复数相等的定义在证题中的运用分析

范文捷

摘要：作为高中数学中的主要构成，复数部分问题的解答难度较高，这类问题也是我们在日常数学学习及考试中的主要耗时点。基于此，本研究以复数相等这一定义为中心，细化阐述其在复数运算类问题、解析几何类问题等不同证题中的应用方法与技巧，以期为高中数学的复数问题解答提供参照。

关键词：复数相等;复数证题;解析几何

前言：

复数方程是我们高中阶段数学学习中的重难点之一。在解答这类题目的过程中，常常会遇到难以确定解题思路、解题错误率高等状况。事实上，复数相等的定义作为高中数学教材中复数部分的主要概念，其可为复数相关问题的解答提供依据。因此，分析复数相等的定义在高中数学证题中的应用具有一定的现实意义。

一、复数相等定义在复数运算类问题中的应用

复数运算无疑是高中数学教材中复数部分的经典问题之一[1]。结合既往解题经验可知，这类问题的运算通常较为复杂，一旦出现疏忽，很容易导致最终结果的错误。在复数运算解题中，对于适宜引入复数相等概念的问题，我们可以直接代入这一定义，以降低这类问题的解答难度。

例如，复数

等于（ ）

A.-i B.i C.

-i D.

+i

在解答这一复数运算问题时，如按照常规方法进行作答，即直接运用题目中的复数式进行计算，则需要花费较长时间。对于这类问题，可借助复数相等的定义进行解答。采用设方程形式，将复数式调整为：z=

=x+yi。在上述方程基础上进行转化，可得：（

-i）（x+yi）=1+

，进一步分解可得：（

x+y）+（-x+

y）=1+

i。此时，运用复数相等的定义，将上述已知信息转化为如下两条信息：

x+y=1以及

y-x=

。在此基礎上求解，可确定x与y的值分别为0、1，由此可认为：题目中复数（z）的值为i，正确答案为B。

二、复数相等定义在解析几何类问题中的应用

复数相等这一定义的活用，可为不同类型题目的解答提供支持[2]。除了复数的运算问题，在日常数学学习中，我们还可于解答某些解析几何题目时，合理运用这一定义。

例如，已知圆的方程a2-20=x2+y2-8x-4y，（a>0）。在这一方程中，已知三点，其中，O为圆点，P为该圆上的一个动点，另一点A则为定点，其坐标为（4，2-a）。该圆上另有一动点Q，其运动规律为：

=3

+2

，求解该点的轨迹方程。

根据上述已知条件，可将该圆的方程转化为：a2=（x-4）2 +（y-2）2。在此基础上，将其转化成参数方程形式为：x=4+ acosθ、y=2+asinθ。根据动点Q的运动规律要求，将3

转化为12+（6-3a）i，并将2

转化为：i（4+2sinθ）+（8+2acosθ）。将动点Q运动规律中的另一已知条件

设为x+yi。此时，运用复数相等等以，将上述已知信息转化为：x=20+2acosθ，y=2asinθ+10-3a。从上述信息中消掉θ，即可获得动点Q的轨迹方程，为：4a2=（x-20）2+（y-10+3a）2。

从上述解题流程来看，复数相等定义的运用，有效简化了动点Q轨迹方程的确定难度。由此可认为，复数相等定义的活用，可为我们的数学证题解答提供诸多帮助。

三、复数相等定义在方程求值类问题中的应用

复数相等定义的应用范围较广。在实践解题中，我们可以尝试在方程求值类问题中，合理代入这一定义，以缩短方程求值解题所需时间。

例如，已知方程x2-2（1+i）x+

ab-（a-b）i=0（a，b∈R），该方程总有一个实数根，求解这一实数根的取值范围。

在解答这一证题的过程中，为了明确该方程的实数根，我们可先将这一实数根设为m，且将该实数根的取值范围设定为R。将这一实数根代入方程中，可得：m2-2（1+i）m+

ab-（a-b）i=0，在此基础上进行分解可得：m2-2m+

ab+i（b-2m-a）=0。此时，运用复数相等定义，将上述方程转化为如下两个部分：a+2m-b=0以及m2-2m+

ab=0。同时从上述两部分中将实数根m消掉，可得：（a+2）2+（b-2）2=8。在此基础上，分别将该方程中的a+2及b-3设为2

cosθ、2

sinθ。求解实数根m可得：m=

=2+

（sinθ-cosθ）=2+2sin（θ-

）。根据函数的属性，可确定|sin（θ-

）|

≤1，因此，可确定实数根的取值范围为0≤m≤4。

方程求值类问题的形式较多。除了上述题目外，复数相等定义还可在如下问题中得到良好的应用。

例如，已知m≥0，方程n|n|+mn+i=0。求解方程中的复数n的值。

在分析这一问题中的已知条件时，可发现：如按照当前的已知条件形式，难以获取其他信息。因此，我们在解题时，首先应考虑已知条件中的内容是否可转化成其他形式。本题目中的方程n|n|+mn+i=0可转化为：n（|n|+m）+i=0。根据这一转化结果，可初步判断本题目所求复数n的值不为零。代入题目中的已知条件，m≥0，可确定如下关系：m+|n|>0，此时，可获得如下结论：n=-

。将复数相等定义代入上述已知信息中，令复数n=ki，分别从大于0、小于0两方面分析k值。如k>0，与前文所述已知信息相互矛盾，可判断这一取值范围不正确。因此，可设k<0，可得k值为：k（m-k）=-1，进一步转化，可得k=

。根据上述结果，可确定本证题中所求复数n的值为

i（m≥0）。

在解答上述问题时，如按照传统思路进行解答，即另复数n=x+yi（x，y∈R），在这一解题思路下，x、y这两个值的解答过程较为复杂，且其中的y>0属于增解。在分别确定上述两个数值的过程中，我们不仅需要花费大量的时间，还可能因解题步骤繁琐而出现错误。相比之下，在解题过程中引入复数相等的定义后，复数n的解答思路变得更加明确、具体，由复数相等关系所得到的已知信息较为简洁，整个解题过程的步骤较少，耗时较短。由此可认为，在证题中，合理运用复数相等这一定义具有一定的必要性。

结论：

综上所述，于复数部分证题中合理运用复数相等的定义，可降低复数证题的解答难度。因此，在后续学习中，我们应在深刻领悟复数相等这一定义的特征的基础上，根据复数问题的已知信息及解答要求等，适时采用复数相等定义进行分析，快速确定解题思路，以保障问题解答的正确率。此外，我们还可以从复数相等定义的证题应用经验中总结技巧，不断提升复数相关证题的解题能力。

参考文献：

[1]冶慧玲.实数条件是求解复数方程问题的关键[J].中学数学教学参考，2018 （18）：41-42.

[2]吴天文.美国高中复数教学研究[D].广州大学，2017.