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讲题讲什么
——由怎么做到怎么想

2019-09-05邮编225721

中学数学教学 2019年4期
关键词:讲题思路条件

(邮编:225721)

江苏省兴化市戴泽初级中学

1 缘起

图1

题1 已知:如图1,△ABC中,D、E是BC上的点,满足BD=CE,AD=AE,∠1=∠2,试找出图中全等三角形,并说明理由.

师:请大家根据条件找出图中全等三角形,并说明理由.

生1:△ABD≌△ACE.由∠1=∠2,根据等角的补角相等,可得∠ADB=∠AEC,又BD=CE,AD=AE,可得△ABD≌△ACE(SAS).

生2:△ADC≌△AEB,由BD=CE,可得BD+DE=CE+DE,即BE=CD,又∠1=∠2,AD=AE,可得△ADC≌△AEB(SAS).

师:很好,大家都听懂了吗?好,看下一题.

这是笔者听到的师生解决问题时的一段对话,学生回答很正确,说理过程严谨,教师也给予积极评价,似乎很完美了.但学生在讲题过程中都在讲这道题怎么做,即问题的解决过程,没有怎么想的,即问题的分析过程.教师只评价对错,象征性地了解其他学生是否听懂,这就是目前普遍存在的只讲“怎么做”不讲“怎么想”的典型案例,那么这两者有何区别呢?会讲“怎么做”应该表明学生会做这道题了,但是缺少解题思路的分析,比如依据什么线索进行思考:怎么想到由∠1=∠2得,∠ADB=∠AEC,由BD=CE,得BE=CD,有没有其他全等三角形等等.而从听众角度分析,学生只听到“怎么做”,他们能理解其中的道理吗?今后可以解决类似问题吗?他们的收获有哪些?一切都不得而知!

讲“怎么做”是告诉听众要先这么做、再那么做,这与读参考答案有何区别!无论是讲题人还是听讲人都缺乏问题的分析过程和思维的发展过程,以致教学效果大打折扣.因此,在学生讲题,也包括教师讲题时,要从讲“怎么做”到讲“怎么想”,从关注解题过程到关注思维过程,揭示思维发生和发展的过程,促进对问题的深度思考.

2 有效追问,激发“怎么想”的意识

追问即追着问,在原有问题之后根据学生的回答进一步针对性提问,促进深层次思考[1].当学生只讲解题过程时,教师可以根据学生所讲内容进行追问,如“你是怎么想的”“哪些条件启发你这样做”“怎样启发别人也这样做”等,激发学生有条理思考问题的意识,引导学生关注方法的生成过程,会解释方法的合理性.

比如在学生回答题1后,教师应追问“你是怎么想到这两个三角形全等的”“怎么想到证∠ADB=∠AEC和BE=CD”,引导学生从图形直观和条件分析的角度进行思考.比如“由BD=CE,AD=AE分别在△ABD和△ACE中,猜想△ABD和△ACE全等,但是还缺一个条件,已知∠1=∠2,根据等角的补角相等,可得∠ADB=∠AEC,所以两三角形全等可证”,“由∠1=∠2,AD=AE分别在△ADC和△AEB中,但是还缺一个条件,已有BD=CE,可得BE=CD,所以全等可证”.像这样,通过追问,引导学生细化找全等、证全等的过程,可加深全等SAS方法的综合运用.

3 强化分析,指导“怎么想”的方法

数学家乔治·波利亚认为解题分析有四步骤:①弄清题意;②拟定计划;③实行计划;④回顾.只讲“怎么做”无疑是跳过第①、②步,直接到第③步.其实弄清题意是解题的重要基础,也就是明确条件是什么,由条件能得到什么结论,条件之间是否产生什么新结论,问题是什么,需要什么条件,与已有条件之间有什么联系等.教师应指导学生学习分析问题的方法,建构思考问题的策略.

3.1 想已知条件,由因执果,培养递进思维

条件是解决问题的线索,要重视条件的分析过程,引导学生理清有哪些条件,可得到哪些结论,逐渐逼近问题核心,使思维合理有据,解法自然生成.

图2

A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4

图3

思路1 如图3,由平行得△DEI∽△ABC,可用相似性质中周长比等于相似比,求出DI即可.由内心想内切圆,求出半径为1,在△DBH中求出DH就可以求出DI.

图4

思路2 如图4,与思路1类似,换一个角度求出DI.

思路3 如图5,与思路1类似,由相似性质中周长比等于对应边上高的比,求出CM即可.

图5

思路4 如图6,由内心想角平分线,加上直线平行,联想基本图形——平行+平分,可得两个等腰三角形,则△DEI的周长就是AB的长.

图6

像这样,只有让学生讲出分析条件的过程,才能加深对条件的多种理解,促进在联想中发现不同思路,在对比中辨别方法优劣.听众自然也经历了思考问题的全过程,感受由条件出发进行联想,尝试有条理地分析与表达,顺应思维的发展方向.

3.2 想问题解决,由果索因,培养逆向思维

从问题出发就是运用逆向思维,颇有点“反其道而思之”的意思, “李白打酒”是一个典型问题:李白街上走,提壶去打酒;遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒.试问酒壶中,原有多少酒?从正向思考,无疑需要列出较复杂的方程,但是从“喝光酒”思考,即壶中酒量为0往回推,问题随之轻松解决.

3.3 想因果联系,综合分析,培养整体思维

分析题目应引导学生准确找出条件和问题,充分挖掘条件的作用,分析条件能带来的结论,同时要分析解决问题需要什么条件,强化条件和结论之间的联系,整合双向资源,从而解决问题.

图7

图8

生:老师可以帮我讲一下这道题吗?题目条件多,没有思路.

师:我们一起来分析,从条件展开联想.

师:问题是“求k的值”,需要什么条件?

生:啊,这么简单啊,我会了,就是要分析条件中每一句话,找出条件与问题之间的联系啊!

像这样,并没有特殊的解题方法,只是充分挖掘条件和问题的内在联系,让思维层层递进,犹如剥洋葱般逐渐呈现真相,发现解决问题的方法.

4 重视积累,夯实“怎么想”的基础

建构主义学习理论认为:学习是引导学生从原有经验出发,生长(建构)起新的经验[2].已有经验是“怎么想”的基础,它是数学活动重要的知识储备、方法来源、思想载体,只有具备一定的数学活动经验,才能实现问题与已有经验的联系、整合、重组和优化.

图9

师:刚才大家分析得都很好,求点B的横坐标是一个难点,请大家先独立思考5分钟,然后组内交流.

师:两位同学都发表自己的做法,就是用方程组求交点坐标.

图10

师:说得真好,生3创造性地从图形相似角度思考,方法简单易懂,尤其是思路清晰,讲出自己思考的过程,为你点赞!

本题中,学生将当前问题和已有经验进行联想,如不等式与函数关系,交点坐标的代数解法、函数平移变化性质、相似三角形判定与性质等,教师要引导学生积累解题活动经验,如代数中常见的式结构:乘法公式、方程模型、函数模型等,也可以是图形中的形结构:三角形基本变换、特殊四边形、圆中基本图形、函数与图形结合等.

5 重视交流展示,增强“怎么想”的动力

学生讲题的本质是师生交往互动的过程,应是主动活泼、富有个性的过程.教师应搭建学生交流展示的平台,对学生在讲题过程中的表现给与积极评价,让学生乐学、善讲、勤思,享受讲题成功的乐趣,增强思维发展的动力.

图11

题5 (2018 泰州)如图11,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(9,6),AB⊥y轴,垂足为B,点P从原点O出发向x轴正方向运动,同时,点Q从点A出发向点B运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动,若点P与点Q的速度之比为1∶2,则下列说法正确的是( )

A.线段PQ始终经过点(2,3)

B.线段PQ始终经过点(3,2)

C.线段PQ始终经过点(2,2)

D.线段PQ不可能始终经过某一定点

师:请大家积极思考,有想法请说出来.

生1:点P、Q都在运动,是否可以表示出直线表达式?

生3:我来试试,去分母得(y-2)t=3y-2x,变形为(t-3)y=-2x+2t,要想过定点就是与t值无关,则t的系数为0,当y=2时,x=3,过定点(3,2).

师:讲得很好,用直线表达式求定点,但是运算量大了点,是不是有更简便的方法,谁能帮帮我?

图12

生4:我还有一个更好的方法.

师:真的吗?请你到讲台前告诉大家的想法.

其实,预设的方法就是求直线表达式,但是运算量大,不够简便,通过老师的“示弱”,有效激发学生思考的热情,促进学生借助图形深入思考,敏锐发现OP=2AQ比值不变联想到相似,从图形角度创新解决问题.

6 结语

“怎么做”与“怎么想”之间并无矛盾,并不是讲“怎么做”就不好,写此文的初心是为强化讲题时对思路的分析,强化对问题的深度思考,促进讲题人和听讲人思维的碰撞,引导学生建构解决问题的策略方法,消除机械模仿、缺乏理性思考的弊端.如果上升到培养人的角度,我们既需要行动的执行者,更需要行动的策划者、组织者,思想是行动的先导,思想是行动的指南,独立思考、精准表达应是现代人的良好品质!

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