基于数学建模素养的高中函数应用教学设计

赵文英

摘  要：本文将呈现一份基于数学建模素养的函数应用教学的教案设计，把建模素养渗透入教学设计，渗透入课堂教学，在提升学生的建模素养的同时也培养了学生数学抽象、数学运算与数据分析等数学核心素养。

关键词：核心素养;数学建模;函数应用

1、前言

近年来，“核心素养”变成了教育界的新新话题，高中课程标准中明确提出要培养学生“应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。需要注意的是教师在教学中不应仅将目光局限于数学建模素养，还需要配合其他学科核心素养，帮助学生成长为全面发展的人。

数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，在中学阶段逐步将建模思想、思维等渗透入数学课堂、渗透入学生头脑中，培养与提高学生数学建模素质可以使学生意识到数学模型与工程、技术、科学、经济、环境和人口等诸多领域的关系，培养学生的应用意识。

下面将通过实例展现数学建模素养下的课堂教学设计，渗透建模思想，提升学生的建模素养。

2、教学過程设计

2.1创设简单情境，形成建模思维

问题呈现：假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元;方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？

教师行为：同学们可以直接根据每个方案的叙述，列出每种方案相应的函数关系式，然后通过函数的形式进行三种回报的大小比较。将自己想像成为投资人，利用数学的思维解决实际问题，使学生参与到问题解决的过程中。

学生行为：小组讨论，列出三种函数方程，在同一坐标系中画出三种函数的图像，直观感受它们的增长情况。

问题解决过程：设第x天所得的回报是y，则各个方案可以得到如下函数方程：

方案一：y=40 方案二：   方案三：

在经过了上述的分析，学生们对这三种投资方式有了大致的认识，为了加深学生的直观感受，我们可以利用几何画板画作出这三个函数的图像

教师提问：由函数图像我们很容易知道方案三的回报增长的最快，那么我们是不是就要选它呢？

提问意图：这种选择方案问题要综合考虑，回报的资金不仅与回报方式有关，更与参与投资的天数有关，即对于一个具体函数来说，与它密切相关的除了值域还有定义域，离开了定义域的“限制”，对于函数的讨论也就失去了实际的意义。这里主要考察学生综合思考问题的能力、分情况考虑与最优思想的渗透。

设计意图：从日常生活中存在的问题入手，让学生成为“投资者”，激发学生解决问题的“冲动”，使他们迸发出学习热情。同时启发学生利用数学的方式将文字语言转化为数学语言，从中抽象出相应的数学模型，在头脑中形成建模的思维。在整个思考的过程中不仅能提高学生的数学建模素养，也体现出数学抽象的能力。

2.2通过模型延伸，渗透建模思想

问题呈现：一般情况下认为体重低于相同身高的体重平均值0.8倍为偏瘦，高于1.2倍为偏胖，一位身 高175cm体重78kg的未成年男生体重是否正常？下面是问卷调查得到的一些数据，根据此你能否编制一个合理的身高体重对照表。

教师活动：仔细阅读题目以及数据，不难看出身高x与体重y可能存在着某种函数关系，如果我们可以找到它们之间的关系，就可以代入该未成年人的身高，算出相应的标准体重，再与实际体重进行计算比较，即可知道这名未成年人体重是否正常了。比较难把握的是这个“某种”函数关系应该怎样确定，所以首先需要将数据整理成能大致看的出趋势的形式，便于学生大胆猜测函数类型，不难想到利用散点图来启发学生。

学生活动：分小组进行讨论探究，通过画散点图大致了解函数图像的形式，从已学的函数中找出图像走势相似的，先猜想函数类型，因为数据的偶然性或者误差，还需要对猜想的函数进行验证，从而找出最符合题目要求的函数模型。

问题解决过程：我们可以画出散点图，经过讨论最后认为有两种模型较为符合

模型一： 模型二： 或

全班分为两大组，分别将表格前三组数带入，确定参数，再带入后面几组数据进行验证，从中选出比较符合题意的模型。

设计意图：本题也是从日常生活中大家比较熟悉的情境中提取出来的，可用的条件在于给出的表格，所以本题在一定程度上考查了学生对于题目条件的提炼与筛选、考察学生对于数据的分析能力，从而提高数据分析素养。除此之外，本题需要自己建立合适的模型并进行检验，将建模的过程完整的体现在这个题中，由此总结出建模的一般步骤。

教师总结：这节课总共给出了常数函数、一次函数、指数函数和对数函数等不同的函数类型，我们可以结合图像通过具体函数模型的增长情况进行探究、论证，得到不同类型的初等函数模型增长趋势，并进行交流总结，形成结论性报告，然后对结论进行评析，借助信息技术进行验证演示。

3、反思与展望

本节课是在课程标准的指导下设计实施的，整堂课的设计都是围绕着培养与提高学生的数学建模素养来进行的。例题的设置由浅入深、由易到难，让学生逐渐体会建模的过程，让数学建模思想渐渐深入人心。经过本节课的学习，学生对于实际问题的解决会有新的认识，能更好的从实际问题中提取数学模型，真正将数学运用发挥作用，体会数学的强大功能。

参考文献

[1]  教育部 普通高中数学课程标准.人民教育出版社.2017

[2]  王丹 数学建模思想在高中函数教学中的应用研究[D].陕西师范大学硕士论文.2016.：37-42

[3]  崔淑湘 数学建模在培养学生数学素养中的作用[J].中学教研.2017.3