细品一例典型图形

钱德平　袁林

近年来各地立体几何考题都注重考查空间图形位置关系，尤其是平行垂直的证明，它们都是以某一几何体为载体进行考查的，如果在平时学习的过程中我们注意留心对立体几何中的一些典型图形的研究，对我们认识空间图形，提高空间想象力会很有帮助.本文以一图例加以说明.

我们用硬纸剪一个三边均不等的锐角三角形AOB，然后以AB边上的高OD为折痕，折两个直角三角形，使之直立在桌面上（如图1），然后转动其中的一个直角三角形ODA，使得在底面三角形DAB中∠DAB=90°，这样就得到了一个三棱锥（如图2）.

人教版《必修2》第65、69页的探究题与苏教版《必修2》第71页的操作题都出现了这个图形，该图例有着十分丰富的性质：

（l）三棱锥O-DAB的四个面都是直角三角形;

（2）有三个直二面角分别为O-BDA，O-ADB，B-AO-D;

（3）V三棱锥=l/6 OD.DA.BA;

（4）若直线BO与平面ABD所成的角为α，∠DBA=β，∠OBA=γ，则cos γ=COS β.cosβ.（以上结论要会证明）

一、该图形在教材中时隐时现、贯穿始终

限于篇幅，我们仅列出部分例习题：

（苏教版P39例4）如图3，已知∠BAC在平面α 内， P ∈/ α，∠PAB=∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.

该图如果以平面PAO为截面将该组合体分成全等的两个部分，其中每一个三棱锥都是上述图例.人教版P74B组第2题与之类似.

（苏教版P42第9题）如图4，AB为圆0的直径，PA垂直于圆0所在的平面，C为圆0上不同于A，B的任意一点，求证：BC上平面PAC.

（人教版P69例3）如图4，AB是圆0的直径，PA垂直于圆0所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC上平面PBC.

（人教版P73习题第3题）在三棱锥V-ABC中，∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°，试判断平面VBA与平面VBC的位置关系，并说明理由.

在我们学习的正棱锥、正棱台及后继的旋转体中都经常出现这样的几何体.如图5，在正三棱锥P_ABC，PO⊥平面ABC，三棱锥P-ODB具有图例的特点.如图6，在正四棱台ABCD-A1B1C1Dl中，侧棱延长交于点P，上下底中心分别为0，01，斜高为PE1交BC于E，过B作BB2⊥B1D1，交B1D1于B2，再过B2作B2 E2⊥B1C1交B1C1于E2，连结BE2，则可知三棱锥P-01E1 B1，三棱锥B-B1B2 E2具有该几何体特征.

二、链接考题

（2010年江苏卷）如图7，在四棱锥PABCD中，PD上平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.求证：PC⊥BC.

图中的三棱锥P-BCD就是我们的图例，要证明的结论就是图例性质的结论（l）.

（2011年湖南卷理科19）如图8，在圆锥PO中，已知PO=√2，⊙0的直径AB =2，C是AB的中点，D为AC的中点.证明：平面POD上平面PAC.

要证明的结论是图例性质的结论（2）.

（2014年福建卷）如图9，在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD上BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD上平面BCD，求证：AB⊥ CD.

若连结AC就为本图例.事实上，

因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB C 平面ABD，AB⊥ BD，

所以AB⊥平面BCD.

义因为CD （ 平面BCD，

所以AB⊥CD.

以上高考题考查了空间直线与平面的位置关系的证明，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力，如果同学对本图例相关知识有足够的认识，问题就可轻松获得解决.

三、旧图形，再思考，新认识

如果我们以这个图例为载体，适当地添加或删减部分直线与平面就可以得到一些新的问题.

如图10，在三棱锥P_ABC中，PA上平面ABC，AC⊥ BC，倘若过点A作AE⊥PB交PB于E，过A点作AF⊥PC交PC于F，连结EF，这样就得到相关的直线，那么EF与PB的位置关系如何？

由图例的相关知识可知平面APC⊥平面BPC，又AF⊥ PC，由面面垂直的性质定理可得AF上平面PBC，进而由线面垂直的性质得到AF ⊥ PB.又因为AE⊥ PB，结合线面垂直的判定定理可得PB⊥平面AEF，从而由线面垂直的性质定理可得EF⊥PB.

课本中一些出彩的题目，可以由该图例演变得到，还可以再根据课本题推演下去.如图11（苏教版《必修2》P70第18题），由图例三棱锥C1-ADC，经过补体可补成课本中的正三棱柱，提出课本中的相关问题，再思考下去，在正三棱柱的棱长都相等的条件下，若F为棱BB1的中点，可由本图例的性质推证CF⊥平面ADC1.

事实上几何体之间是相互联系的，借助割与补的思想可以将柱体割成锥体，同时可以将锥体补成柱体（台体），同学们在学习的过程中要善于抓住一些常见的几何体去研究剖析，仔细品味.熟知它们的一些结論，对用综合法证明立体几何问题是很有好处的.