学习立体几何的法宝之二

秉正

立体几何上有很多概念、性质和方法都与平面几何有着千丝万缕的联系.比如，多面体与旋转体的定义就沟通了平面与立体的联系.由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱;当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥;用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分就是棱台.而圆柱、圆锥和圆台则可以分别看成以矩形的一边、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.

本文试通过分析下面给出的问题，帮助大家初步体会一下两者的密切关系，

例1 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图1所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ___.

解析 将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可.

将平面展开图折叠成正方体，如图2所示，标“△”的面的方位应为北.故填北.

将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，同学们应引起重视.特别是在处理比较复杂的立体几何的问题中，这一处理问题的方法非常重要.

例2 如图3，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要绕圆柱一周由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图4所示，连结AB'，则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离.

已知AB=A'B'=2，AA'为底面圆的周长，且AA'=2π×1=2π，则AB'=

这样的例子很多，如侧面积的计算方法、直线与平面的所成的角、二面角的定义等概念的形成，揭示了空间与平面的紧密联系，本文即着重谈谈类比这个学习立体几何的法宝之一，它在平面几何与立体几何之间建立了一座桥梁.

一、类比方法在学习中的几个常见作用

1.利用类比的方法来梳理定理知识结构

几何的知识结构一定是一个“公理化”的结构，立体几何也当如此，由几个不证白明的公理得到一些重要的结论作为定理，从而衍生出一套完整的知识体系.

立体几何中的基本元素是直线、平面，基本位置关系是平行与垂直，因此将它们进行组合，就有了几个必要的结论存在：直线与直线平行（垂直）、直线与平面平行（垂直）、平面与平面平行（垂直）.因为既要判断又要应用，故定理必然要有判定定理和性质定理之分.这样便可以类比平面几何形成一个公理化的体系.

如此，我们可以提纲挈领地掌握立体几何中的几个重要定理，实际上在学习中也可以相互比较进行记忆、理解和应用.

2.利用类比的方法来理解定理的内在逻辑

我们在立体几何里学习了不少结论，有公理，有推论.有等角定理，有判定定理，有性质定理等等，很多同学一下子就糊涂了，这时候类比就能产生重要的作用.比如直线与平面的判定定理应该是由直线与直线的关系得到直线与平面的关系，而性质定理则应该由线与面的位置关系得到线与线的位置关系，其他的判定定理与性质定理也理应如此.例如平行.

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.可以简单说成：线线平行=>线面平行.

3.利用类比的方法来理清易错易混结论

在立体几何的学习中，有一些类比平面几何得出的结论有真有假，这需要我们经常去比对、琢磨，这就是类比.

比如，两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行，这是平行公理.类似地，两条直线都与一个平面平行，那么这两条直线平行，对吗？显然不对，可能平行，也可能相交或异面，两个平面都与一个平面平行，那么这两个平面平行，对吗？这是正确的.再改为两个平面都与一条直线平行，那么这两个平面平行，对吗？还是不对.再将上述所有的说法全部换为垂直再一一进行判断，又是什么样的结果呢？

相类似的例子有很多，在学习立体几何的过程中，这样的训练是必要的.

二、运用类比这一重要思想的两个关键认识

l.要重视类比对象间的联系

所谓类比，就是要多联系，用已有的知识和学习经验帮助我们学习新的知识和方法，具体地，即借助两个（组）对象的某些相同或相似性质，去推断在其他性质上也可能具有共性或相似性.

在立体几何的学习中，我们应该有意识地做这方面的联系或联想，比如遇到了一个与直线相关的问题，我们就要问问换成平面会是什么情况;一个与平行相关的问题，我们就要问问换成垂直会是什么情况;一个与立体几何相关的问题，我们就要问问能否转化到平面进行解决等等.

2.要重视类比对象间的区别

大家还要注意的是，类比不仅要重视联系，关注共性，而且要重视和理解类比对象间的区别，否则就会掉入陷阱里，比如，在平面几何里，垂直于同一条直线的两直线平行是一个真命题，到了立体几何里就是假命题，所以在使用它们的时候要加上前提条件，三条直线都在同一平面内.再如，四边相等的四边形是菱形，在立体几何里也是一个错误的结论.

同学们，类比是联想的翅膀，是我们学习的重要帮手，让我们一起在立体几何的天空里展翅翱翔。