变与不变：PISA2000—2021数学测评框架的沿革

曹一鸣，朱忠明

变与不变：PISA2000—2021数学测评框架的沿革

曹一鸣，朱忠明

（北京师范大学 数学科学学院，北京 100875）

测评及相关研究的开展，推动了PISA数学框架在“变与不变”中的修订与调整，进而不断完善．特别是数学作为主要测评领域的PISA2003、PISA2012和PISA2021数学测评框架的演变，显示出“变”中的“不变”追求：数学素养测评关注现实世界真实情境基调，与时俱进的方向选择，多维度过程化考量，整合信息技术趋势等．测评框架发展中的变与不变成分及其背后的理念，对中国基础教育阶段数学教育研究的深入开展及数学课程的规划、实施与评价有重要参考意义．

PISA；数学素养；测评框架；变与不变

1 引言

1997年国际经济合作与发展组织（OECD）的成员国发起了国际学生测评项目（PISA），其测评对象是15岁的学生，主要测评他们适应未来社会挑战的能力，而“数学素养”是主要测评的阅读素养、科学素养、数学素养中的一个测评聚焦点．PISA项目从2000年开始，每3年进行一次，每次都有测评的一个主要领域，每9年更新一次设计思路，测评框架也会做出一定调整，其中2003年、2012年和2021年测评的主要领域是数学，也是数学测评框架更新设计思路之年．对PISA数学测评框架，特别是最新公布的PISA2021数学测评框架进行重点解析，兼顾2000年、2006年、2009年、2015年和2018年的数学测评框架，探索历次数学测评框架中做出的各种较大的“变”与始终坚守的“不变”，并在此基础上梳理总结出数学测评框架背后所体现出的数学素养理念，对中国基础教育阶段的数学教育研究的深入开展及数学课程的规划、实施与测评具有重要的参考意义．尤其是在以“核心素养”“学科核心素养”为导向的基础教育课程改革的当下，对PISA数学测评框架的沿革的梳理与分析就显得尤为迫切而必要．

2 变：PISA数学测评框架与时俱进的修订实践

数学素养，作为一个相对抽象且复杂的概念，它本身并不能够被直接地测量，对其测评需要从可观察、可测量、可操作的视角选取测评的领域（domain）和指标，PISA数学测评框架中对数学素养测评领域及指标的选择做了充分的考量．基于多轮测评的开展以及研究者的相关研究，PISA数学测评框架也处于不断的修订、调整和完善之中．PISA数学测评框架对数学素养的概念及测评结构等进行了持续的改进和完善，在对数学素养内涵的界定以及测评结构体系等方面做出了一定的改变．

2.1 变：PISA数学测评框架的构建主体愈加丰富

自2000年PISA数学素养测评开展以来，在PISA的每一次测评前，PISA团队都会公布PISA数学测评框架，目前最新的是2019年5月公布的PISA2021数学测评框架．PISA数学测评框架主要由国际联合处完成．在此过程中，联合处拟定的测评框架需要得到各参与国（地区）教育主管部门的支持和指导[1]．PISA管理委员会组建数学专家组来负责设计测评数学素养的理论框架，数学专家组的成员包括来自不同国家（地区）的数学教育家、数学家和在评估、技术和教育研究等领域的专家，专家组成员涉猎领域范围较广．此外，从PISA测试创立之初到PISA2012，数学测试框架的制定和具体试题的编制均由澳大利亚教育研究协会（Australian Council for Educational Research，简称ACER）负责，且PISA2012是最后一次由PISA测试委员会组织，PISA2015开始则是由美国的培生（Pearson）集团负责．由于PISA2015/2018的主测评领域不是数学，所以数学测评框架基本上延续了PISA2012数学测评框架．而PISA2021的主测评领域是数学，也是数学测评框架调整的节点，新的研究团队的集体智慧也反映在PISA2021数学测评框架之中．前有澳大利亚的研究团队领衔编制并不断修订PISA数学测评框架，后有美国的研究团队在此基础上做出更进一步的修订与调整，PISA数学测评框架的构建主体更加丰富．

2.2 变：PISA数学素养内涵表述愈加完善

对于素养，PISA中将其界定为有关学生在主要学科领域应用知识和技能的能力，以及在不同的情境中提出、解决和解释问题时有效地分析、推理和交流的能力[2]．对于数学素养，PISA2000—2021数学测评中也都将其定义为一种个人能力．对比PISA2000—2021中数学素养内涵，尤其是能代表重要发展节点的PISA2003、PISA2012、PISA2021（如表1所示），其中，PISA2000/2003中的数学素养内涵并无明显的差异，只是在用词和表述上略微做了些调整，强调“用数学”，PISA2012中的数学素养内涵与以往界定有明显变化，对数学的角色定位从以往的“识别和理解”发展到“认识到”，对个体的公民身份从“关心他人的公民”发展到“积极参与的公民”，对数学素养的“能力”表述相对更加具体．其中PISA2012数学素养的“能力”主要指用于描述个体的数学推理，运用数学概念、过程、事实和工具去描述、解释和预测现象的能力．PISA2012数学素养内涵表述支持学生发展对纯数学概念的深入理解，以及投入到数学抽象世界中进行深入探索并使用从中所获得的益处．相比于PISA2012，PISA2021中数学素养内涵表述，将“数学推理”调整到了“表达、应用和阐释数学”之前，增加了表达、应用和阐释数学的目的——“解决问题”，并且还将“不同情境”调整为“真实世界的不同情境”，将“公民”调整为“21世纪公民”，这些变化更加凸显了数学推理在公民数学素养中的重要地位，以及21世纪公民与时俱进的数学素养诉求．

表1 PISA数学素养的内涵

2.3 变：PISA数学测评框架的结构体系调整

PISA数学测评框架的演变体现出社会发展和终身学习视角下的一些诉求，为测评数学素养提供了一定的理论基础．对于不同时期的PISA数学测评框架，PISA2000只能算是一个半成品，PISA2003基于PISA2000却又得到了更为全面的发展，且开始对做数学的过程及其过程中所涉及的能力进行充分描述，PISA2012相对于PISA2000/2003则是一个重大的修订，是对PISA数学测评框架由粗糙型到精细型进行不断完善的历程，而PISA2021相对于以往的PISA数学测评框架从某种意义上来说则是一个质的改变．因此，聚焦PISA2012和PISA2021数学测评框架的异同之处就能很好地反映问题．

PISA测评学生数学素养更为关注的是，学生作为数学问题解决者去解决在一定的问题情境中的问题的能力，这为测评框架的构建提供了一个视角．从学生是积极的问题解决者的视角建构的一个实践中的数学素养模型，即PISA2012数学测评框架如图1所示．这一框架从“数学过程和基于过程的基本数学能力（capabilities）、数学内容和数学情境”这3个相互关联的方面对PISA数学素养的内容进行了阐述．其中，最外圈的框图表明在现实世界中遇到挑战时需要的数学素养．中间的框图突出了可用于解决所遇挑战的数学思想和行为．最里面的框图阐明了如何按照数学建模活动过程解决数学问题的过程．该框架的一个主要目的是将测试的内容、数学思想和行为、问题解决的过程具体化[3]．

图1 PISA2012数学素养测评框架

相比于PISA2012数学测评框架[4]，如图2所示的PISA2021数学测评框架[5]则有了非常大的变化．形式上的整体变化是从“方”变成了“圆”，内容上的变化具体表现在以下几个方面：（1）最外圈的圆形图表明在现实世界中遇到挑战时需要的数学素养，特别是“21世纪技能”，框架中直接而又明确地列出了“辩证性思维，创造性，研究与探索，自我引导、发起与坚持，信息使用，系统性思维，交流，反思”8大技能，这是PISA2021数学测评框架相比以往框架新增的内容．（2）框架结构中不再出现“数学思想与行为”，也不再出现数学素养的基本数学能力表现，其中的“数学过程”与“数学内容领域”则以更加紧密的关系出现，凸显了数学内容在解决数学问题过程中的基础功能，而将数学推理放在轴心的位置，突出了其在“数学过程”中的核心地位，贯穿于整个数学问题解决过程．此外，虽然PISA2021数学测评框架中与时俱进地将数学素养能力表现的“关键能力”调整为“21世纪技能”，且从PISA2000数学测评框架中的“数学思维技能、数学论证技能”，PISA2003数学测评框架中的“思维和推理、数学论证技能”，PISA2012数学测评框架中的“推理和论证”以及框架图中的“数学思想与行为”，到PISA2021数学测评框架中凸显“数学推理”，可见用词上一直在调整，某种意义上说是试图从可观察、可测量等层面去描述数学思维，但总的而言并不是要弱化数学思维的重要性，相反，PISA数学测评框架则是一直将数学思维放在一个相当重要的位置．

图2 PISA2021数学素养测评框架

3 不变：PISA数学测评框架变迁中的共性理念

伴随着时代前进，推行各种顺应时代发展的改革是不可避免的，有时甚至是必需的．但改革过程中仍然需要审思何为改革过程中需要保留不变的．对于PISA数学测评框架，尽管正经历着改革实践中的诸多变化，但却又万变不离其宗．无论最初的PISA2000数学测评框架，还是数学作为主要测评领域的PISA2003、PISA2012和PISA2021数学测评框架，都始终坚持一些不变的初衷：落实以数学学科内容为根基的内容领域，关注现实世界的真实情境，搭建起数学世界与现实世界的桥梁，聚焦融入数学建模思想的数学过程，让数学素养的测评框架更加科学，更好地服务于了解现状与差异，进而更好地促进学生发展等共性的理念．

3.1 不变：落实以数学学科内容为根基的内容领域

开展PISA数学测试的一个主要目的是对各个国家或地区的教育系统进行比较，具有众向的可比性是首要保证．而课程内容是测试的一个重要依托，虽然每个国家或地区所规划和实施的数学课程各不相同，但是选择用于评价的数学内容却要充分考量，以确保PISA数学测试所依托的数学内容是各个国家或地区同一年龄层的学生都学过的，这样的PISA数学测试在各个国家或地区也才具有可比性．此外，任何一个领域的发展，众向的积淀是非常重要的，这需要领域内容的基本稳定，如果总是在变化、在丢弃、在新增，有意义的东西就难以保留下来[6]．纵观PISA数学测评框架中给出的数学内容领域，PISA2000/2003中的“变化和关系、空间和图形、数量、不确定性”4个部分，PISA2012中的“变化和关系；空间和图形；数量；不确定性和数据”4个部分，PISA2021中的“数量；不确定性和数据；变化和关系；空间和图形”4个部分，有的是呈现顺序的调整，有的是阐述方式的变化，但整体上没有特别明显的改变．当然，测试所依托的这些数学内容虽只是数学的一部分，并不能涵盖所有的数学内容，但却也是比较重要的部分，是PISA测试得以实施的内容基础．

3.2 不变：关注现实世界的真实情境

PISA数学测评框架中将对数学的理解置于现实世界的真实情境之中，聚焦于年轻人为未来的生活做准备，强调个体在具体情境中利用数学解决问题的能力，PISA测试的目的也在于测试15岁学生运用知识技能解决实际生活问题的能力．关注现实与面向未来生活，是PISA数学素养观的基调．历次的测评框架中都表现出了对现实世界真实情境的关注，即便只能算是半成品的PISA2000数学测评框架，其中也清楚地表明了对现实世界数学化的关注．其中，PISA2000/ 2003/2006/2009中给出了“个人情境、学校或职业情境、公共情境、科学情境”4种情境类型，PISA2012/2015/2018/2021中则是给出了“个人情境、职业情境、社会情境、科学情境”4种，可见，PISA数学测评框架中的情境类型并没有明显的变化．只是在重要节点时期对情境类型名称做了一定的简化，对每一类型的范畴做了细微的调整，这是契合时代发展的温和演变和调整，关注现实世界的真实情境这个总的基调仍在．

3.3 不变：聚焦融入数学建模思想的数学过程

PISA数学测评框架清晰地表明对现实世界的数学化是PISA数学素养测试的核心，这也反映了广为人知的现实数学教育观点受到的推崇．数学建模是搭建数学世界与现实世界的桥梁．历次PISA数学测评框架中都强调“数学过程”这一领域，数学过程描述了个体将问题情境与数学相联系进而解决问题所做的工作．其中PISA2003数学素养内容构成领域的数学过程涉及到3个过程：（1）将现实世界中的问题转化为数学问题；（2）使用数学知识解决数学问题；（3）从实际情境出发对所得的结论进行解释．且主要分为以下5个数学化过程：（1）开始于现实中的问题；（2）根据数学概念组织现实中的问题并识别相关数学；（3）提出数学模型；（4）解决数学问题；（5）联系实际解释应用，这将数学素养与数学建模之间建立了联系，数学过程的数学化循环图如图3[7]所示，其中，图3中的1~5分别对应数学化过程中的（1）~（5）．PISA2012数学测评框架中的数学过程包括3个维度的内容：（1）表达数学情境；（2）应用数学概念、事实、程序并进行推理；（3）阐释、应用和评估数学结果．而其中包含这3个维度的数学建模过程就是问题解决的过程．数学过程数学化循环图依然保留不变．此外，从图2的PISA2021数学测评框架中依然可以看出简化了的数学建模过程．可见，数学建模贯穿于数学过程之中，数学建模思想融入在PISA数学测评框架之中．

图3 数学过程的数学化循环图

4 PISA数学测评框架“变”中的“不变”追求

PISA数学测评框架经历不断的修订和调整得以完善、与时俱进．修订和调整的“变化”过程中显示出了一些“不变”的追求：数学素养测评的关注现实世界真实情境基调，数学素养测评的与时俱进方向选择，数学素养测评的多维过程考量，数学素养测评的整合信息技术趋势等，这些不变追求对于数学素养的测评框架的科学化、合理化、时代化、应用广泛化都是重要奠基．

4.1 在变中不断强化与落实：数学素养测评的与时俱进方向选择

在测评理念上，PISA测试突出了以人为本和终身学习的素养理念[8]，具体表现在重视个体所具有的素养，以及重视知识技能在社会中的应用．这种理念不再囿于学校课程上的书本知识，将其延伸到与学生生活环境密不可分的各种情境．时代不断变革，社会生活不断发展变化，对公民数学素养的要求也会跟着变化．PISA测评项目开发团队密切关注未来社会人们所需技能的发展变化，并尝试着将这些变化在PISA测评项目中反映出来[9]．自然，数学测评框架就不能一成不变，PISA2021数学测评框架中，在数学内容领域部分突出诸如“数量领域突出计算机仿真（computer simula- tions）”等主题，与时俱进地将“关键能力”调整为“21世纪技能”，都在一定程度上体现出了PISA数学素养测评理念与行动的与时俱进．

4.2 在变中不断修订与调整：数学素养测评的多维度过程化考量

在测评维度上，由于数学素养本身的抽象与复杂性，为了更有针对性地开展测评，测评领域（维度）就成为每次数学测评框架构建时的关注重点．“一组测评维度”通常也意味着各个测评维度之间是逻辑自洽的．PISA数学测评框架中基本采纳并维持了“数学内容、数学情境、数学过程”这一组测评维度，且数学内容是用于测评项目的素材，数学情境是测评项目的嵌入之处，数学过程阐述了个体将问题的情境与数学相联系进而解决问题的过程．可见，这3个维度之间是相互关联的，且数学过程维度是测评维度中的核心．历次测评框架中的修订与调整的重心部分也在此，从PISA2003中出现对数学过程的具体数学化步骤阐述，到PISA2012中进一步给出的包含4个节点（情境问题、数学问题、数学结果和情境结果）和4个环节（表达、应用、阐释和评估）的数学建模过程，再到PISA2021中的将数学推理置于数学过程的轴心，由合并简化后的3环节（表达、应用、阐释和评估）运行的数学过程，足见数学过程这一维度一直是测评的重要领域，其下属内容也在不断修订调整完善，试图让3个维度之间的关系更加密切．而且，纵观PISA数学测评框架的发展演变，数学素养的聚焦过程的多维度测评一直在向日益成熟的路上稳步迈进．

4.3 在变中不断发展与突出：数学素养测评整合信息技术趋势

在测评行动上，PISA数学测试立足于认识现代世界中数学精熟度日益增长的重要性，而世界正经历着日新月异的发展变化，自然，体现生活和终身学习两大理念的数学测评框架也应置于一个发展更新变动的位置．尤其是在21世纪这个知识经济与信息技术高速发展的时代，社会信息化程度不断提高，技术正在不断融入到人们的生活和工作中，对公民数学素养的要求也变得更加广泛．蔡金法等研究者曾指出：“数学素养至少包含着数学交流、数学建模、智能计算、数学情感等4个方面……在数学教育领域，智能计算思维包括数据实践、数学模拟、基于计算机的问题解决、系统思维等4方面的能力．”[10]PISA数学测评框架也应顺应时代对未来人才的需求，适切于与数学素养相关联的人才观和数学观，将信息技术整合其中．PISA2021数学测评框架中将“21世纪技能”纳入框架之中，并且具体列出包含“信息使用”“系统思维”在内的8大技能，引入计算机仿真作为数学内容领域下的数量内容模块的重点主题，这意味着学生需要在PISA2021基于计算机的数学考试（computer based assess- ment of mathematics）中使用计算机仿真技术分析问题的同时，也展现出了PISA数学测评框架顺应时代发展的整合信息技术趋势．

5 反思与借鉴

数学素养，作为国际基础教育数学课程改革领域的一个关注焦点，对于中国的数学教育工作者而言并不算陌生，甚至可以称得上是相当熟悉．《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：“数学素养是现代社会每个公民应该具备的基本素养．”[11]但是，对于数学素养的内涵是什么，如何在数学课程的规划、实施及测评中将数学素养落到实处，实践一线的教师们并不能够很好地把握．究其原因，对数学素养的研究还不够系统完善是导致执行效能不高的主要方面．数学素养，作为PISA数学测评框架中的核心概念，伴随着PISA数学测评框架的变迁，其内涵与测评维度的界定在“变”中获得了不断修订与完善．PISA数学测评框架也越来越贴合服务于PISA数学测试的初衷，是数学素养概念发展和传播过程中的一个重要里程碑．借鉴发展中的PISA数学测评框架，基于发展学生数学素养的诉求，中国的基础教育数学课程改革可能还需在数学课程规划、实施与评价等方面着力．

5.1 以顶层设计统筹规划数学课程内容

作为对三维课程教学目标凝聚和整合的学科核心素养，它正在成为基础教育课程教学改革向纵深推进的顶层理念和指导方向[12]．作为基础教育核心课程的数学，数学素养及数学学科核心素养等自然成为了课堂教学需要落实的重要要素．数学课程是数学课堂教学活动的重要蓝本，是发展学生数学素养的重要内容载体．因此，选择什么样的数学课程内容就显得特别重要．综观PISA数学测评框架，数学内容领域是其不可或缺的组成部分，其在测评框架中的基础性地位牢不可破，PISA2021中更是进一步给出了数学内容领域中突出强调的一些主题．另外，关注现实世界的真实情境也是历次测评中关注的一个重要方面，并且一直强调数学内容与情境的关联，让数学内容有了生活化的味道．而在课程内容分布中，中国义务教育阶段数学课程内容中的跨学科、跨领域、与生活联系的知识内容相比其他国家（美国、英国、澳大利亚、芬兰、新加坡）较少[13]．也有研究发现，中国课堂中倾向于解决纯数学类任务[14]．在“立德树人，全面育人”的新时代，中国的基础教育数学课程改革要在核心素养这一顶层设计的统领下，在数学学科核心素养理念的指导下，统筹规划好指向学生发展数学素养的数学课程内容，以让数学课程的实施和评价能够有的放矢．

5.2 强调关注“数学过程”的教学过程

课程实施的根本目的在于促进个体的学习与发展．喻平等研究者指出：“在通过学习使学生的数学素养得到发展的教学理念定位下，教学过程应当包括3个阶段：知识是怎么来的，知识是什么，知识是怎么去的．当然这也才是一条完整的教学过程链．”[15]教学过程的3个阶段与PISA数学测评框架中的“数学过程”维度的几个环节是一致的．PISA数学测评框架中有关“数学过程”，特别是PISA2021中的以数学情境为背景，以数学推理为轴心，与数学内容领域密切联系的数学过程的构建与阐释，可以为数学课堂中对“知识是怎么来的，知识是什么，知识是怎么去的”的真正落实提供参考．此外，PISA数学测评框架中，无论是PISA2000—2018对关键能力构成的阐述，还是PISA2021对21世纪技能构成的阐述，都涉及到“交流”这一要素．教学过程的本质也是师生主体间的互动[16]，师生互动又是中学数学课堂上关键性最高的教学行为之一[17]，师生互动的态势即勾勒整个课堂的概貌[18]．在实际的数学课程实施过程中，关注教学过程，关注数学课堂上数学过程中的师生互动，对学生的长远发展具有积极意义，因此，强调关注“数学过程”的教学过程很有必要．

5.3 聚焦“数学过程”的教学评价

对课程实施质量进行测评的根本目的还在于改进教学，促进学生的发展．PISA数学测评框架中给出了清晰的数学素养测评路径，一方面可以为中国数学素养测评工作的整体开展提供诸多借鉴，意义很大，另一方面，对中国基础教育阶段学校数学课程实施过程的质量评估也具有重要的指导价值．长期以来，中国的基础教育学业质量评估一直偏重于对学生基础知识基本技能的考查，对数学素养的评估重视不够，测评的工具也有很大的局限性，对学习结果的关注要明显多于对学习过程的关注，这也致使中国的学习评价理念很难真正落到实处．PISA数学测评框架中的“数学过程”维度的内容在修订、调整中得到不断完善，特别是PISA2021中更进一步地将数学过程与数学内容联系起来，给人们在日常教学中开展数学素养评价提供了很好的思路，值得借鉴，中国的数学教学评价要加强对“数学过程”的考查．

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[3] 凯·斯泰西，罗斯·特纳．数学素养的测评——走进PISA测试[M]．曹一鸣，等译．北京：教育科学出版社，2017：28．

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[9] How PISA is changing to reflect 21stcentury workforce needs and skills [EB/OL].(2016–04–26) [2019–07–02]. https://www.edsurge.com/news/2016-04-26-how-pisa-is-changing-to-reflect-21st-century-workforce-needs-and-skills.

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Change and Invariant: The Evolution of PISA2000—2021 Mathematics Framework

CAO Yi-ming, ZHU Zhong-ming

(School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

The development of assessment and related research promote the revision and adjustment of PISA mathematics framework in “change and invariant”, and further improvement. Especially the evolutionary of the framework PISA2003, PISA2012 and PISA2021, while mathematics was the main field of assessment, showed the pursuit of “invariant” in “change”: mathematical literacy assessment focused on the real world situation keynote, the choice of direction to keep pace with the times, multi-dimensional process considerations, integration of information technology trends and so on. The change and immutability in the development of PISA mathematics assessment framework, as well as the concepts behind it, they had important reference significance for the further development of Chinese mathematics education research in the basic education stage, as well as the planning, implementation and evaluation of mathematics curriculum.

PISA; mathematical literacy; assessment framework; change and invariant

2019–07–03

全国教育科学“十三五”规划2018年度课题——中学生合作问题解决中认知互动与社会互动及其关系的实证研究（BHA180157）

曹一鸣（1964—），男，江苏南通人，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学研究．

G40–059.3

A

1004–9894（2019）04–0001–05

曹一鸣，朱忠明．变与不变：PISA2000—2021数学测评框架的沿革[J]．数学教育学报，2019，28（4）：1-5．

[责任编校：周学智、陈汉君]