基于数学运算能力培养的单元教学设计研究——以初中“因式分解”内容为例

(邮编：730070)

西北师范大学教育学院

1 引言

单元教学因其相对于课时教学的优越性，逐渐受到研究者们的关注与推崇.单元教学是通过围绕某一单元，让学生以与单元相关的各类资源为载体，以各种探究活动等为手段，使其发生认知迁移，提高其问题解决等高级思维能力以及养成主动探究精神的教学方式，它也是整合认知目标、情感目标和动作技能目标等三类学习目标的有效教学方式[1].对于数学单元教学设计，吕世虎认为它是“在整体思维的指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，通过教学团队的合作，对相关教材内容进行统筹重组和优化，并将优化后的教学内容视为一个相对独立的教学单元，以突出数学内容的主线以及知识间的关联性，在此基础上对教学单元整体进行循环改进的动态教学设计”[2].也就是说，单元教学设计作为单元教学的预设，必须以培养学生的数学核心素养为最终目标，需要教师宏观把握数学知识结构，以学生的认知发展特点与数学学习基础为依据，重新整合教学内容，并通过教学实践及相关理论的指导，将其进行反思并改进.对于单元教学设计的功能，钟启泉教授认为，单元教学设计是“撬动课堂转型的一个支点”，对课程开发和教学实践有举足轻重的作用[3]，进行单元教学设计，不仅有助于学生数学学习及科学精神的养成，并且对教师的专业发展也有至关重要的作用[4].

运算普遍被认为是在一定的概念、法则、定律的指导下，根据已知量经过相应的操作程序，得到未知量的过程.义务教育阶段的数学课标中，将“运算能力”确立为十个核心概念之一，并将运算能力定义为：能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力[5].数学运算能力是数学学习中的一个最基本的素养，学生通过数学运算能力的发展，可以有效促进其自身数学思维的发展，进而养成科学严谨、求真务实的重要品质.因式分解是培养学生数学运算素养的一个重要载体，这一主题的内容在学生的数学基础教育中，既是对之前所学的数与代数领域部分重要内容的回顾与升华，又是学生之后解方程、解不等式及分式化简等运算学习必不可少的数学运算工具.目前，我国有关数学运算素养的研究正处于起步阶段，且大都局限在理论层面，而基于数学运算素养主题教学设计的研究则少之又少，亟需研究者们的关注与探索.鉴于此，本研究将以初中数学中“因式分解”这一单元内容为例，基于系统分析的视角，从培养学生数学运算素养的目标出发，依据数学单元教学设计的操作步骤，进行单元教学设计，以期为初中学生数学核心素养的培养研究提供借鉴.

2 数学运算素养视域下“因式分解”单元教学设计的基本要求

2.1 注意全面精准的解读课标中有关“因式分解”内容的教学要求

课程标准是进行课程教学、管理与评价的准绳，单元教学设计亦要以课标为导向，在遵循课标要求的基础上，实现对课标的创造性使用.在进行“因式分解”单元教学设计时，应对单元内容的要求及单元内不同内容要求之间的关联等进行深入解读，并根据该单元内容的数学文化、数学本质与数学思想方法及其在数学课程与教学中所处的特殊地位，析出“因式分解”单元教学内容及教学核心.

2.2 应对不同版本教材中的“因式分解”内容做多维度的比较分析

数学教材是数学课程目标与课程理念的具体表现形式，也是进行单元教学设计的重要参考资料，并且不同版本的教材体现出其不同编写者的知识体系与教育观.在“因式分解”的单元教学设计过程中，应辩证地使用教材，从整体到部分、抽象到具体，对不同版本教材的内容与栏目设置以及例习题编排方式等进行比较分析，从而深入挖掘出“因式分解”单元的教学目标与教学重难点，在实现对教材有效利用的同时，达到单元教学设计合理性与整体性的要求.

2.3 应对学生学习“因式分解”单元内容所具备的运算素养进行科学分析

布鲁纳认为学生是“积极的信息加工者”[6]，而学生已有的数学现实是其进行数学经验再造的起点[7]，学生学习“因式分解”的单元内容，需要在其已有的运算素养基础上进行知识的重新加工建构.因此，“因式分解”单元教学设计应从认知与数学知识储备等方面对学生已具备的运算素养进行科学分析，根据学生的数学现实，搭建合理的桥梁，完成已有知识与新知识的对接与迁移，并且在知识理解与掌握的基础上，发展学生的应用与创新意识，体现数学课程的育人价值[8].

2.4 因式分解单元教学方式的选择应有利于学生运算素养的培养

教学方式是进行课堂教学的方法，也是实现教学目标的手段.单元教学方式的选择应以数学、课标、教材、学情等教学要素的分析为依据，更要以凸显“因式分解”单元教学内容价值核心的数学运算素养为总目标，教师要以学生为主体，从自身作为组织者、引导者及参与者的身份选择多样化的教学方式.

2.5 应系统且循序渐进地设计“因式分解”单元教学的流程

单元教学设计是课程开发的基础单位，它需要脱离“课时主义”的束缚，在整体思维的指导下，根据因式分解知识的内在逻辑，对课标、教材等教学要素进行连贯分析，从宏观角度析出单元教学目标及重难点.但同时，单元教学设计以课时为单位在教学实践中落地实施，它还需要教学环节的配合，因此，因式分解的单元教学设计还应兼顾教学环节的具体性，以教学要素分析结果为基础，对教学阶段与课时进行系统且循序渐进的设计，形成单元教学方案，使得该单元教学具有切实可行的操作性.

3 数学运算素养视域下“因式分解”单元教学设计

3.1 单元教学内容

数学运算能力不仅是一种数学操作能力，更是一种思维能力，因式分解不仅是培养学生数学运算素养的重要载体，并且对于培养学生的解题技能有着独特的作用.因式分解这部分内容一直是初中数学教学中的重点和难点，它是整式乘法的一种恒等变形，与整式乘法运算互为逆向变形，是后继学习分式、一元二次方程的重要运算基础，对二次根式的化简以及韦达定理的应用、研究二次函数的性质、研究整式方程提供了重要的理论依据及运算方法.利用因式分解的运算技能，可使一些式的运算合理、简便.本文将从培养学生的数学运算素养出发，以人教版教材与北师大版的教材为知识整合的来源，以因式分解的概念与方法为主线，选择因式分解、提公因式法、公式法以及十字相乘法四部分内容为单元教学设计的内容.

3.2 教学要素分析

3.2.1 数学分析

“因式分解”这一单元的内容对于学生全方位的数学运算素养的培养及数学学习能力的完善有着至关重要的作用，它是初中数学运算学习的重中之重，贯穿于整个数学学习过程之中，从小学阶段的因数分解可以引出因式分解的概念和意义，因式分解不仅在解方程、解不等式、分式的化简等运算的学习中提供了重要的理论支撑，而且是函数、几何、圆锥曲线等学习中重要的数学运算工具.除此之外，因式分解的学习不仅是对之前所学的恒等变形的升华，并且其中蕴含的逆向思维是以后数学学习中的重要思维方式.

3.2.2 课标分析

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中对因式分解的要求有[5]：

(1)在数与式中要求学生能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)；

(2)在方程与不等式中要求学生理解配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.

从上述要求可以看出，这一单元的教学要求是：以学生在小学阶段对因数分解内容以及关于数字运算的相关法则的学习为基础，启发其理解并掌握因式分解的概念与意义；并且使学生通过因式分解方法的学习及其在解一元二次方程等方面的重要应用，进一步培养学生的数学运算素养，并促进其整体思想、类比思想、转化思想、换元思想等重要思维品质的养成.

3.2.3 教材分析

教材分析以使用人数较多的人教版与北师大版的教材为分析对象，对其中关于“因式分解”这一学习单元的设置进行比较分析，人教版与北师大版教材关于“因式分解”内容设置情况如表1所示.

表1 人教版与北师大版教材关于“因式分解”内容的设置情况汇总表

在人教版的教材中，将因式分解的内容设置在八年级下册，并且将整式的乘法与因式分解设置为同一章，让学生趁热打铁，以整式的乘法为铺垫，利用其逆向运算促进学生对因式分解的理解和掌握，在“因式分解”这一学习单元，除了对提公因式法、公式法的学习外，还将十字相乘法设置为阅读与思考的内容，为学生因式分解的学习拓宽了知识面.人教版的教材注重帮助学生理解因式分解的意义，以学生之前关于数学运算的学习为基础，以数学思想方法(从特殊到一般，类比，转化，归纳，整体性)为手段.通过“探究”、“思考”、“练习”等栏目，培养学生观察、发现、类比、归纳等各项数学学习的能力，达到对因式分解的方法及算理的理解，掌握其重要的运算技能.

在北师大版的教材中，将因式分解这一单元独立成章设置在八年级下册，此教材首先使用数形结合的方式引入因式分解的概念，而将整式的乘法运算与因式分解之间的逆向运算关系作为学生观察思考的内容.北师大版教材在设计上，尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义，利用数形结合的方法，发展学生的类比思想，以及从特殊到一般地思考问题的方法，帮助学生体会数学知识之间的关联性.

通过以上的分析比较发现，人教版与北师大版的教材都依据课标要求设置相应的学习内容，人教版的教材注重学生数学知识的梳理，而北师大版教材比较注重学生发散思维的养成，两版教材在学习内容的设置上有不同的侧重点.在因式分解这一单元教学内容及教学方式的选择上，教师可以根据实际学情，以两个版本的教材内容为来源，根据培养学生的数学运算能力及学生数学思维品质的养成需要进行单元教学设计.

3.2.4 学情分析

初中学生的认知发展水平处于从“具体运算阶段”向“形式运算阶段”过渡期，这个阶段的学生思维逐渐摆脱了具体事物的束缚，他们可以根据种种可能的假设进行逻辑推理[7].基于小学阶段的学习，学生对数学运算有一定的认知基础，包括对因数分解、乘法分配律等的学习，从而学生对因式分解的学习有一定的学习惯性和逻辑关联性，整式的加减乘除运算已经在直观上为学生进行因式分解的学习提供了必要的基础，在教学中应该引导学生通过观察、归纳和类比学习，使学生从数的运算到式的运算的算理、运算能力等发生迁移，而且学生在代数式的其他相关内容的学习过程中已经积累了一些活动经验，具备了初步的抽象、归纳、概括、分析问题和解决问题的能力，对本单元教学内容的学习展开有相当充分的知识和能力准备，让该学段的学生有了数学学习合理性和必要性的深刻感受.

但是根据学生的知识预备现状，学生的抽象思维能力与逻辑思维能力有限，容易在逻辑推导过程和结构特点的认知上存在一定的错误和偏见，如因式分解与整式乘法混淆，分解不彻底，不够“灵活”地进行分解等，让学生动手操作体验，以避免习惯性思维形成的知识构建.另外学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及数学语言表达能力还有待加强.

3.2.5 教学目标及重难点分析

教学过程是一个基于目标达成的教学活动，从“三维目标”到“四基四能”再到“数学核心素养”，都是数学学科在发展成熟的过程中形成的总体教学目标，对于“因式分解”的单元教学目标，应以总体目标为导向，以数学运算素养的培养为主体进行预设：

(1)在知识与技能方面.使学生充分认识因式分解的学习价值，深刻理解因式分解对象，掌握因式分解、提公因式法、公式法的运算程序，了解利用十字相乘法进行因式分解的方法，能将因式分解的运算方法灵活运用于问题解决的过程中.

(2)在过程与方法方面.使学生经历因式分解的整个学习过程，感受整式乘法与因式分解之间的逆向思维，体会数形结合、归纳类比的数学思想，体验由和差到积的形成过程；鼓励学生积极探究，针对具体问题，选择合理的因式分解方法解决问题，初步获得因式分解的经验.

(3)在情感态度方面.使学生积极参与到数学学习活动中，进一步发展其数学运算能力，使其充分认识数学科学严谨、应用多元等的特点，通过因式分解的学习，促进学生数学思维的发展，养成勤于思考、敢于质疑、勇于探究、合作交流等良好的学习习惯，形成求真务实、理性严谨的科学态度.

本单元的教学重点有：(1)理解因式分解的意义；(2)能运用提公因式法和公式法进行因式分解；

本单元教学难点有：(1)理解因式分解的意义；(2)理解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系；(2)能够针对具体的运算问题，选择合理的因式分解方法，设计运算程序，解决运算问题.

3.2.6 教学方式分析

课堂是学生数学核心素养养成的主要渠道，因式分解的单元教学设计作为课堂教学的预设，应基于学生数学运算素养的培养及数学思维能力的养成，紧扣教学需要确定教学方式与教学手段.基于对以上各个教学要素的分析，在“因式分解”这一单元的教学中，教师尽可能采用信息化教学手段，引导学生探求解决问题的方法，坚持启发式教学，重视知识的形成和应用，指导学生学习数学的方法.

对于“因式分解的概念与意义”的教学.教师利用信息化教学手段，使学生充分认识数形结合的思想方法；在教师的启发指导下，让学生经历从分解因数到分解因式的过程，通过观察、类比等手段，让学生体会数学中的类比思想；引导学生通过对整式的乘法与因式分解进行对比，使其初步认识互逆关系.

对于“提公因式法”“公式法”的教学.通过演示、讨论、观察、比较、归纳等多种方法教学，巧妙利用多媒体辅助教学，呈现知识的形成过程，调动学生参与教学的积极性，使学生在因式分解方法的学习过程中，体会因式分解方法的意义和作用.

对于十字相乘法的教学.在学生已有知识经验的基础上创设教学情境，引导学生自己观察、发现、探索、讨论、归纳的过程中，进一步认识因式分解，使学生学会在理解运算对象的基础上，通过探究运算思路，选择合理的方法分解因式.

通过自主探究、合作交流、教师讲授等多种教学方式及信息化教学手段的运用，使学生明确掌握“因式分解”的意义及其算理，并在以后的数学学习中能够灵活运用，逐步认识到数学知识的关联性及整体性，使学生逐步形成正确的数学观.

3.3 单元教学流程

3.3.1 教学阶段规划

因式分解的单元教学，主要分为以下四个阶段(见表2)：

表2 单元教学阶段规划划分

3.3.2 课时划分

本单元的教学过程共划分为5个模块7个课时：(1)因式分解(1课时)，(2)提公因式(2课时)，(3)公式法(2课时)，(4)专题：十字相乘法(2课时)，(5)回顾与思考(1课时)，具体教学内容见表3.

表3 单元教学内容课时划分

3.4 单元教学设计反思

钟启泉教授认为单元设计“不可能一蹴而就，也不可能一劳永逸”，它是一个动态发展的过程，需要经过实践及科学合理的评价之后，再反思、再修正，它是一个循环往复的过程，针对本单元教学设计，作以下反思：

(1)因式分解应用的教学内容在单元教学设计中涉及较少.因式分解的教学除了其概念意义、因式分解方法之外，应涉及因式分解的应用教学，但因考虑到因式分解的应用问题牵扯太广，会淡化教学主题、加大单元教学的压力及学生的学习负担，所以此单元教学设计对因式分解应用环节的设计较粗浅，但是基于学生对因式分解学习价值与学习意义的进一步体会，有无必要继续增加因式分解的应用教学，以及在兼顾单元教学效果与学生学习需要的基础上，如何加，加什么，还需广大教育学专家学者、教育工作者作进一步研究.

(2)学情分析需要与学生实际情况相结合.本单元教学设计学情分析的主要依据是皮亚杰的认知发展理论及数学学习理论，但是实际学习因式分解这一单元的学生学情还需教师针对学生的数学学习基础、学习兴趣等作进一步分析，根据实际学情调整单元教学设计.

(3)十字相乘法能否加入单元教学内容还需研讨.本单元教学设计的教学内容除课标要求的教学内容之外，加入了十字相乘法的专题拓展教学，这也是出于对学生数学运算素养的培养，但是对于数学学习基础薄弱、学习兴趣不高的学生而言，加入过多较难较复杂的学习内容，会适得其反，使教师的教学压力和学生的学习压力加重，增加学生的厌学情绪.鉴于此，在实际教学中，教师可以根据学生情况，对于学困生，将十字相乘法作为了解的内容；对于数学学习基础较好的学生，可让其理解并掌握.