活用课本习题，培养学生数学解题能力

梁小跃

摘要：解题不仅能加深对所学知识的理解和掌握，更重要的是通过解题能培养我们运用所学知识解决问题的能力，一些看似简单的中小题型，其中可能蕴含着一些重要的数学思想方法。通过对其研究，“小”题“大”做，久而久之，解综合题也就水到渠成了，这样可以大大提高教学效果。本文通过一些案例谈谈如何通过课本习题，培养学生的解题能力。

关键词：课本习题 解题能力 高中数学

根据教育部有关文件精神，新的高考将避免出难题、偏题、怪题，而注重基础性和综合性。课本习题是经过教材编写专家认真研究选取的，数学习题的教学功能体现在知识、教育、评价的三个功能方面。但是当前，有一种现象需要引起我们的重视，那就是有部分一线老师不重视教材中习题的研究，他们认为教材的习题太简单，仅靠做教材中的习题只能应付学业水平考试，无法应对高考，从而将教辅资料当作解题宝典。殊不知，课本上的题目虽然简单，但复杂的题目往往是这些简单题目的综合。

笔者经过长期研究发现，很多高考试题来自教材的例题和习题，题型和难度相当，如集合、复数、线性规划等考题。还有些考题看似生疏，实际上是在课本习题基础上改编的。

因此，作为一线教师，如果我们能重视对教材习题的研究，将教材中的习题进行合理变化、引申、推广，进而得到有价值的结论，那么势必会提高我们的教学效率，培养学生的学习兴趣以及思维能力，进而提高学生的数学成绩。

一、重视课本例题研究，发挥例题的教育功能

课本例题是教材编者智慧的结晶，是经过专家精挑细选出来的，对学生理解概念、掌握知识、巩固所学内容都有很大帮助。为此，老师要善于运用这些资源，发挥例题的教育功能。笔者在平时的教学中特别注意课本例题的引领作用，注重引导学生分析解题思路，并进行板书示范。当然，课本例题也不是完美無缺的，老师要根据具体情况创造性地使用。

比如，在人教A版高中数学必修4第35页例2中，第（2）（3）问书上的解答学生可能感到突然，不易理解。第（2）问书上的解答如下：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin2x。学生很难想通为什么括号里要加π，笔者在教学中是这样做的：设y=f（x）=sin2x的周期为T，则由周期函数的定义得f（x+T）=f（x），即sin2（x+T）=sin2x，也就是sin（2x+2T）=sin2x，将2x看成一个数，由正弦函数的周期性知2T=2π，从而T=π。第（3）问也可以类似处理，进而笔者又引导学生用类似方法推导出了y=Asin（ωx+φ）的周期公式。这样处理既巩固了刚学的周期函数的定义和正弦函数的周期性，又推导出了一般的y=Asin（ωx+φ）的周期公式，而且思路自然，学生易于理解。

二、研究习题变式，培养学生的发散思维

新修订的高中数学课程标准提出的高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六项。解题教学中的变式教学能促进学生抽象素养的形成。变式教学包括变条件、变结论等，通过对问题的变式探究，可以从不同角度、不同层次完善学生的知识结构和方法体系，有利于发展学生的抽象思维。

案例1：画出函数y=x的图象。（人教A版高中数学必修1第20页例5）

讲解本例时，笔者先让学生回忆了初中所学的绝对值的意义，然后分段画出图象，讲完本例时，又让学生画了函数y=|x-1|，y=|x+1|，y=|x-1|，y=|x+1|的图象，并让学生指出它们与y=|x|的图象的关系，然后引出一般的f（x）与f（x+a）、f（x）与f（x）+a的图象关系，以及y=|x-a|的图象特征。总结完毕，笔者进行了变式教学：

变式1：作y=|x-1|，y=|x-2x-3|的图象，并结合作图过程说明f（x）的图象的作图方法，探究直线y=a与|f（x）|的图象的交点个数问题。

变式2：作y=|x|+|x-1|的图象。

探讨含两个绝对值时如何化成分段函数，进而画出图象，从而引出2016年高考数学全国卷第24题：

已知函数fx=|x+1|-|2x-3|。

（Ⅰ）画出y=f（x）的图象;

（Ⅱ）求不等式|f（x）|>1的解集。

以上几题虽然形式不同，但本质上都是含有绝对值的函数问题，解决这类问题的基本思路都是通过分类讨论去掉绝对值，转化成常规函数问题。学生掌握了这种思想方法，就能够以不变应万变。

三、研究课本习题的推广，培养学生的创新能力

在平常的教学中，教师要积极引导学生重视对问题本质的探究，善于从小问题中提炼出大道理，抽象概括出隐含在问题中的一般结论。教学实践表明，研究课本习题的推广是培养学生数学抽象思维和创新能力的有效途径。

案例2：（人教A版高中数学必修5第44页例3）

已知数列{a}的前n项和为S，S=n+1/2n，求{a}的通项公式，并判断它是否是等差数列。

课本上是利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n>1进行求解的，这是通法，适合所有数列“知和求项”问题。接着笔者进行了变式：将条件改为“S=n+2n+1”，结论如何？并思考：若S=pn+qn+r，当p、q、r满足什么条件时，数列{an}是等差数列？这样引导学生从函数角度认识等差数列前n项和公式，加深学生对等差数列的理解。

在教学实践中，笔者发现学生在计算时常出现问题，主要表现在三个方面：一是不求a;二是求了a及a后不加验证，不去总结;三是计算a时常常出错。为了解决学生“会而不对”的问题，笔者又让学生观察分析等差数列的通项公式和求和公式，总结并推导出一般结论：若数列a的前n项和S=pn+qn（p，q为常数），则a=2pn+q-p。这样学生在做小题时，就可以快速准确地得出答案，做大题时也可以有效减少计算错误，从而提高学生的运算能力。

总之，面对新的高考形势，重视对课本习题进行研究，发挥课本习题的功能，引导学生回归教材，扎实搞好习题教学，就能有效避免“题海战”，培养学生各方面的能力。

参考文献：

[1]王道宇.备数学课，应该备什么[J].中学数学教学参考：上旬，2015（9）：2225.

[2]郭胜光.一个不可忽视的教学要素[J].中学数学教学参考：上旬，2017（7）：1921.