多维转化：建立学生空间观念的策略研究

洪婷

摘要：起于一道五年级求表面的错题，分析错因发现学生在学习表面积计算过程中存在：一维与多维之间的转化，学习素材单一;二维与多维之间的转化，表像经验缺乏;三维与多维之间的逆向转化，空间观念薄弱;多维转化出现无序状态等主要问题。教师经过多年教学发现需要从一维、二维及三维之间建立相互转化的链接，帮助学生建立空间观念，提出以下教学建议：提供一维与多维之间的转化素材，积累学习经验;丰富二维与多维之间转化的表象，发展空间观念;提供三维与多维之间的逆向转化，形成空间观念等几个方面来促进多维的转化，帮助学生建立空间观念的实践研究。

关键词：表面积;空间观念;多维转化

中图分类号：G210.7 文献标识码：A 文章编号：190216826

一、缘起：起于一道错题

长、正方体的表面积计算在学生的过程中是错误率最大的一部分知识。究其原因是从三维立体图形中找二维平面的相关知识，相关联的知识更为复杂。表面积对于学生也是一个新的概念，建立清晰的表面积概念是解决相关问题的前提。教师在教学中如果能理清一维、二维和三维之间的转化关系，那么知识之间的联系就会变得更加清晰。

在人教版五年级下册第26页12题求颁奖台的面积这题。学生在尝试解决过程过出现了许多错误，例题如下：

【案例叙述】

要求：

1.选择自己喜欢的方法，独立完成，并解答。

2.完成后说一说自己是怎么想的。

3.和同桌交流，比较一下自己的方法和同桌的方法的差异。

如上三种正确的方法是主要出现在学生的作业本上，选择方法1的占多数。仔细思考发现如上三种方法都有其类同之处。观察法和找相同面都需要学生利用空间观念。仔细分析每个面所对应的长和宽，拉伸法则是利用对三维立体转化为二维图形的一种思考方法，即观察法的后延伸。

二、分析错因

教师对五年级100位学生作为被试，采取调查方法得知，学生最常用的方法是方1，即利用观察物体的方法求立体图形的表面积。而大部分错误的学生都是由于在寻找方法过程中出现各种问题。

研究其主要原因是：学生存在一维、二维、三维之间相互转化的对应问题，从而空间观念没有得到很好的发展。

（一）一维与多维之间的转化，学习素材单一

一维与二维之间的相互转化通常的表现形式是：线与面的相互转化，学生在学习过程中经常会混淆线与面之间的联系。教师往往在教学中对于这类相对比较简单的教学一笔带过，特别在长方形周长和面积周长当作面积计算教学时，没有给学生提供更多的学习素材，无法足以区分这其中的区别。学生在学习长、正方体的表面积计算时，没有将长方体各个面的长和宽与长方体的长、宽、高建立起清晰的“对应关系”

，导致学生只能熟练地说出表面积计算公式，却无法根据立体图形找到相对应的条件因此学生在学习过程中经常出现错误，把面积又当作周长来计算。由线转化成面，由线转化成体，由此，学生在计算长方体表面积的时候就也会把表面积当作周长来计算。

（二）二维与多维之间的轉化，表像经验缺乏

二维与多维之间的转化通常表现为：二维与一维的转化及二维与三维之间的转化。而对于五年级的学生来说，主要问题就出现在二维与三维之间的转化，即面与体之间的动态变化。平面与立体之间的转化，学生需要更多的表象的积累才能提升认知。对于“长方体和正方体表面积”的学习，通过精讲习题和反复操练后，学生能掌握一类题的解题技能，但题目稍改动，或呈现稍复杂一点，学生就无从下手。说明学生对二维平面与三维立体之间的转化还有所欠缺。

（三）三维与多维之间的逆向转化，空间观念薄弱

对于五年级学生而言，三维与多维之间的转化主要表现为：三维与一维、三维与二维之间的逆向转化。学生在解决立体的图形问题时，学生总会出现这样或那样的问题。比如火柴盒的表面积计算，游泳池的内壁的计算以及教室粉刷墙壁计算表面积的多少。学生在计算时经常会出现问题是哪个面的面积找不到，哪条边找错。综其原因主要是对三维立体，转化为二维、一维的数据匹配无法建立，也就是空间想象力没有得到很好的发展。

（四）多维转化出现无序状态

多维转化在学生头脑中应该形成一个有序的体系。特别是在五年级表面积教学时，教师在教学中鲜少有帮助学生建立有序的转化，长此以往，学生的计算表面积就会越来越混乱。

三、概念的界定

【一维】：一维，理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。

【二维】：在一个平面上的内容就是二维。二维即左右、上下两个方向，不存在前后。在一张纸上的内容就可以看做成是二维。即只有面积，没有体积。二维是平面技术的一种，例如普通的平面动漫，称之为二维动漫、简称二维。

（富有立体感的是三维）。另外，脑海里的想象也可看做二维。

【三维】：通常我们说的三维是指在平面二维系中又加入了一个方向向量构成的空间系。三维既是坐标轴的三个轴，即x轴、y轴、z轴，其中x表示左右空间，y表示上下空间，z表示前后空间，这样就形成了人的视觉立体感。三维是由和一维二维组成的，二维即只存在两个方向的交错，将一个二维和一个一维叠合在一起就得到了三维。三维具有立体性，但我们俗语常说的前后，左右，上下都只是相对于观察的视点来说。没有绝对的前后，左右，上下。

【多维转化】本文中的多维转化指的是：一维、二维与三维之间的相互转化。

四、多维转化建立空间观念的策略

长、正方体属于三维立体图形，求这类立体图形的表面积即涉及到二维平面，但是在计算二维平面的同时，需要找到相对应的边，也就是一维线段。因此，长正方体的表面积是五年级学习的一个难点，它涵盖了多维度转化的思想。在学习过程中学生需要找到相关的量，才能进行计算。教师经过多年的研究发现，通过以下策略的实践可以突破表面积计算的困境。

（一）提供一维与多维之间的转化素材，积累学习经验

一维与多维之间的转化主要表现为：线到面的转化;线到体的转化。教师需要给学生提供更为丰富的学习素材，帮助学生积累更多的学习经验，使生活经验可以得到进一步提高。

1.一维转化为二维，由线及面

由线转化为面，是相对比较简单的一个过程，这部分可以放手交给学生独立完成。发挥想象通过动手画一画、折一折、描一描、演一演，同伴之间的交流能够给学生提供更为丰富的学习素材。

【案例1】师：请同学们动手把线到面的转化通过画一画、折一折等表示出来

对于一维平面图形和二维立体图形之间的转化，学生需要更多的实物素材的积累通过剪一剪、折一折、比一比、移一移的方法检验自己的想象。通过多次实践操作，在感悟了一定的方法以后，很多学生解决这一类题目的正确率可以达到100%，空间观念也能得到发展。

2.一维转化为三维，由线及体

一维到三维立体的跳跃转化，出现最多的就是表面积的计算这一单元中。学生在学习过程中经常出现问题。教师在教学过程中需要特别关注学生对于一维线段拼搭成三維立体图形的方法的引导。

【案例2】请同学们拼一拼（教师提供学具）

把下列12条5厘米，4条6厘米，4条3厘米的线段，可以组成哪些立体图形？

图（1）是由4条5厘米，4条6厘米，4条3厘米的线段组成的长方体。

图（2）是由12条5厘米组成的正方体。

图（3）是由8条5厘米4条6厘米组成的特殊长方体。

通过搭一搭、拼一拼的方法给学生提供了更多的动手实践的经验。教师给学生提供更为丰富的学习素材，学生通过选择，判断，操作，建立了更加完整的立体图形的概念。这样的学习就是有意义的。

（二）丰富二维与多维之间转化的表象，发展空间观念

二维平面转化为一维线段及三维立体，一则是逆向转化，另一面是空间的延伸。教师在教学中创设更多的图形表象，对于发展学生空间观念有这举足轻重的作用。

1.二维转化为一维

数学的学习，除了要丰富生活经验之外，更需要积累数学学习经验。充实知识的积累只靠单方面的转化还不能达到很好的沟通。因此在立体图形中找长宽高，显得必不可少。

【案例3】根据在长方体侧面展开图中找到长、宽、高，并长方体平面展开图上标示出来

上题是比较好的从立体图形中找长宽高的练习。从生活中找素材，帮助学生积累数学经验。长此以往，对于求表面积数据的提取就不再出错。立体图形转化求平面表面积的大小，对学生来说本就是一个难点。再加上计算的繁琐，学生对求表面积会产生畏难情绪，造成计算表面积错误率相当的高。因此教师无论在课堂中还是课堂外，都要鼓励学生利用所学的知识，区分不同的表象内容。

2.二维转化为二维

二维如何转化为二维呢？其实不是转化，更确切的说的变化，把普通的平

面图形与展开图做对比就会发现，表面积的展开图有其特殊的地方。

【案例4】一张长8厘米，宽6厘米的长方形纸，做成一张高为2厘米的长方体表面展开图，怎样做材料最节约？（上图5）

通过剪一剪在长方形的四个角减去边长为2厘米的正方形，从而做成一个无盖的长方体侧面展开图，重现了表面积侧面展开图的相关知识，又使空间观念得到了很好的发展。

3.二维转化为三维

对于二维图形和三维立体图形之间的转化，学生需要进行空间想象，然后通过实践操作，在操作中验证自己的想象。通过多次实践，在数学经验得到了一定的积累后，学生的空间观念能得到发展。

【案例5】（1）下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体？先想一想，再把它剪下来试看折一折

（2）下面这些表面展开图，标出L-F、前后、左右六个方向，再观察哪个图可以围城长方体。同桌说一说，为什么。

在“认识长方体和正方体”的课时中.学生通过观察长方体，发现长方体有6个面，相对的面完全一样等特征。在学习展开图时，学生通过观察展开图，进一步加深了对这一特征的认知。我记得在做下面这个题目的时候，受正方体展开图的思维定式影响，很多学生都只考虑这6个面能否围在一起，忽略考虑长方体相对的面的面积相等。通过标出六个方位的面，可以帮助学生更好的建立表面积的概念。

（三）提供三维与多维之间的逆向转化，形成空间观念

三维立体转化为一维线段和二维平面，看似由难到易的过程，实则不然。这是思维的逆向发展，不仅能更好的建立各部分知识之间的联系，更重要的是提供了更为宽阔的逆向思维发展的空间，对空间观念的建立起着重要的作用。

l.三维转化为一维

由三维立体转化为一维线段，学生只有在转化过程中对体与线之间建立充分的链接，才能找到相关联的数据，从而发展空间观念。

【案例6】把一个长为40厘米、宽为20厘米，高为15厘米的包装盒外面包丝带，如图，求包装盒的丝带长度（接口处不计长度）

（下图6）

如上图所示，长方体外面包装绳的长度其实就是两个长方形的周长。但是学生在这个识别阶段，经常会出现误判，或者是迷惘。他们无法很好的找到相匹配的量，因此在三维和一维逆向的、跳跃的转化过程中，能更好的发展学生的想象力。

2.三维转化为二维

观察组合图形面积的计算，同样观察法屡试不爽。若能在观察法的基础上促进三维立体转化为二维平面的计算，那么对于学生的空间观念的建立又是一个质的飞跃。

【案例7】把一个长30米，宽20米，高3米的游泳池，延深2米处在墙壁的四周涂油漆，需要涂多少平方米的油漆？

【案例8】：要求：把这个长方体游泳池的侧面拉伸，变成一个长方形。利用六个方向看到的面积推导，侧面积的计算简便方法。

把游泳池的四周转化为平面图形即为一个长方形，求长方形的面积即是长方体的表面积。把三维视图转化为二维的平面视图，组合成为一个整体。再利用长乘宽就可以计算出表面积的大小。因此如果学生学会利用转化的思想，把复杂的问题简单化，那么空间观念的建立也会水到渠成。

3.三维转化三维

三维立体图形的转化可以切一切、拼一拼、移一移……等各种不同的情况，帮助学生在小学阶段建立良好的三维立体的空间观念，学生在将来的学习过程中将会更为轻松，更加自信。

【案例9】一个正方体，切一刀，它的表面积变化了吗？增加了多少？（表3在正方体上切一刀的变化情况）

不需通过计算，只要动手实践，利用转化的思想每切一刀表面积都会有不同的变化，但是它们的共同点就是表面积都增加了两个面。教师在教学中要选择有意义的教学方法，像此类的实践操作，不仅能拓展学生的想象的空间，更重要的是帮助学生理清一维、二维、三维之间的变化关系，更有效的帮助学生建立空间观念，突破表面积计算的学习困境。