数轴

姚建法

【摘   要】数轴是帮助学生直观地认识与表达数的几何模型，在整个小学数学学习历程中与学生密切相关。借助数轴，可以从“数认知”“数关系”“数运算”“量的度量”四个视角，分别引领学生自然经历数与数系的扩张、充分编织数与数的结构关联、直观呈现四则运算的本质、形象归纳度量的过程与方法，呈现出数学化的思维过程，体现数形结合，促进数学理解。

【关键词】数轴;数形结合;數认知;数运算

根据数（自然数、分数、小数等等）从小到大的关系，在数轴上能够从左往右表示成线性的次序。一般地，数轴包括负数，如果不涉及负数，则称为“半直线”或“数射线”，它可以为小学生学习数提供直观的几何模型[1]，形象地构造知识体系，提升方法内涵。

一、数轴与“数认知”：自然“经历”数与数系的扩张

自然数本身就是对自然世界中物体个数的抽象与符号表达。分数、小数、负数等等，都是数系为了适应不同阶段的需要而不断扩张的“产物”，逐渐构造了越来越精致而庞大的数系网络。基于小学生的学习水平与思维含量，如何让他们感受到这种“张力”呢？

【教学片段1】

（屏幕出示一把米尺，测量课桌的长、宽、高并用小数表示出长度）

师：如果所测量的长度超过1米呢？

（屏幕显示米尺测量中的物体）

生：1.2米，在1米的基础上再加2分米。

师：感觉好像是多出2分米，但数学还是要讲求精确测量。

生：1米处画条线，再把尺子往右移。

师：还可以——

生：再加一把尺子。

师：这就变成一把2米尺。如果测量的长度超过2米呢？超过3米呢？……

生：那就再加尺，再加尺……

师：数学上有办法。

（屏幕显示并介绍数轴，师生适时交流数轴上的数可以是几，还可以是几）

师生小结：真是一条神奇的线。

数射线的教学，不是回归到具象的实体，而是要培养想象的空间以及数学的表示方法（用有限的表示想象无限）。[2]“加尺、加尺、再加尺”从有形到无形的教学推进，让学生自然地经历了数轴从具体到抽象的“生长”过程，简洁明了地把小数与自然数进行了“联结”，感受了小数与数轴上的点的一一对应关系，体验了小数的数序与数值大小，特别是小数的向右无限扩张的推想，增强了学生的数学学习兴趣。用数学自身的魅力吸引学生对数学的聚焦，数轴“真是一条神奇的线”！

【教学片段2】

学生根据单位正方形找到多个小数之后，在屏幕上把正方形变矮（长方形）。

师：你还能找到小数吗？

生：能。

师（继续把正方形变矮）：现在你还能找到小数吗？

生（齐）：能。

师（继续把正方形变矮）：现在呢？

生（齐）：能！

师（继续把正方形变矮，像一个直条）：现在像你们用的——

生：直尺。

师：如果看成米尺，还能找到小数吗？

生：能。

师（继续把直条“变矮”为单位线段，抽象出单位“1”，继而将单位“1”延展形成数轴）：现在，你还能找到哪些数呢？又有什么发现？

“静态地看，概念是知识的基本单位;动态地看，概念是思维的基本单位。”[3]通过让表示“1”的正方形逐渐地变矮、变矮、再变矮，成为直条、单位线段，延展形成数轴（确切地说是数射线），如此的层次递进，学生拥有了丰富的过程体验，十分轻松自然地完成了数学模型的建构。“现在，你还能找到哪些数呢？又有什么发现”的设问，更是引领学生不断地感受着小数群，完成对学习过的所有数的整体认知架构。

从某种意义上来说，“数轴可以看作是数数的直观”[4]，也是单位小数累加的原型。以上两个教学片段中的教师都选择了数轴作为“数的概念认识”的拓展延伸，应用数形结合使学生清晰地“看”到了小数是填在自然数之间的“新的数”，感受到小数和自然数一样也是可以数出来的，也遵循从左往右越来越大的数序规则。特别地，小数并不是“很小”的数，将小数及时纳入“旧”的数与数系，扩张了数域“版图”，完成“新数”与“旧数”的高效融合与整体认知。相应地，今后分数的教学与小数异曲同工。

二、数轴与“数关系”：充分“编织”数与数的结构关联

数学是研究关系的一门科学。数与数之间总是通过某种关联进行联结，形成相应的结构。比如因数与倍数便是讨论与研究两个非0自然数之间的共生关系，里面隐藏着多种数学规律与内涵。借助数轴，能够有效地感知这两者间的联系与区别，呈现出数学化的思维过程。

【教学片段3】

师：如果把一个数的因数表示在数轴上，又会出现怎样的神奇现象呢？

（屏幕显示12、16、36三个数的因数在数轴上的图像。）

学生观察并思考：一个数的因数集中分布在哪些地方？

交流后教师追问：为什么一个数的因数会集中在前一半数轴上呢？

通过把一个数的所有因数表示在数轴上，学生便能印象深刻地感知到一个数的因数自左往右反映出的从“稠密”走向“离散”的分布状态，映衬出书写因数时从1开始有序记录方式的优越性与合理性。“为什么一个数的因数会集中在前一半数轴上呢”的深度追问，引向了一个数的因数“成对”出现的结构思维，提升了学生对于一个数的因数内部之间纵深关联的理性认识。

而要更好地挖掘一个数的因数和倍数之间的横向关联，笔者建议不妨设计这样一个活动：观察数轴想一想，6的倍数和因数分别可能在哪？

学生通过观察判断、找点表达、交流分享，首先排除了0，再次突出强调研讨因数和倍数的数系范围是非0自然数，也能很容易地得出6的因数最大是6，其他因数都在6的左边，最小是1，个数有限;6的倍数最小是6，其他在6的右边，等距离散，个数无限，体现出规律性;等等。通过数轴建立的直观“表征”，学生能够形象地感知因数与倍数的内在特征与结构关联。

三、数轴与“数的运算”：直观呈现四则运算的本质

从一年级起，两个数之间最基本、最常用的关系就是加减乘除四则运算。加法，简明地体现为在数轴上两个数叠加合并的核心本质;减法，则是在数轴上准确地找到某两个数所对应的点，度量出这两个点之间的距离即差;乘法，是在数轴上连续向右若干次等间距的“跳跃”;除法，则是从被除数处向左“跳回”若干个等间距，本质上属于等距“连减”，体现除法是乘法的逆运算，比如下图所表示的除法算式36÷5=7……1。

哪怕到了更高的年级，学习了分数与小数的运算之后，亦可以进行相应表达。比如0.3+0.9，先在数轴上数到0.3，再从0.3那个点开始，重新数到0.9，最后停留的点就是这两个数的和1.2。再如六年级的运算问题[12]+[14]+[18]+[116]+…大多是利用单位正方形展开数形结合与倒推转化，应用数轴是不是也能很便利而清晰地加以表现呢？

四、数轴与“量的度量”：形象归纳度量的过程与方法

为了准确度量一个物体有多长，二年级上册学习用刻度尺作工具、用厘米作单位，常常从0刻度量起，量到几就是几厘米，或者从a厘米量起量到b厘米处，则得出物体长度是（b-a）厘米。直到量更长的物体时用到了米尺、卷尺等测量工具。但说到底，一方面这些测量的“尺”其实就是一个半抽象化的数轴（确切地说是数轴的一部分，是数射线），另一方面都是用“终点-起点”的方法得出度量长度，只是0作为起点时，减0仍得原数，常省略而已。

在三年级学习《年、月、日》的过程中，学生常常要解決求经过时长的问题，也可以通过“时间尺”（即数轴）来阐释，表达时间与时间之间的“序”与结构。时间无始无终，和数轴无限延伸一致，求经过时长，便形象地和度量物体长度相一致，也是用“终点-起点”的方法。

再放宽视角，在解决从一楼爬到几楼的问题时，学生易犯的错误是没有将“一楼”有效排除。如果结合数轴分析，不管是量长度、求时长，还是爬楼问题，都可以辩证统一地把开始的地方称为“起点”，结束的地方称为“终点”，用“终点-起点”得出度量值。这么一来，又想到“平移”多少格的问题，不也可以用“终点-起点”的方法来解决吗？那个“格子”可以想象成“外形”更加简陋的数轴。可见，数轴在不同的领域有着不同的应用方式，蕴藏着丰富的教学价值。

如果再延展一下进行审视，借助两条数轴组成的二维直角坐标系，不但能够准确地“定位”物体的位置、表达出两个数的乘积（即长方形的面积），也可以清楚地表达出正比例与反比例的函数关系等等。如果再延伸一下呢？三条数轴组成三维坐标系，那么能做的事就更丰富啦！

“数学概念并非孤立存在的，总是处于相应的概念系统中。数学概念既可能以纵向的逻辑关系形成‘概念树，又可能以横向的并列关系形成块状结构的‘概念群。”[5]而数轴，正恰恰是具备这种能量的“一条神奇的线”，等待我们去创造、去“绘制”！

参考文献：

[1][2]张奠宙，孙凡哲，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2014：280-281.

[3]刘志强.纵向数学化：数学学习的必由之路[J].教育研究与评论，2014（10）：21.

[4]江黎明.突出本质   情境支撑   数形结合[J].小学数学教师，2015（5）：62.

[5]凌丽.概念教学的过程性缺失与重构[J].小学数学教育（下半月），2015（7-8）：72.

（江苏省常州市新北区新华实验小学   213127）