借误导悟 误悟共舞

翟爱国

解三角形问题的考查主要体现在正弦、余弦定理的应用.解三角形及其应用的题目难度大、综合性强，解题需要一定技巧.很多同学在解题时经常因为审题不细、考虑不周、方法不当等原因而失误.下面就同学们在解题中常出现的错误分类辨析如下，供大家参考.

一、忽视三角形解的情况的讨论

例1 在△ABC中，已知a=5，b=4，A= 120°，不解三角形，判断三角形解的个数.

错解 因为bsin A=4sin 120°=2√3>a，所以△ABC有兩组解.

辨析事实上，A为钝角，则角B只能是锐角，不可能有两个解，只能有一个解.

正解 只有一个解.

点评 正弦定理能够解决两类问题：（l）已知两角及其一边，求其他的边和角，这时有且只有一解.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，由于正弦函数在区间（0，π）内不是单调函数，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解.我们可通过几何法来判断三角形解的个数.如：在△ABC中，已知a，b和A时解的情况如下：当A为锐角时，见图1;当A为直角或钝角时，见图2.

辨析 由题意b>a，所以B>A.因此A=150°是不可能的.错解没有认真审题，未能利用好限制条件.所以在解题时，要善于应用题中的条件，全面细致地分析问题，避免错误发生，

三、忽视逻辑联结词的理解

例4在△ABC中，acos A=bcos B，试判断△ABC的形状.

错解 在△ABC中，因为acos A=bcos B，由正弦定理得2Rsin A cos A=2Rsin B cos B，

所以sin 2A=sin 2B，所以2A=2B，且2A+2B=180。.

所以A=B且A+B=90°，故△ABC为等腰直角三角形.

辨析错解由于对三角公式不熟，不理解逻辑联结词“或”、“且”的意义，导致结论错误.

正解 在△ABC中，因为acos A=bcos B，所以sin 2A=sin 2B，

所以A=B或A+B=90°，

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

四、忽视转化过程的等价性

例5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，c=π/3，若sin c+sin（B-A） =2sin 2A，求△ABC的面积.

错解由题得sin（B+A）+sin（B-A）=4sin Acos A，即sin Bcos A=2sin Acos A，得sin B=2sin A.

3，所以a的取值范围为（1，3）.

以上列举了在解三角形中常见的错误，希望通过上面的总结能给同学们的学习带来帮助.同时，面对自己的错误，要认真找出错的原因，分析思维的障碍，在思考中经历错误矫正，反思构建，借误导悟，误悟共舞，才能更好地感悟数学，形成良好的数学品质，进一步提升分析问题、解决问题的能力，才能跳出“会而不对，对而不全”的怪圈。