带有时延和丢包的变增益网络化预测控制

杨洪玖，李 鹏

(燕山大学 电气工程学院，河北 秦皇岛 066004)

0 引言

近年来，随着计算机网络的广泛使用和通信技术的迅猛发展，网络被越来越多地应用到控制系统中，从而产生了网络化控制系统。随着网络技术的不断发展，网络通信能力得到了极大的提升，某些情况下的通信时延已经达到了很小的数量级，从而大大改善了网络化控制系统的控制效果[1]。对于那些具有长时延和多丢包的网络化控制系统，采用预测控制可以有效补偿时延和丢包，使系统达到满意的控制效果[2-3]。网络化预测控制是一种基于时延的补偿策略，因此需要知道网络节点的时钟信息。发送端发送数据包时，需要将发送时刻的时钟信息也加上，从而接收端可以根据接收时刻与发送时刻的时钟差值得到时延信息。对于某些网络化控制系统，实现全部网络节点的时钟同步是不现实的，也是非必要的。对于网络化控制来说，我们只关心系统的回路时延，即传感器到控制器和控制器到执行器的时延之和，并总能用预测控制算法将回路时延补偿掉。不同的是，精确的时钟同步下，各个通道的单程时延都可以知道，从而减小控制器需要发送数据包的大小，节省网络带宽资源[4-5]。

针对一类控制器节点与被控对象节点时钟非同步的网络化控制系统，本文研究了对时延和丢包的变增益预测补偿问题。在本文所设计的方案中，首先在本地端设置状态观测器来获得更精确的状态估计值。在预测控制器端，设计一套变增益网络化预测控制算法来补偿网络中产生的时延和丢包[6-9]。通过锥补线性化的方法将控制器求解过程中的非线性矩阵不等式问题转化为求解一组带约束的线性矩阵不等式，得到了闭环网络化控制系统渐近稳定的充分条件，同时得到满足控制要求的状态观测器参数和一组随时延变化的控制器增益。最后，通过倒立摆模型的数值仿真验证了所提出方案的有效性。本文内容的主要贡献点总结如下：

1) 针对带有时延、丢包和时钟非同步的网络化控制系统，设计了变增益网络化预测控制器补偿时延和丢包。

2) 采用锥补线性化的方法将非线性矩阵不等式问题转化为带约束的线性矩阵不等式问题并求解优化问题。

3) 提出的设计方案降低了系统稳定性分析的保守性，同时简化了控制器参数的设计和调节的过程。

在没有特别声明的情况下，本文中的所有矩阵都具有合适的维度。Rn表示n维欧几里得空间，P-1和PT分别表示矩阵P的逆矩阵和转置矩阵。I代表具有合适维度的单位矩阵。P>0表示矩阵P是一个正定对称实数矩阵。N代表非负整数集合。表达式diag{·}表示对称矩阵。记号*表示对称矩阵中的对称内容。

1 系统模型与问题描述

本文考虑如图1所示的带有时延和丢包的网络化预测控制系统。

图1 网络化预测控制系统结构图
Fig.1 Networked predictive control system diagram

在图1中，被控对象的模型可描述为下面的离散方程：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),

(1)

y(k)=Cx(k),

(2)

式中，x(k)∈Rn，u(k)∈Rm和y(k)∈Rq分别代表系统的状态向量，输入向量和输出向量，A、B和C是具有合适维度的已知常数矩阵。

为了方便本文研究，给出如下的假设条件。

假设1：系统模型(1)、(2)满足(A,B)完全可控，(A,C)完全可观测。传感器、控制器和执行器均为时间驱动方式且具有相同的采样周期。

假设2：所有发送到网络中的数据包都有时间戳，网络中传感器节点和控制器节点的时钟是非同步的，传感器和执行器的时钟是同步的。

假设3：传感器到控制器通信网络和控制器到执行器通信网络中数据总的传输时延范围为τ1∈{1,2,…，H} ，反馈通道和前向通道的最大连续丢包数分别为N和R，则回路总时延τ(k)的上界为H=M+N+R。

2 主要工作

2.1 状态观测器

考虑到系统状态不可由传感器测量的情况，设计如下形式的状态观测器

(3)

(A-LC)e(k)。

(4)

2.2 预测控制器

(5)

最后，预测控制器将计算得到的H个预测控制量打包成如下的形式

τ(k)=(tr-ts)/T。

对于时间驱动的传感器和执行器，时延τ(k)总是整数。执行器将预测控制量u(k|k-τ(k))作为当前时刻的实际控制量。当下一采样时刻没有新的预测控制量数据包被接收时，则使用数据包中对下一时刻的预测控制量u(k+1|k-τ(k))作为真实控制量。

在这种固定增益的预测控制算法下，闭环网络化控制系统的状态方程可以用下式来描述

Ax(k)+BK(A+BK)τ(k)x(k-τ(k))-

BK(A+BK)τ(k)e(k-τ(k)),

(6)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，闭环系统可以描述成上述包含H个子系统的切换系统，应用切换系统理论可以得到系统渐近稳定的充分条件。如式(6)形式的系统稳定性证明已在文献[10]中给出，此处不再赘述。

固定增益预测控制算法在传输时延和连续丢包步数较少时，可以很好地补偿网络中的时延和丢包。然而，控制器的参数K是针对系统中没有时延和丢包的情况下设计的，虽然能够使无网络的控制系统获得满意的控制效果，但并没有反映出网络化控制系统中可能出现的时延，因此设计方法比较保守，并没有考虑根据网络时延情况来设计控制器。本文提出一种变增益网络化预测控制方案，控制器参数根据时延信息来设计，可以得到保守性更低的设计方法，同时使系统获得更好的控制效果。下面给出本文的变增益预测控制器设计方案。

(7)

作为真实控制量。同传统预测控制方法一样，当下一时刻执行器没有接收到新的数据包时，使用可利用数据包中对下一时刻的预测控制量u(k+1|k-τ(k))作为系统的真实控制量。

由上述预测控制方案可得闭环网络化控制系统的状态方程为

(8)

令(BKτ(k)-BK0(A+BK0)τ(k))x(k-τ(k))=BK0e(k)，则系统状态方程可改写为

x(k+1)=Ax(k)+
BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0e(k)-BKτ(k)e(k-τ(k))=
Ax(k)+BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0(A-LC)He(k-H)-
BKτ(k)(A-LC)H-τ(k)e(k-H)),

(9)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，K0和L为在无网络情况下能够使系统渐近稳定的控制器参数和观测器参数，可以由极点配置的方法来得到。

由式(4)和(9)，闭环网络化控制系统可以描述为下式所示的切换系统

(10)

式中，

2.3 系统稳定性分析

定理1 对于切换系统(10)，如果存在一个合适维数的正定对称矩阵P>0使得对于所有的τ(k)=1,2,…,H，都有

(11)

那么闭环切换系统在任意切换律下渐近稳定。

证明根据切换系统理论，如果对所有的子系统存在一个公共的李雅普诺夫函数，且该函数随时间的差分小于0，那么切换系统在任意切换条件下是渐近稳定的。对于系统(10)，给定公共李雅普诺夫函数为

则有

令ΔV(k)<0，则可得定理1的结论。即对于有限个子系统的切换系统(10)，如果对于所有的τ(k)=1,2,…,H，存在合适维数的正定对称矩阵P>0使得不等式(11)成立，则闭环系统是渐近稳定的。

证毕。

接下来，在定理1的条件下求解变增益预测控制器的设计问题。首先把闭环系统(10)改写为

(12)

式中，

下面给出控制器的设计过程。对不等式(11)应用Schur补引理，可以得到ΔV(k)<0等价于矩阵不等式

(13)

由于非线性项P-1的存在，式(13)不能应用线性矩阵不等式的方法来求解。令Q=P-1替换掉非线性项P-1，然后采用锥补线性化的方法将下式转化为线性矩阵不等式

(14)

然后，通过求解优化问题minimize trace(PQ)，且同时满足约束条件

(15)

从而得到一组优化问题的解，进而得到控制器参数Kτ(k),τ(k)=1,2,…,H。

3 仿真结果

为了验证本文所设计变增益预测控制方案的有效性，使用图2的倒立摆的模型进行数值仿真。

图2 倒立摆模型图
Fig.2 Inverted pendulum model

对于通信网络，给定回路的数据传输时延上界M=4，反馈通道和前向通道的最大连续丢包数分别为N=1和R=1，则整个回路由传输时延和丢包造成的总的时延上界为H=6。通过极点配置的方法给定满足本地控制性能要求的控制器参数和观测器参数分别为

然后通过求解满足不等式约束(15)的优化问题，得到变增益预测控制器的参数为

最后，仿真得到观测器的观测误差曲线与闭环系统状态响应曲线分别如图3中(a)和(b)所示。

由图3(a)可知，状态观测误差渐近收敛到0，从而证明了所设计状态观测器的有效性。由图3(b)可知，应用本文设计的控制器参数可以使闭环系统渐近稳定。上述仿真结果证明了本文所提出的变增益预测控制方案是有效的，系统能够以接近本地控制的效果达到渐近稳定。

图3 状态观测误差和系统状态响应曲线
Fig.3 State observation error and system state response curves

4 结论

本文研究了网络时钟不同步的情况下，带有时延和丢包的网络化控制系统的变增益预测控制器设计问题。根据切换系统理论，通过锥补线性化的方法将控制器求解过程中遇到的非线性矩阵不等式问题转化为线性矩阵不等式问题，通过求解一组优化问题，得到满足条件的优化问题的解。最后通过倒立摆模型的数值仿真结果验证了本文设计方案的有效性。