基于核心概念的数学测评解析与教学建议——以重庆市2018年中考数学试题（A卷）为例

张 斌，苟斌娥

基于核心概念的数学测评解析与教学建议——以重庆市2018年中考数学试题（A卷）为例

张 斌1，苟斌娥2

（1．重庆市教育科学研究院，重庆 400015；2．重庆市礼嘉中学校，重庆 401122）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了10个核心概念，如何体现课程标准与课堂教学、考试评价之间的一致性已经成为广大教育工作者重点关注的问题．2018年重庆市中考数学试题坚持以《课标》为准绳，考试说明为指引，突出考查数学素养和学习能力，对学生的数感、符号感、运算能力、分析与解决问题的能力进行全面考查．通过对典型试题中学生常见错误的分析，提出基于考情研究的教学改进策略：立足课程标准，深入剖析教材；摒弃题海战术，重视知识本质；淡化解题技巧，注重通性通法；重视数式通性，提高数学运算能力；培养符号意识，提高数学表达能力；渗透数学思想方法，提高逻辑推理能力；加强教师示范性，规范答题书写格式．

核心概念；考试评价；中考

1 问题提出

随着新课程改革的不断深入，基于课程标准的教学与评价逐渐被越来越多的教育者所重视，人们逐渐以课程论的眼光重新审视数学课程的价值和功能，并以此来改进课堂教学[1]．为了实现教学评价的一致性，部分研究者逐渐从评价领域思考如何依据课程标准设计课堂教学评价工具，如何依据试题研究改进课堂教学等问题．中考作为课程实施评价的一个重要途径，应该发挥出其评价和导向功能，引导课堂教学，关注数学素养的培养．

2 试题概述

2.1 试卷整体特征

2018年重庆市中考试题满分150分，考试时间120分钟，客观题12个，共42分；主观题14个，共102分．试题内容在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”所占百分比分别为52%、38%和10%，与教材安排的课时比例基本相同．每种题型都遵循由易到难的原则，层次分明，很好地体现了毕业和选拔两大功能．在坚持试题的原创性与公平性，体现数学科学性和生活化特征的前提下，从估计二次根式的近似值到运算程序的设计，从折叠图形相关角与线段的计算到直线平移与坐标轴交点的取值范围，从营养粗粮的比例搭配到美丽乡村建设的经费配比，从平行四边形中相关线段关系的证明到阅读理解中用字母符号对代数式中特殊规律的探究等都加大了数学思想方法和运算能力的考查，进一步凸显数学思维能力和数学应用意识．整套试题以考查学生数学素养和学习能力为中心，对学生的数感、符号意识、运算能力、推理能力、分析与解决问题的能力等进行了全面考查，对今后初中数学教学具有很好的导向作用，在从标准到评价的转化方面做了有益的探索．

2.2 试卷考查知识点分布

该套试题对初中数学学习中的核心知识进行了重点全面的考查，如方程与不等式考查了一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（组）等全部内容；函数中的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数也进行了全面考查．几何中平行线与相交线、三角形、四边形、圆全覆盖，轴对称、平移、旋转、相似变换全展示．统计与概率结合实际生活呈现．由此可知，该套试题注重核心知识、核心能力、基本思想的考查，其中以主观题考查更为突出，这里以主观题为例，分析出主观题的考试内容、内容领域、核心概念指向，具体见表1．

2.3 试卷得分情况统计

2018年重庆市参加联招考试人数为40 185人，根据阅卷情况，统计出重庆市2018年中考数学试卷（A卷）主观题得分情况，具体见表2．

由表2可知，从整体上来看，该次中考主观题平均分为62.55分，得分率为0.61，相比近几年，得分率较低．从单个试题来看，学生在考查“双基”试题的得分率还是比较高的，而在触及数学基本思想方法的综合考查问题上得分并不理想．

表1 主观题知识点分布及核心概念指向

表2 2018年中考数学试卷（A卷）主观题得分情况

3 典型试题分析

每道试题都承载着不同的基础知识、基本技能、基本思想，由此归纳出重庆市2018年中考试题考生作答的主要错误，以期为教学提供参考．

3.1 符号意识的考查

试题分析：符号意识主要指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理[2]．符号意识有助于学生进行数学表达和数学思考，它能在没有数学的地方发现数学问题，在有数学的地方发现新的数学问题．该题主要考查了学生用字母表示数，并通过计算、探究代数式中的特殊规律，进而求出满足要求的特定的数．该题需要学生有严密的思维能力，对学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理要求较强．

学生作答典型错误分析：

（1）题意理解不清，很多学生在直接写出任意“极数”时写错位．

（2）用字母表示数时，没有写出字母的取值范围，或虽写出范围，但千位上数字的取值范围没有舍去0．

（3）对代数式1 000+100+10(9-)+(9-)进行化简时符号出错，得出990-99+99．

（4）不会正确求解不定方程．

3.2 推理能力的考查

题目24题，如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且=，连接并延长交于点．过点作的垂线，垂足为，交于点．

学生作答典型错误分析：

（2）在第二问中，学生很难由角的关系推导出=，导致作出辅助线后也无法证明全等，得出结论．

3.3 模型思想的考查

题目23题，在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划2018年1—5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽里程数的4倍，那么，原计划2018年1—5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到2018年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1:2，且里程数之比为2:1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算，从2018年6月—年底，如果政府投入经费在2017年的基础上分别增加10%（>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加%和5%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在2018年1—5月的基础上分别增加5%和8%，求的值．

试题分析：模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径[2]．该题主要考查了用方程和不等式模型解决实际问题，需要学生正确列出一元一次不等式和一元二次方程，才能正确解决问题．该题具有一定的难度，需要学生具有较强的阅读理解能力．

学生作答典型错误分析：学生错误主要集中在两个地方，第一问中，在设未知数时易出现“至多”“至少”；或用列方程代替列不等式；或虽然列出不等式，但不等号的方向弄反．第二问中，学生对各种量之间的关系理解混乱，经常出现张冠李戴的现象，列不出正确的方程，比如，求出的道路硬化和道路拓宽的距离为30和15．

3.4 空间观念的考查

试题分析：空间观念不仅指根据物体特征抽象出几何图形，也包括描述图形的运动和变化．该题为一次函数的综合题，考查了平移、待定系数法、一次函数的图象和性质等．在求解过程中，可以利用一次函数的性质求解，也可利用相似三角形求解，方法灵活多样．

学生作答典型错误分析：

（1）第一问求解析式中，学生不能将“两直线平行”成功转化成“值相等”，而是设出直线的解析式，通过寻找直线与轴的交点的坐标，利用、两点坐标，使用待定系数法求解析式；但在求点的坐标的时候，大部分同学是直接给出的，没有任何过程．出现这种情况，一方面可能是猜测的，另一方面也可能是知道怎么来的，但是不会表达．

3.5 运算能力的考查

试题分析：运算能力主要指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力．数学运算能力是数学学科核心能力之一，它是一种重要的数学素养．培养运算能力有助于学生寻找简洁的运算途径解决相关问题，对于发展学生的数感，改善学生的思维品质，培养学生数学思维能力、探索能力、创新能力都起着重要的作用[4]．运算作为数学学习的基本能力之一，是中考数学考查的重要内容之一．中考试题里对运算能力的考查是不会以故意增加计算量，题目偏难、古怪的方式出现，而是注重对运算律、运算法则等通性通法的考查．该题主要考查了多项式乘法法则、平方差公式、因式分解、通分、约分等，主要考查学生是否理解运算对象，是否掌握了运算法则，能否选择运算方法求得正确的运算结果．

学生作答典型错误分析：通过观察学生的答题情况，学生出现的主要错误为：

3.6 数据分析观念的考查

试题分析：数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析、推断，形成关于研究对象知识的素养[1]，数据分析是统计的核心．该题考查了统计的基础知识、统计图的读图能力、通过列举法求随机事件概率的计算等．

学生作答典型错误分析：该题为容易题，所以大部分学生是全部掌握了的，少部分学生出现的错误主要出现在用列举法求概率，没能理解到简单随机抽样的原理，在画树状图时，第一次选取到的对象在第二次选取时又出现了．

4 教学建议

针对学生作答典型错误情况分析和《课标》要求，提出如下教学改进策略．

4.1 立足课程标准 深入剖析教材

从近年来的中考试题来看，中考试题的命制一直都是以《课标》为准绳，以考试说明为指引，兼顾人教版、北师版、华师版3个版本的教材，突出考查数学素养和学习能力，对学生的数感、符号感、运算能力、分析与解决问题的能力进行全面考查．由于中考试题具有毕业和选拔两种功能，所以很大一部分中考试题都考查的是学生的数学基本功，相当一部分试题是直接由课本中的例题、习题改编而成．例如，2018年稍微有点变化的选择题第3题样本的代表性，第5题相似问题，第7题估计等都是基于教材习题改编而成的．在教学中，教师要深入解读教材，理解教材中所蕴含的数学内涵以及从学生角度制定教材的初衷．从而运用教材使学生实现由不知到知的转变，加强学生基础知识的学习、基本技能的训练、基本方法的感悟、基本活动经验的积累．加强对教材中典型例题和习题的引申和拓展，做到一题多变、一题多解、举一反三、灵活运用．

4.2 摒弃题海战术 重视知识本质

在数学教学的过程中，知识的产生与发展过程是学生理解知识本质的重要途径之一，学生需要通过教学活动，通过观察、比较、分析、推理等过程来实现对知识的内化．因此，教师在日常教学中要放弃题海战术，开展基本数学活动，予以学生获取相关经验的机会，进而培养学生分析和解决问题的能力，引导学生发现和提出有价值的问题．长期下去，才能使学生的思维能力得到提高，综合解题能力有所提升．

4.3 淡化解题技巧 注重通性通法

解题通法是指一类问题的通俗解法或一般解法，通法常常从基本概念、原理出发，以基础知识为依托、以基本方法为技能，按照既定的步骤，逐步推出问题和解答，解法思想顺乎一般思维规律，其具体操作过程易于为多数学生所掌握[5]．当前初中数学解题教学中出现了一种怪象，老师们重讲解不重原理，重结果不重思维分析过程，重技巧不重通法．久而久之，学生忘记了解题的根本，不会思考问题，只会套用一个又一个的模型和技巧去解题，因而当中考试题稍稍改变，这些同学就在考场上败下阵来．章建跃曾指出，解题教学中要使学生逐步养成从基本概念、基本原理及其联系性出发思考和解决问题的习惯，这是发展学生思维能力的正道．因此，在教学中，教师要注重知识与知识之间的联系，构建知识体系，用系统性思维培养学生的解题能力．

4.4 重视数式通性 提高数学运算能力

运算能力是学好数学的基本功，初中阶段无论是数的运算还是代数式运算都是后续学习的基础．2018年，重庆市中考试题加强了对运算能力的考查，第7题估计考查了根式的运算，第8题程序框图考查了代数式求值，第12题考查了含参数的不等式和分式方程的计算，第13题考查了有理数的运算，第21题考查了整式的运算、因式分解、分式的运算，第23题考查了解方程与不等式等．然而从学生的答题情况来看，学生的运算能力还是较为薄弱的．究其原因，可能是平常教师教学中主要关注了运算的速度和正确性，采用了大量重复的练习，而忽视了对算理的理解，导致学生不管怎么练习还是容易出错．因此，提高学生的运算能力，使其能够合理、准确、高效、灵活地运算，应该成为数学教学的关注点，通过典型例题让学生在理解运算对象、掌握运算法则、选择运算方法、简化运算过程以及估算等方面得到相应的发展．

4.5 培养符号意识 提高数学表达能力

符号既是数学的语言，也是数学学习的工具，更是数学学习的方法．数学符号使得数学从算术领域过渡到代数领域，实现了数学思维从形象思维到抽象思维的发展．符号意识作为初中数学十大核心概念之一，是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式[6]．由此，学生的符号意识培养应该是义务教育阶段的重要教学目标之一．但从25题阅读理解题的答题情况来看，有部分同学还不习惯用符号表示数量关系，缺乏选择恰当符号解决具体情境中问题的能力，对于用符号进行运算和推理显得更加困难．

因此，在数学教学过程中，教师要加强对符号的解释以及符号化语言的讲解，注重3种语言之间的准确转化，及时纠正学生符号认识中的错误．同时，教师在教学中也要注重培养学生选择恰当符号解决数学问题的能力、灵活使用符号准确运算的能力，以及对符号运算的正确性做出判断的意识．帮助学生建构数学知识体系，强化符号意识．

4.6 渗透数学思想方法 提高逻辑推理能力

数学思想作为数学文化的核心，在数学教学中是无处不在的．初中阶段的数学思想方法主要有抽象思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、推理思想、化归与转化思想、类比思想、建模思想、换元法、整体代换法等．近年来，中考试题也越来越重视对数学思想的考查．以2018年重庆中考试题为例：第4题找规律考查了归纳推理；第10题测量旗杆的高度考查了抽象与模型思想；第11题反比例函数、12题求满足条件的参数的值考查了数形结合思想；第18题考查了模型思想和整体代换思想；第23题考查了方程思想和换元法；第25题、26题考查了分类讨论思想等．由此，初中数学课堂教学中渗透数学思想方法显得尤为重要．

数学思想方法是在获取知识、形成技能、解决问题的过程中形成的，因此，教学中要注重知识的形成过程，特别是概念、定理、公式的推导过程和例题的求解过程．让学生在主动探究、解决问题的过程中领悟数学基本思想，积累数学基本活动经验．

4.7 加强教师示范性 规范答题书写格式

必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络．

总之，在中考数学中，学生展现出答题时的常见错误，且这些错误也是近几年来一直出现的错误．在教学中，针对学生的易错点，应该采取措施进行积极改进，帮助学生改正错误，实现数学学科核心素养的提升．

[1] 张惠英，王瑞霖．基于核心素养的数学测评研究——以河北省2017年中考数学试题为例[J]．数学教育学报，2017，26（5）：31-35．

[2] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：6-7．

[3] 董林伟，喻平．基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J]．数学教育学报，2017，26（1）：7-13．

[4] 李会鸽．初三学生数学运算能力现状调查研究[D]．兰州：西北师范大学，2016：1．

[5] 齐威娜．对中学数学解题通法的研究[D]．长春：东北师范大学，2008：1．

[6] 罗增儒．核心素养与课堂研修[J]．中学数学教学参考，2017（8）：14-20．

Mathematical Evaluation Analysis and Teaching Suggestions Based on the Core Concepts——Taking the 2018 Junior High School Entrance Examination Mathematics Test (A Volume) in Chongqing as an Example

ZHANG Bin1, GOU Bin-e2

(1. Chongqing Research Academy of Education Sciences, Chongqing 400015, China;2. Lijia Middle School, Chongqing 401122, China)

put forward 10 core concepts. How to embody them the consistency between curriculum standards and classroom teaching and examination evaluation had become a question of gradual thinking in the field of evaluation. The entrance examination of mathematics in Chongqing 2018 persisted in the curriculum standard as the criterion and guidelined as the examination instructions. Mathematical literacy and learning ability, sense of number, symbolism, computing ability, analysis and problem solving ability to conduct a comprehensive examination. Based on the analysis of the common mistakes of typical middle school students, this paper put forward the teaching improvement based on the research of situation: in-depth analysis of textbooks based on curriculum standards; abandon so much tactics, and pay attention to the knowledge; weaken skills of problem solving, pay attention to generality; pay attention to the generality of number formula, to improve the ability of mathematical operation; and to improve the ability of mathematical expression; and to infiltrate mathematical thinking methods and improve logical reasoning ability; to strengthen teachers exemplary and standardized writing formation.

core concept; test evaluation; junior high school graduation exam

2019–03–15

重庆市教育科学“十三五”规划2017年度规划课题——培养初中生发现数学问题能力的实践研究（2017-39-575）

张斌（1965—），男，四川梓潼人，高级教师，主要从事中学数学教学与评价研究．

G632

A

1004–9894（2019）04–0061–05

张斌，苟斌娥．基于核心概念的数学测评解析与教学建议——以重庆市2018年中考数学试题（A卷）为例[J]．数学教育学报，2019，28（4）：61-65．

[责任编校：周学智、陈汉君]