NO PPT、NO数学题的数学课堂创建

张娟萍

摘    要：NO PPT、NO数学题的数学课堂让所学的内容由学生已有知识创造（生长）出来，并经过学生思维的挣扎，使得学习内容和思考空间进一步拓宽，实现分析、创造等高阶思维发展.

关键词：NO数学题;数学课堂;一次函数

数学课堂中常见大容量的数学题和PPT，就像学生看电影看得懂一样，理解教师的讲解是没有问题的，训练模仿解数学题也可以得到高的分数，但仅止于理解和模仿，很少体验和经历思维产生、挣扎的过程.要提升学生思维、培养学生核心素养，课堂中要由学生创造所学内容，课堂知识和解决问题策略的产生从学生已有知识生长出来，所有数学题的出现都由学生根据获得的知识编制得到.因此，笔者提出NO PPT、NO数学题的数学课堂.“NO PPT、NO数学题”是指不预先设定学生所要探究内容的具体问题和结论，力求让学生所学的数学内容由学生已有知识创造（生长）出来，并经过思维的挣扎，使得学习内容和思考空间进一步拓宽，实现分析、创造等高阶思维发展.下面以笔者在青岛执教的一次函数复习课为例，谈谈NO PPT、NO数学题的数学课堂创建.

一、教学背景分析

（一）学情分析

课堂合作的学生是青岛市一个公办学校初二（上）的学生，他们使用的是苏教版教材;课前没有机会与学生交流对话，现场了解到学生已经学了一次函数的图象和性质，一次函数的应用还没有学.

本节课定位为“一次函数的复习课”，教材不一样、学生的情况不了解，所以课堂设计采用以学生为主、完全开放的形式.

（二）教材知识点分析

一次函数的图象、解析式、取值范围及函数值，以及有关性质：k，b所表示的意义，直线与坐标轴、直线与直线的交点，不等式等相关知识点;图象信息与函数特征之间的关联;突出一次函数的式结构和形结构.

（三）教学目标

1.通过自主学习、自主提出问题和解决问题复习一次函数的相关知识，整合和联通一次函数的图形和符号特征解决问题.

能用函数思想解决实际问题，转化为方程、不等式等问题，感悟转化与化归、数形结合等数学思想.

2.经历函数学习方法整理，提炼、系统化整个一次函数知识结构体系，体验问题情境所反映的文字信息与图象表征和符号（解析式）表征的统一.

3.形成函数复习和数学复习的一般通法：落实内部知识之间的联系形成单元结构;落实知识与其他知识（外部：上位、下位）的联系，实现知识系统化;落实知识与问题解决的联系，做到知识灵活应用;落实知识与学习方法的联系，实现学习方法的迁移，特别是对后继学习具有方法论的意义;落实知识促进和拓展思维深度，实现思维各层次特别是创造性思维的参与与发展.

二、教学片段

（一）问题情境引入探究主题

1.笔者描述来到学校的经历，要求学生用数学的方法简洁地表述问题情境，引出课堂研究主题.师生一起分析这个经历描述的变化过程：路程和时间在变化，即路程和时间是两个变量，这两个变量是怎么样的一个关系呢？学生根据上一节课关于函数关系描述，分析发现：时间在变，路程跟着变化，时间确定就可以确定相应路程.所以概括：情境描述了路程和时间满足函数关系.问题转变成了如何表示函数？

学生迅速地想到表达函数的方法：图象、表格和解析式.

【设计意图】课堂主题由生活实际引入，根据问题要素与函数特征的关联性——时间确定就可以确定相应路程，联想到函数，数学知识与实际问题自然衔接，并促进学生主动启动数学知识（函数模型）解决实际问题，体验数学对实际生活问题解决的价值.

2.学生想要用图象来表示函数，于是搜索函数图象的相关要求：首先要建立直角坐标系，确定横轴和纵轴.学生选择用时间表示横坐标、用路程表示纵坐标，在确定原点的时候有分歧，后来协商决定以“学校”为原点.

3.建立坐标系后，由学生分别独立画出函数图象，小组之间进行比较，小组派代表到黑板画出函数草图，有如图1所示几种不同情况（以学校为原点，用横轴x表示到学校的时间，纵轴y表示离学校的距离）.根据图形还原故事情节，从而纠正图象，体验文字信息与图象特征之间的一致性.

4.由学生自己编一个故事情节，并用图象表示，让同伴根据图象猜出故事梗概.

【设计意图】由实际情境逐渐抽取数学模型——建立函数图象，完全由学生自主分析和选择建立直角坐标系，有利于学生体验自发应用数学解决实际问题的經历和过程;根据学生现场呈现，学生分析、澄清和纠正自己产生的各类错误过程中，辨析函数图象与问题信息表征关系，体验不同的图形反映了不同的故事情节.学生能体会：看似简单的图形的一点变化，反映的情节完全不同，通过画图可以迅速、精确、简洁地表达文字情境——让图象会说话.这个学习过程，也为课堂内后期学生进一步创造性地改编和拓展问题奠定基础.

（二）学生提出问题、探索问题

选择学生所编的故事中大家都熟悉的“龟兔赛跑”的故事情境的图形（图2），由学生提出数学问题.

学生首先想到：求出函数解析式.由学生商定具体的数值，学生合作交流写出相应的函数解析式，反馈如下：

[龟：s=[607][t]（0≤t≤35）][兔：s=[40t                （0≤t≤5）200               （5≤t≤35）20t-500    （35≤t≤40）]]

学生在此基础上提出很多问题，课堂中按顺序选择了其中几个问题进行研究和讨论.

1.问题一：速度表现为函数的什么特征？主要问题内容如下：

兔子前后两段速度一样吗？

按照兔子到达的速度和时间，如果不睡觉，相当于它什么时间或什么地点出发？

经过多长时间，乌龟与兔子相遇？这时距起点有多远的路程？

哪些时间兔子在乌龟前面？

这是相遇问题中的追击问题.

根据图象判断两条线段是否平行得到结论.

从解析式的角度，就看一次项系数“k”是否一样.

归纳：情境中兔子前后两段速度反映在数学图象上是什么呢？解析式怎么表现呢？

2.问题二：线段与x轴和y轴的交点表示什么意思？

从图象上可以向左下方延长兔子最后的线段，与x轴和y轴的交点就相当于它比乌龟晚出发的时间和多走的路程，解析式上就反映在横截距和纵截距的数值.

3.问题三：两条线的交点在解析式和图象上分别表示什么？

从图象上可以找到两条线的交点位置，找出交点的横坐标和纵坐标，即为乌龟与兔子相遇的时间和距起点的路程，解析式上表现为两个解析式组成的方程组的公共解.

4.问题四：哪个时间段兔子在乌龟的前面？

在图象上找到表示兔子的线段在表示乌龟的线段上方部分，即兔子在乌龟前面，所对应的横坐标差表示兔子在乌龟前面的时间段，解析式上表现为两个解析式组成的不等式的解.

在这个过程里，形成板书，体现整节课复习的内容和框架（见表1）.

表1

[一次函数 问题一 问题二 问题三 问题四 问题情境 速度 截距 相遇  前后

位置 图象 倾斜程度、增减性 与纵轴

的交点 交点 图象上

下位置 解析式 k的值  b的值 方程组

的解 不等式

组的解 ]

【设计意图】所有问题的情境和数学问题的设计都由学生自己给出，并逐步完善，其实是复习、提炼、系统化整个一次函数知识结构体系和学习方法整理的过程：但学生发现别的同学提出不同问题的时候，促使他追索所设计问题产生的来源，从而追索一次函数相关内容，促进有序地思考、提出问题.同时体验问题情境所反映的文字信息与图象表征和符号（解析式）表征的统一.

（三）学生自主创造

要求学生在此基础上，进一步提出更有创造性的问题.给学生时间思考和交流，反馈如下.

1.如果以速度为纵坐标，前面所描述的情境图形将发生什么变化？（由图2变到图3）

追问：怎么想到以速度为纵坐标的？

学生追索思维产生的过程：在本课引入坐标系的时候其实对选什么作横、纵坐标和原点就有不同的想法，所以要求自主开放性设计时，就按自己的意思改变了纵坐标.

【设计意图】教师追问，帮助学生反省问题的产生和形成过程，从而促进思维方法内化和有序化，也有利于向其他同学展示自己的思维路径.教师大力表扬和鼓励这样的创造，促进课堂中学生掀起创造氛围.

2.前面都是相遇问题中的追击问题，如果是相向而行呢，前面所描述的情境图形将发生什么变化？兔子不睡觉，龟兔相向而行的草图见图4.

3.兔子不睡觉，龟兔相向而行时，如果以时间为横坐标，以它们之间的相对距离为纵坐标呢？

设：t表示兔子离始点的时间，s表示兔子与乌龟之间的距离，如图5，建立直角坐标系，可以设计什么问题？

4.求出C点坐标.

这是非常好的问题，如何求C点坐标，学生独立思考——小组之间讨论反馈.

小组1：B点在x轴上表示它俩相遇了，CD表示速度慢了，为什么C点后速度慢了？说明兔子到了（因为乌龟速度慢），CD是乌龟单独行走的速度.

小组2：乌龟从终点回到始点共需60分钟，20分钟时与兔子相遇.那么，20分钟乌龟走三分之一的路——100米，20分钟兔子走三分之二的路——200米，所以兔子速度10米/分.全程300米，兔子从始点去终点共用时30分钟，30分钟乌龟走一半的路，所以C点坐标（30，150）.

小组3：B点表示相遇，20分钟走完全程300米，所以总速度15;到C点表示兔子到达终点，拐点表示只有乌龟单独走，速度小于原先两个总速度，D点表示乌龟到达终点，共用时间60分钟走完全程，所以乌龟速度5;所以兔子速度10，从而得兔子到达终点时间30，即C点横坐标30;C点纵坐标表示30分钟时乌龟走的路程，即总路程的一半150.

學生进行方法归纳：要先厘清整个图象所反映的信息——明确整个过程中的来龙去脉.理解C点是兔子到达终点的时候，C点坐标即是求C点横坐标时间和纵坐标距离.

【设计意图】课堂形式的开放性、情境的开放性，决定学生思维的开放性.大开门的问题，给了学生创造的空间，同时教师刺激学生完成创造性的任务，使学生处于有序和创造性思考中.课堂浓厚的创造氛围中，学生显示出非凡的创造力和发散性思维.

以学生编题为主，通过交流、设计、建模解决问题，并通过评价提炼实现数学方法的内化，经历问题探究的一般方法.通过学生自己创设问题从而达到检验知识和应用知识解决问题的复习方式，相比于教师整理知识点、然后大量PPT题目训练，学生经历了复杂的思维过程，学生思维的参与从识记、理解、应用等思维层次提升到分析、比较、创造等高阶思维;也有利于学生对所学数学内容的亲切感和课堂学习的自主性，进一步增加对数学课堂和数学创造的兴趣.

三、教学反思

（一）通过实际情境，引起学生联想关于一次函数的知识

在实际情境到数学知识的过程中，启动学生潜入矛盾解决的思维过程——困难的是如何用数学的思维解决问题、用函数的原理分析实际问题所表达的信息，学生处于胶着状态，如何突破，通过联想的方式联通实际问题与一次函数特征的关联.

由学生自己设计问题，提炼、复习一次函数知识结构体系，并体验问题信息与图象和符号（解析式）的统一关系.在这个过程中复习了：问题信息所表示的“速度、截距、相遇、前后位置”与图象所表示的“倾斜程度增减性、与纵轴的交点、两直线的交点、图象上下方的位置”和解析式所对应的“k的值、b的值、方程组的解、不等式组的解”這些特征，并建立了三者对应的表征关系.落实知识内容的结构化，通过综合、比较，实现内部知识之间的联系，形成单元结构，实现知识与其他知识的联系，实现知识系统化;落实知识与问题解决的联系，做到知识灵活应用;提炼学习方法，实现学习方法的迁移，特别是对后续学习具有方法论的意义.

这样的复习，使一次函数知识的复习由散点串成了线，织成了网，连成了故事;课堂上得出的内容来自于学生，使学生对内容有亲切感和成就感，促使他主动、自主参与探究.

（二）开放性问题，有利于课堂以学生为中心，实现学生真正的创造

课堂中，所有的题目由学生根据数学知识和情境推理自己生长出来，并进一步变式和拓展到更大的问题空间和思维空间：“以速度为纵坐标”使课堂思维作了质的拓展，属于创造性思维，其创造缘起以情境引入的时候学生自己的默会经验，给了学生空间，促使他去尝试挖掘相关的默会知识.

学生“以速度为纵坐标”起头，促使学生审视问题的本质：“前面都是相遇问题中的追击问题，如果是相向而行呢？”“以他们之间的相对距离为纵坐标呢？”问题层层推进.

（三）改变思维的层级需要有“大开门的问题和任务”

让学生积极思考，在这里“你能提出哪些问题？”这样的问题，指向学生把实际情境应用数学模型来解决问题;你能进一步提出更有创造性的问题吗？指向学生在数学知识应用的基础上，进行拓展和变化;你是怎样想到以速度为纵坐标的？旨在引导学生搜索思考路径及提炼方法，进一步促进方法的迁移.

学生在问题的展示过程中，会拿自己的思维与别人的思维方式、思维层次进行比较，改进思维路径，从而进一步优化自己的思维，促进思维发展.

（四）学生是整个学习的主体，是课堂知识和方法的创造者

所有数学题的出现都由学生自己根据获得的知识编织出来.基于学生默会知识生长数学内容和学习策略.特别鼓励对于不同侧面的思考、有序地思考方式和变式、鼓励学生创造性地提出问题.对于创造性问题有个别学生撞到是有可能的，关键是能让更多学生都有意识地去想，再进一步，能从各个侧面去思考，形成学生良好的思维品质：如何想得到——想得妙——想得透.

教师着力给学生创造机会，营造创造的空间和氛围，及时发现并抓取学生创造的情境，并鼓励学生用自己的语言表达自己发现的结论和创造的思维过程，给学生创造表达的平台，促进学生出声思考，思维外显，并引起思维的争辩，促进思维层级提升和优化，促进高阶思维发展.