，使得学生也用较为复杂的数学推导来计算。老师认为麻烦的，学生也一定这么认为，这就使电源输出功率的教学变成了难点。

笔者在与同事讨论交流时，发现了新的证明方法。P=I2R=■，将分子分母同乘以4r則有P=■·■，其中（R+r）2≥4Rr，则■≤1，所以P≤■。这个推导并不算严谨，因为只考虑了（R+r）2的最值，而没考虑到4Rr也是变量，但这个推导明显比较简洁，学生更容易接受，从这个角度来说，这个证明方法更合理。不过这个推导在用来解决滑动变阻器最大功率时依然会碰到一些数学障碍。这个证明方法让笔者拓宽了思路，即物理问题涉及到数学推导时，应想办法将数学推导适当简化，以便于学生接受和应用。其实，高中物理涉及的很多公式，应该是在积分或微分的基础上运算推导出来的，但最终展现时，数学上都作了一定的简化，以便让高中生更好的掌握。

受此启发，笔者发现P=I2R=■，分母中本身已含（R+r）2，没必要再将表达式变形，根据（R+r）2≥4Rr，直接可得P=I2R=■≤■=■，这种证明过程虽不够严谨，但最简单，最容易被学生接受，起到了化繁为简的作用。这种证明方法用来求解滑动变阻器最大功率也相对比较简洁。

P=I2R=■≤■，其中（R2+R1+r）2≥4R2（R1+r）

自从用了这种证明方法，电源的输出功率的最值问题学生比较轻松就能掌握。由此可见，物理教师必须具备一定的数学功底，在一些重要知识教学中，简单明了的数学推导会起到事半功倍的效果。

[ 参  考  文  献 ]

[1]吴崇试.数学物理方法，北京大学出版社，2003.

[2]王应生.电路分析教材.电子工业出版社，2008.