例析间接证明的分类解题方法

肖碧

摘 要：随着人们的思想觉悟和认知水平不断地更新和进步，高中数学知识面更得到了不断的拓展，也给教育的改革与发展注入了新的元素，培养会学数学、爱学数学、主动学数学的人才逐渐成为教育的目的，本文归纳从间接证明进行分两类举例分析问题，间接证明为不是直接從原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明。

关键词：间接证明;否定性;唯一性;高中数学

一、否定型命题的间接证明

关键点：对于结论否定型命题，由于要证的结论为否定式，一般正面证明过程繁琐而且容易遗漏，则可以考虑用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，则适宜采用反证法证明.

例1：平面内有四个点，并且任意三个点不共线，请证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.

分析：选取四点中的三点为三角形的顶点，则另一点在该三角形内部或外部，在内部用圆周角为360°推出矛盾，在外部用四边形内角和为360°推出矛盾.

证明：假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，则四个点为A、B、C、D，对于△ABC，考虑点D在△ABC内部和外部两种情况.

（1）如果点D在△ABC内部（如构图1），根据假设知道围绕点D的三个角∠ADB、∠ADC、∠BDC都小于90°，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾.

（2）如果点D在△ABC外部（如图2），根据假设知∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA都小于90°，即四边形ABCD的内角和小于360°，这与四边形内角和等于360°矛盾。

点评：用反正证明否定型命题时，要特别注意将否定性结论改为肯定性结论，然后再推理证明进一步得出矛盾.

二、唯一性问题的间接证明

关键点：用反证法证明“唯一性”问题的方法，“唯一性”包含“有一个”和“除了这个外没有另外一个”的两层意思.在证明后一层意思时，采用直接证明会很困难，在一般情况下会采用间接证明方法，也即用反证法来证明.

例2：证明：在平面上所有通过点的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y都为有理数的点）的直线有且仅有一条.

分析：可以分两步证明，首先证明存在性，然后证明唯一性.

证明：

（1）存在性.

因为直线y=0显然通过点，且直线y=0至少通过两个有理点，如它通过点（0，0）和（1，0），这说明满足条件的直线存在.

（2）唯一性.

则由（3）得到，且k是不等于零的有理数，由（1）得到，此式的左边是无理数，右边是有理数，显然等式不成立.所以假设不成立，平面上除了直线y=0之外不存在其它直线既通过点，又至少通过两个有理点。

综上所述，满足上述条件的直线有且仅有一条.

点评：“有且仅有一条”的含义有两层：（1）存在;（2）唯一.证明存在性只需要找到一条满足的直线即可，而唯一性的证明，可以采用反证法假设还有其他满足条件的直线，根据直线经过的定点设出直线的方程，然后联立方程组，经过整理，得出矛盾，从而说明假设不成立，即“仅有一条”。

参考文献：

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[3]秦萍.例谈高中数学函数解题思路多元化的方法[J].中学数学教学参考，2018-07

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