一道等差数阵题的畅想曲

高一下学期，我们学习了《必修5》中的数列知识，在做练习作业时，发现了这道题：

下面给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，a_ij表示位于第i行第j列的数.

（l）写出a45的值;

（2）写出a_ij的计算公式，以及2017这个数在等差数阵中所在的一个位置.

认真做完题目，我掩卷沉思，不禁思绪翩翩.这样根据已知数据，寻找恰当规律，填数的数阵，在小学也见过.现在我是高中生，长大了，问题也升级了，这个有意思.我就以这道题为契机，自主设置问题进行探索求解——进行一番数学畅想.

为了完成第（l）小题和找规律，我一定要不辞辛劳地多写一些项，如图2.这样就轻松得到第（1）小题答案49.

第（2）小题要求解a_ij的通项公式.平时学的数列通项，只有一个变量，这个题目搞事情呀，怎么是双变量呢？看着图2中大量的数据和省略号，我心中不觉阵阵发毛，想必难写！怎么办？

不过要找出2017在等差数阵中的一个位置，可以在较小的行列中进行试探.观察数阵发现，这个数阵的数关于a_ij成对称排列，即第一行的数和第一列的数一样，第i行和第i列的数一样，那么某数在a_ij位置出现，就必在a_ij位置出现，如果2 017出现在第一行，必有2017 =4+3（j-1），解得j=672，故2017出现在第1行第672列中，当然也出现在第672行第1列中.它还会出现在别的位置吗？继续用这个办法试探所有的，哦，NO，饶了我吧，这一定不是明智的想法，它定会有规律可循的，我得慢慢研究它.

畅想一：方阵畅想曲

我仔细观察这些数据，嘿嘿，有了.从图2中选取n行n列的方阵，对角线上行和列是相同的，相当于一个变量，应该简单得多，我先来解决它.

完成了对角线的通项，我们把目光再次转移到任意方阵中来：任意一项的通项如何表示？如何判定任给一个数是否在这个方阵中？如果在，会出现多少次呢？

畅想二：矩阵畅想曲

用i，J直接表示a_ij的通项有困难，考虑到题目说每行、每列都是等差数列，我是不是可以采用迂回的方法，先表示每行或者每列的通项，再进行观察呢？说干就干.

畅想三：多媒体畅想曲

问题8 借用Excel表格，如何寻找规律呢？

分析 Excel有强大的运算与分析能力，丰富的功能区菜单，面对大数据工作表的时候，进行数据整理、计算、汇总、查询、分析等处理，简直无所不能，太赞了！

我运用Excel表格，查找2 017这个数在等差数阵中所在的一个位置，使用了如下方法.

问题9 运用编程的方式解决问题，会否更方便呢？

我们现在正在学习Visual Basic语言编程，这道题目也符合编程的要求，不妨小试一下牛刀，从两个不同角度编写一下查找某数在等差数阵中的位置的程序，编写的程序及结果如图4和图5所示.

运行该程序，只要在方框内输入你想查找的数字，单击查找，在窗体上就会列出该数字对应的i，j的值，从而得出该数在数阵表格中的位置.

图4是运用了已经算出的以a_ij=2ij +i+j这個通式，运用二维数组进行编程设计的.图5是运用了表格中给出的4个数字4，7，7，12，根据等差中项的性质，先算出第一行和第二行的各数，即i=l，2时，用公式a（i，j）=2*-a（i，j-1） a（i，j-2）计算出第一、二行.对于给定的数M，第一行可能出现的最大的列数是Int（（m -4）/3+1），下一列的数就超出M了.这个数就是最大的列数和行数，然后再利用a（i，j） =2*a（i-1，i）-a（i-2，j）计算其余的各行，直到最大的行.

畅想四：数阵变奏曲

对上面的表格进行改编，一定可以得到一些有趣的规律.

改编一：使每行的公差始终为3，每列公差为5.除了前面的问题，还可以提出如下问题.

1.哪些数会在这个数阵中出现，哪些数不会出现？有规律可循吗？

2.哪些教会出现两次？三次？甚至无数多次？有规律或者公式吗？

改编二：n²（n≥4）个正数排成n行n列的方阵：

数字构成的数阵，千变万化，只要你开洞大脑，不断思考，你就可以收获一片旖旎，欣赏无限绚丽的风光，奏响一段惬意的畅想曲，

【指导老师点评】

马思琪同学在作业中发现了一道有趣的等差数阵问题，循着问题的脚步，不断探究，运用代数、Excel、编程三种办法找出2017在等差数阵的位置，而且通过a_ij的通项设置出裂项求和等数列问题.善于学习思考和运用多媒体工具解决问题是本文的一大特色，尽管学校学了一些VB编程语言，但要完成没有学过的二维数组随变量而精确定义，以及For语句与IF语句的嵌套运用，还是困难不小，学习就是在这种自发的“尝试与错误”过程中完成的.