问题提出中数学交流的模式构建与案例解析

张 玲宋乃庆蔡金法

问题提出中数学交流的模式构建与案例解析

张 玲1，宋乃庆1，蔡金法1，2

（1．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2．特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

问题提出中数学交流是指进行问题提出活动时传播与表达数学信息的过程．数学交流的一般模式描述为数学文本输入编码建构文本意义、内部加工形成新的想法、译码输出关于新的想法的文本信息的过程．问题提出中数学交流的一般模式可具体划分为3个阶段．输入阶段：表征问题情境中元素与元素间的关系，以理解问题情境；过程阶段：确定新问题中元素与元素间的关系，以建构新问题的心理结构；输出阶段：表征新问题中元素与元素间的关系，以表达新问题．

问题提出；数学交流；模式构建

1 引言

简明牛津词典将交流定义为传授、传达或交换思想、知识的行为（通过言语、文字或手势）．数学交流是将交流的对象范畴限定为数学领域，即进行数学思想、知识的传播或交换．在教学层面，交流是学生学习数学的必要途径，学会数学地交流是重要的学习目标之一[1]．通过交流，可以加深学生对知识的理解．而且，交流是教师反观学生对知识理解程度的重要途径，是学生学习效果反馈的重要方式．

数学交流是师生交流所思所想最为常见的活动．这一活动通常涉及表达一个数学过程或者解释为什么出现已有的数学结果[2]．已有不少学者对问题解决中的数学交流进行研究，例如Cai等人着眼于“问题解决过程”“解题策略／表征方式的使用”“数学错误”等方面，研究学生解决“开放问题”的交流状况[3]．Leonor通过“情境的阐述”“论证的过程”和“表征的类型”3个方面来看学生参与数学活动的交流状况[2]等，评估这类问题解决中数学交流的着眼点是外显化的解决问题的思维过程，包括解释、论证等[2]．

然而，目前尚缺乏对问题提出中数学交流的研究．问题提出活动的内在发生机制不同于问题解决[4]，且它交流的产物是根据问题情境形成新的问题，从外显化的产物，即被提出的问题，能且仅能从一个方面推测提问者的思维过程以及对问题、相关知识的理解状况．那么，在问题提出活动中，如何从内隐的交流过程更多地挖掘提问者所思所想的内容？为此，探究提问者交流所思所想的可能路径与实现方式显得尤为重要，比如提问者是如何理解问题提出任务情境的，又是如何提出问题的？故而，研究者基于信息传播加工理论，深入探究问题提出中数学交流的一般模式，挖掘问题提出的内在发生过程，为问题提出的内隐交流过程外显化提供理论支撑，为剖析提问者在交流中的所思所想奠定基础．

2 数学交流的一般模式

2.1 交流与数学交流

交流意指信息的表达与传播，广义言之，包括一种思想影响另一种思想的所有过程[5]．不仅仅可以通过文字或口头语言，音乐、绘画、喜剧、舞蹈等所有人类行为都是产生思想交流的渠道．数学交流隶属于交流的范畴，是数学信息表达与传播的过程．区别于一般交流之处在于[6]：其一，数学交流是描述数学认知过程（如问题解决）以及发表数学观点或见解的认知活动，所交流的内容是数学活动或数学观点；其二，数学交流承载表达或传递信息的载体是数学语言，它限定了数学交流的基本语域．在谈论数学时，会使用数学专有词汇，如“系数、多项式、直角三角形的斜边”等；会使用被赋予数学意义的日常用语，如“集合”等；会使用特定的语法结构，如Hargis和Knight提出的数学中常见的比较结构“多于、少于、等于”等[7]；这些词语和数学符号仅仅是教学中交流的数学语言的部分特性[8]，其抽象化程度远不及数学专业语言[9]．

以下基于信息传播加工理论，剖析作为认知活动的数学交流的一般路径．

2.2 信息传播加工与数学交流

为了解决交流的信息如何精确地被传输这一技术性问题，Shannon在《通信的数学理论》（）中基于数学理论建构交流系统，即信号源通过编码器输入编码为信号，从信道传至译码器，将信号译码为信源输出传至受信者[5]．例如，在电话交流中，编码器将输入的讲电话人的“声音信源”转化为“电流信号”，通过信道将“电流信号”传至译码器，译码为“声音信源”输出传至听电话的人，从而实现信息的传播．

随着城市轨道交通系统的迅速发展，地铁盾构隧道在运营期将不可避免地出现一系列病害现象，这将影响到地铁运营的安全性、经济性和耐久性。目前，国内外学者对隧道结构的病害问题已有大量研究，但大多是集中于对山岭、公路、铁路隧道结构病害的研究，对盾构隧道结构的病害成因及治理措施的研究相对较少[1]，因而对盾构隧道常见的病害原因及治理措施展开进一步研究显得尤为重要。

故而基于信息的传播与加工，将数学交流的一般模式描述为数学文本输入编码建构文本意义、内部加工形成新的想法、译码输出关于新的想法的文本信息的过程（如图1）．

如果将“输入”和“输出”串联为一个数学交流过程，只能实现将理解的数学信息直接传播出去的目的．然而，实际的数学交流存在比单向交流（即仅包含输入或输出过程）以及电报式交流（即仅包含输入和输出过程）复杂得多的情况[14]．比如，在评价同伴观点时，不仅包括“理解同伴观点”的输入过程、“表达评价意见”的输出过程，还包括大脑“分析、评估同伴观点”的过程．信息加工理论解释了这一现象，它认为信息在传播过程中包含对信息的内部再加工，该理论进一步诠释了人们在信息传播中的主观能动性．在内部加工过程中，需将“心理表征的信息”加工为“新的想法”存储于大脑中．

图1 数学交流的一般模式

3 问题提出中数学交流的模式

问题提出中数学交流是指进行问题提出活动时传播与表达信息的过程．区别于一般意义下的数学交流，主要在于各个交流阶段的信息是问题提出活动特定的信息．下面从数学交流的3个阶段“输入”“内部加工”“输出”剖析进行问题提出活动时信息实现传播与表达的过程．

3.1 问题提出的“输入”阶段

问题提出是基于特定问题情境形成并表达问题的认知过程[15]．特定的问题情境是信号源，输入阶段是将此“问题情境文本”编码为“心理表征”的问题情境，即“理解问题情境”的过程．

“理解问题情境”是进行问题提出活动的首要环节．Gonzales类比波利亚问题解决的4个阶段，从理论层面指出问题提出的首要环节在于理解问题情境[16]．Christou[17]等基于Pittalis[18]建构的问题提出认知过程模型，提出与不同类型任务相关的问题提出过程分类理论，根据实证路径分析可知“理解”任务情境可能是问题提出活动的首要步骤．而且，“理解问题情境”直接影响提出问题的质量．Crespo & Sinclair[19]猜测学生提出非数学问题、无价值的数学问题或陈述的重要原因之一，是提出问题前缺乏对问题情境的足够理解．Ma[20]发现，老师在基于“分数除法”的问题情境进行问题提出活动中无法提出合适问题的困难根源在于，对“分数除法”问题情境的理解不够．

认识问题提出中信息输入的过程，在于认识编码前“问题情境”以及编码后的“心理表征的问题情境”的结构．认知心理学家将理解的“问题解决情境”（即问题），界定为心理表征的问题空间[21]．Milinkovic[22]将问题空间刻画为由“已知元素”“未知元素”和“元素间的关系”构成的心理结构．然而“问题提出情境”与“问题解决情境”的唯一区别在于没有确切的外显化的目标信息（例如，要求解什么？）．所以类比理解“问题解决情境”的过程，将心理表征的问题提出情境刻画为包含若干外显化的已知元素、未知元素（无目标元素）、元素间关系的心理结构（见图2）．值得注意的是，“问题情境”本身所包含的信息远远比解决者（提问者）所理解的信息丰富，它既包括被解决者（提问者）所表征的、外显的心理表象的信息，也包括不为解决者的认知结构所影响、客观地、以内隐的状态存在的信息，如未知元素与算子（内隐的未知元素间关系）[21]．

当交流的信号源限定在数学领域时，尼斯从“输入”和“输出”两个维度界定数学交流的内涵[10]．在“输入”维度上，表现为主体通过阅读、倾听等方式识别、理解、领会“他人”以各种表征形式呈现的数学文本（如数学思想和数学事实）[11]，包括书面的、视觉化的或口头的形式[12]．在此维度上，数学交流是将“数学文本”输入编码为“心理表征的文本”（理解的文本）过程．在“输出”维度上，表现为主体通过书面的、视觉化的或口头的形式表达自己的思维过程、数学观点或见解[12-13]．在此维度上，数学交流是将“心理表征的文本”（如思维过程、数学观点或见解）译码输出为书面或口头呈现的“文本信息”的过程．

企业纳税实务课程是会计专业必修课程，许多高职院校的会计专业都开设此课程，一般在学生具备一定专业基础知识的二年级开设，根据人才培养目标不同学时设计有所不同，一般开设一个学期72学时，也有少部分学校达到124学时左右。课程除涉及税收法律法规等知识外，在纳税申报过程中还需要计算机软件应用技能的支持，加之其较强的实用性，对任课教师提出了很高的要求。由于职业院校生源情况比较复杂，知识基础参差不齐，给课堂组织教学增加了很多负担，传统教学方式既不能满足多层次个性化教学的需求，也不利于落实现代职业教育思想。如何运用现代信息技术手段解决教育教学中遇到问题是每一位教师都必须认真思考和主动面对的重大课题。

图2 问题提出情境的心理结构

3.2 问题提出的“内部加工”阶段

“内部加工”的结果是在大脑中形成“说什么”的新想法，问题提出的使命是最终提出问题，故而在“内部加工”过程中需形成新“问题”的心理结构，即如上文所述的关于“新问题”，包含“已知元素、未知元素（包括目标元素）和元素间关系”的心理结构．

察布查尔县孙扎齐乡发展乡村旅游对政策的依赖性强，旅游业和扶贫事业都是由政府主导，信息收集闭塞，外来投资较少。对于扶贫事业而言，“输血制”的发展模式短期内有效，但是不利于长期实施。很多贫困户依赖于政府的援助，自身创业积极性较低，不利于乡村旅游的长期发展。

所以问题提出的“内部加工”过程中信息传播的方式是通过筛选元素和重组元素，实现从“问题情境”的心理结构转化为“新问题”的心理结构的过程．

3.3 问题提出的“输出”阶段

问题提出中数学交流的“输入过程”在于理解问题情境，识别、理解问题情境中的元素与元素间关系等信息．

大部分关于问题提出的研究，通过输出的问题陈述的质量来评估提问者问题提出水平高低[25-26]．如所提问题的可解性、所需解决步数、语义关系数等，这些评估指标在一定程度上是反映“内部加工”时形成“新问题”心理结构的完整性与复杂性．换言之，在“内部加工”阶段所构造的“新问题”的心理结构，已经决定了所陈述问题的语义结构与难度．然而，Golden[27]提出影响问题的难度除了问题陈述的语义结构，还有语法结构．一旦“问题”的心理结构形成，不同语法所描述同一心理结构的“问题”的难度不一样．而且，不恰当的语言组织方式可能会造成表达的问题陈述出现模糊、歧义等现象．

综上，可将问题提出中数学交流的信息传播与表达的过程划分为“输入”—“理解问题情境”，“内部加工”—“形成新问题的心理结构”，“输出”—“表达新问题”3个阶段（见图3）．

所以，问题提出中信息“输入”的过程，是理解问题情境的阶段，是将问题情境文本转化为问题情境的心理结构的过程．

图3 问题提出中数学交流的一般模式

4 问题提出中数学交流的一般模式案例解析

4.1 阶段一：输入——理解问题情境

“输出”的过程是将大脑中形成“说什么”想法通过口头或书面形式，组织语言表达出来．问题提出中输出过程是根据句法结构、时态等组织语言将新问题的心理结构转化为新问题的陈述．

Holyoak[23]在尝试揭示如何建构问题的心理表征的研究中表明，“问题情境”的心理结构是建构问题的重要素材与线索．在此基础上，Mumford[24]等提出“建构问题”的心理模型，并指出从“问题情境”心理结构中搜索线索、“筛选元素”以及“重组元素”是形成“新问题”心理结构的重要环节．他认为“筛选元素”包括确定具体的目标元素以及其它元素．选择元素可以分为3个层面，保留（retain）“问题情境”中某些（或所有）已有元素[24]，过滤（filter）“问题情境”中某些（或所有）已有元素[18]，以及添加（add）“问题情境”中某些内隐的未知元素[24]．此外，Pittalis[18]将问题提出中重组信息的过程界定为赋予已选元素以意义、创建已选元素间的关系，从而形成包含“选定的已知元素、未知元素（目标元素）以及元素间的关系”的新问题的心理结构．

以某工作坊中问题提出任务（改编自文[25]、文[26]）为例：“佳佳、沙沙和小斌一起开车回家，佳佳比沙沙少开150公里，沙沙开的公里数是小斌的12倍，小斌开了50公里．”该问题情境本身包括一个外显的已知元素“小斌行车路程”，两个外显的关系“沙沙与小斌行车路程倍数关系”“佳佳与沙沙行车路程的差值关系”，以及许多其它未以语言呈现出来的客观存在的、不受问题提出者认知水平高低影响的未知元素和算子，例如未知元素（“沙沙的行程”“佳佳的行程”“沙沙行车的时间”“沙沙的速度”等）以及内隐的关系（例如，速度=行程／时间，和，差等），如图4（a）所示．

刘莉一大早就极不情愿地骑着自行车穿过几条街去上班，她对自己的工作很失望，早就没有了当初的热情，她与所有的女孩子一样，向往干着轻松而体面的工作，作为一个火车站的行李寄存处管理员，她早就厌烦了这个枯燥乏味的工作。

此示例需理解的对象是一个已知元素、两个未知元素以及两个已知关系，如图4（b）．需经历两个阶段：（1）元素与关系的识别，即识别区分已知元素、未知元素及关系；（2）元素与关系的理解，可以从3个层次来看，首先是对数学词汇的理解，包括“行程”“倍”“少”“公里”等数学概念、术语、符号进行心理表征；其次是对数学语句的理解，包括“小斌行程的多少”“小斌和沙沙行程的倍数比较关系”“沙沙和佳佳行程的多少比较关系”等数学命题、数学关系的心理表征；最后是数学情境的理解，包括“小斌、沙沙和佳佳轮流开车回家”问题情境以及“三者行程间的数学关系”数学情境．理解问题情境是问题情境中所呈现的元素及关系与提问者的已有认知结构相互作用的结果[28]．不同问题提出者具有不同的已有认知结构，所以他们对同一元素和同一关系的语言具有不同的心理表征方式，即对问题情境的理解方式和理解程度不尽相同．

图4 问题提出中数学交流阶段一

4.2 阶段二：内部加工——形成新问题的心理结构

问题提出中数学交流的“内部加工过程”在于基于理解的任务情境，筛选、重组新问题所需的已知元素、未知元素及元素间关系等信息，以形成新问题的心理结构（见图5）．

图5 问题提出中数学交流阶段二

图5（b）、图6（a）、图6（b）分别代表所建构的不同问题的心理结构．筛选元素在于确定问题的目标元素和其它元素．此3例分别以“沙沙的行程”“佳佳的行程”和“沙沙的速度”为目标元素，可知以上目标元素有直接将问题情境中“保留”的未知元素转化为目标元素,如图5（b）、图6（a），也有将“新增”的其它内隐的未知元素转化为目标元素，如图6（b）．所筛选的其它元素，有来自于问题情境中“保留”的已知、未知元素，如图5（b）、图6（a），也有来自于“新增”的其它内隐的未知元素，如图6（b）（“沙沙的时间”）．重组元素在于赋予所选元素意义，以及创建所选元素间的关系，此3例可知，可保留原情境中的关系与意义，如图5（b）、图6（a），亦可增加新的关系与意义，如图6（b）（增加沙沙行车时间、速度与路程之间的关系）．

图6 问题提出中数学交流阶段二所形成的问题结构

筛选和重组元素的过程受到个体已有认知结构的影响，重点在于探索、发现概念间的联结和关系，建构和重组数学结构[29]，如与已知元素、关系有关的图式结构等．个体已有认知结构越广、越细致，能发现越多的未知元素和隐藏的关系，能探索更多新的联结，从而建构越多、越复杂的问题结构，提出更多、更复杂的问题．反之，当提问者所构思的问题结构越复杂，可以推断他所能识别隐藏的未知元素和关系越多，自身的数学认知结构越丰富，一定程度上能反映其数学认知水平越高．相较如图5（b）、图6（a）两个问题的心理结构，图6（b）的问题结构更为复杂．

我发挥自己八卦的本事，四处打听，总算把他的往事东拼西凑勉强有个全貌。杨公子幼时因父亲下狱，被寄养在舅父家中，舅父有一女儿嫣然，与他自幼青梅竹马，感情甚笃。后来舅父终究怕被杨家连累，把独女嫣然许给一官宦人家。杨生和嫣然相约私奔，却没想杨生在桥头没有等来嫣然的身影，他恨嫣然爽约，独自离开舅父家。多年后，他父亲杨涟的冤案被新君平反，他回到故里，才知道嫣然那晚被家丁抓回，被迫嫁与他人，一个月后嫣然郁郁而亡。自此，他封存了自己的感情。世间再无痴情人杨生。

新中国成立初期，由于我国人均谷类产量很低，豆类和薯类作为当时人们摄取蛋白质和碳水化合物的重要来源，也被列入了粮食范畴。但是20世纪90年代以后，情况逐渐发生了变化，其中构成豆类主体的大豆作为植物油原料的比例越来越大②，大豆与其他植物油籽(如油菜籽、花生等)已经没有根本差别，延续既有的统计方式，仍将大豆统计到粮食中不仅不合时宜，还容易造成粮食和油料统计分析的系统误差。此外，除西南、西北等少数贫困山区外，薯类在我国大部分地区主要作为蔬菜食用，也不宜继续列为粮食进行统计。③

4.3 阶段三：输出——表达新问题

问题提出中数学交流的“输出过程”指，问题提出者组织语言通过物理形式（如说或写）将心理表征的新问题表达出来．这个过程在于选择合适语义的词汇，来表征问题结构中每个元素及元素间关系，用句法与语法将这些语义组织起来形成问题陈述，以口头或书面的形式表达出来（见图7）．

图7 问题提出中数学交流阶段三

对于同一问题结构，不同的表达者会使用不一样的语言词汇和语言组织方式．例如，基于同一问题空间，有6位老师提出对称的问题[26]（symmetric responses），如“佳佳比小斌多开了多少公里？”和“小斌比佳佳少开了多少公里？”“佳佳开的公里数是小斌的几倍？”和“小斌开的公里数是佳佳的几分之几？”“全路程是小斌开的公里数的几倍？”和“小斌开的公里数是全程的几分之几？”等．虽然每两个问题陈述的意义是一样的，但是对于解题者而言，这两个问题是有区别的．因为对“多”与“少”、“倍”与“几分之几”等对称数学概念理解不一样的学生，感受到这两个问题的难度是不一样的．再者，来自同一问题空间的问题的难度还会受问题陈述的语法（如长度、问句位置、元素表征的顺序）等因素影响[27]．比如，基于同一问题结构，表达的问题越长，读题者短时记忆受到的压力越大，感受到的问题难度越大．综上，问题语言的表达方式会影响问题的复杂性和难度．

当前在精神分裂症上的治疗,以药物治疗为主。但一些抗精神病药物往往易引发锥体外系反应[9]。近年来,非典型抗精神病药物因在锥体外系不良反应方面的发生率较低,被临床广泛应用,利培酮作为非典型抗精神病药物,在精神分裂症治疗中表现出较好临床效果[10]。作为一种中枢多巴胺与5-HT2受体拮抗平衡剂,利培酮能够起到对多巴胺受体的有效阻断,对于中枢系统5-HT与多巴胺拮抗具有平衡作用,可有效减少锥体外副作用的发生,使精神分裂症患者阴性症状得到明显改善[11]。此外,利培酮作为D2受体拮抗剂,在精神分裂症患者治疗中应用还可有效改善其阳性症状[12]。

林语堂的译创作品深受当时美国人的青睐，在翻译成多国文字之后，还受到了世界各国的欢迎。亚马逊书店的统计结果表明，林语堂的《生活的艺术》《啼笑皆非》《吾国吾民》《美国的智慧》等作品于2008年11月得以再版，可见其译创作品有着持久的生命力(冯志强2011:180)。如同林语堂的好友乔志高所说，林语堂的成功不仅仅依靠着文字的精湛，还基于他对祖国文化的热爱以及独到的见解。对于世界各国的读者，林语堂都以平易近人的、温和的笔触进行“交流”。这也是林语堂的译创作能够品远近流传的重要原因(冯志强2011:194)。

5 研究展望

探索问题提出中的数学交流，旨在探究问题提出的内在发生机制，在一定程度上将问题提出中内隐的交流过程外显化．研究者提出了一个如何探索问题提出中数学交流的构架，并结合案例说明了问题提出中数学交流的3个阶段，尽管如此，以后仍需更为细致地分析学生在每个阶段的表现．另外，在输入阶段，学生如何理解不同类型问题提出任务情境？在过程阶段，学生构造问题的认知过程怎样？有哪些构造问题的策略？构造问题时受什么影响？在输出阶段，如何选择语言组织形式？表达问题受到哪些因素的影响？如何设置评分标准，以有效评估学生能否通过语言、文字或可视化描述的方法表达数学问题、数学思维[30]？如何用不同语言表达形式表达同一问题[31]？等等．以上问题均需要继续潜心研究．

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Exploring Mathematical Communication in Problem Posing

ZHANG Ling1, SONG Nai-qing1, CAI Jin-fa1,2

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Department of Mathematical Science, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

Mathematical communication in problem posing refer to the process of conveying and expressing information during activities of problem posing. We conceptualized it from three stages: (a) input—representing the elements and the relations between elements in the context of problem posing tasks to understand the meaning of the problem-posing tasks, (b) processing—determining and understanding the processes how problems being posed, and (c) output—representing and understanding how posed problems were represented.

problem posing; mathematical; communication

2019–05–03

西南大学引进人才（教育部“长江学者”讲座教授）计划项目——数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究（SWU118118）；北京师范大学中国基础教育质量监测协同创新中心研究生自主课题资助

张玲（1991—），女，湖北黄冈人，博士生，主要从事数学教育研究．蔡金法为本文通讯作者．

G421

A

1004–9894（2019）04–0037–05

张玲，宋乃庆，蔡金法．问题提出中数学交流的模式构建与案例解析[J]．数学教育学报，2019，28（4）：37-41．

[责任编校：陈汉君、周学智]