基于博弈论的不完全信息下无线校园网MIMO系统的研究*

袁若辰 ，赵吉星

（1.东北林业大学，黑龙江 哈尔滨 150040；2.上海海洋大学，上海 201306）

0 引 言

现代化的科研院校对信息传输的效率和准确率要求越来越高，传统的一对一信息传输已不能满足科研发展的需要。由之而来的多对多信息传输系统有更广阔的应用空间，其关键技术为多天线输入输出（Multiple Input and Multiple Output，MIMO） 技术，也是未来5G通信的一项关键技术。该技术在4G中已经得到广泛应用，但是在实践上面临不少困难，已有的模型大多是建立在信息完全的背景下，然而现实情况往往是信息不对称。例如在校园内部的MIMO系统中，分布着科研、行政、教学等传输网络，这些部门之间会相互干扰，而且在既定频谱资源中面临竞争，从而影响信息的整体传输效率。这些问题正好符合博弈论的应用条件，可以建立数学模型在既定条件下寻找最优解。

以无线校园网络为背景，本文设计了一个多小区的MIMO系统信息传输的最优功率分配方案，运用博弈理论来分析每个用户如何采取策略可以取得最大效用，进而找到使整个系统实现最优功率分配的纳什均衡。

1 MIMO技术概述

MIMO无线传输系统是新一代移动通信系统的关键技术之一，其最主要的特点是在信号发射器和接收器上增加若干个相互独立的天线。由此在既定发射功率和传输宽带下，可以显著提高信道容量和传输效率。MIMO系统模型如图1所示，假设在系统中，在发射端安装Xn个天线，在接收端安装Yn个天线，信号先由发射机发射，再由接收机接收后经过处理得到原始信号。

图1 MIMO系统示意图

此处假设信道为瑞利平衰落，从发射机到接收机信号可以组成一个m×n的协方差矩阵。在不完全信息状态下，设信号总功率为Pt，若发射端采取平均发射功率的策略，则天线单元的信号功率均为然而平均分配发射功率往往不是最优分配方案。

当发送端已知信道状态信息时，可以合理的设计协方差矩阵RX，使得信道容量最优[1]。然而在现实情形中，信道状态信息往往是不能完全获取的，而且不同信道之间会相互干扰，因此需要根据实际情况来选取最佳的功率分配方案。

2 应用博弈论分析MIMO系统功率分配的理论背景

博弈论（Game Theory）是一种有用的的数学工具，旨在解决不同竞争主体之间的稀缺资源分配问题及策略均衡。博弈模型中，不同局中人策略会相互影响，局中人各自采取策略来实现自身效用的最大化。如果找到这样一组策略组合，使全部局中人策略最优，这个结果就是纳什均衡。

在现实的MIMO系统中，多个用户同时与基站进行通信（例如校园内不同部门办公时同时传输信息），即多点对多点通信。由于每对MIMO系统使用相同的频谱进行通信，不同链路之间就必然存在同频干扰，从而严重影响传输效率。从前面图1中也可以看出，MIMO系统不同信道之间会互相干扰，当一个用户的决策发生变化时，其它用户的利益势必会受到影响，为了实现最优的功率分配，不同链路用户之间面临竞争和功率分配决策问题。

为找到MIMO系统最优功率分配，可以将此问题转化为一个博弈论问题[2]。局中人为各个用户，其面临的问题为，在满足最低工作性能要求和不确定其它用户如何做出决策的情况下，调整自己的传输功率，以实现最低干扰和最优传输效率。每个用户做决策时需要知道的信息包括信道传输信息、传输功率等，由于信息并不能完全获取，故可针对MIMO系统设定一个效用函数，来代表用户所做决策的利益得失。

3 一个多小区的系统案例

3.1 案例介绍

在实际的校园MIMO系统中，科研、行政、教学、生活等不同部门往往会同时进行信息传输，各部门对传输功率的要求不同（一般科研部门要求更高）。将各个部门简化为不同的用户，为使不同用户均能实现传输速率最大化，本文设计了一个非合作博弈模型，通过证明纳什均衡的存在来选取最优功率分配方案[3]。图2是一个校园MIMO系统示意图，把不同部门分为不同的小区。系统中不同小区的信号传输链路之间存在干扰，干扰程度取决于传输功率大小，从而系统整体的传输效率会受到影响。

图2 多小区MIMO系统示意图

类似于经济学理论，消费者购买商品可以获得效用，但必须为此支付一定的费用，因此消费者需在价格和效用之间面临取舍。同样，以每个链路的信息速率为效用，为此支付的价格就是信号干扰程度，因此发射端协方差矩阵的选择可以转化为一个博弈论问题。在本模型中，定义每个用户的效用由信号功率和噪声干扰来决定。为便于数学分析，随后将引入代价函数，将其定义为用户接收到基站的干扰。当某个用户分配的功率较大时，其它用户受到的干扰也必然较大，因此应使得该用户付出的代价也较大[4]。

3.2 博弈模型

3.2.1 函数构造

设该MIMO系统发射端共有M根天线，校园内不同部门的信号传输链路只经过其中一个天线。可用香农公式来计算有噪声连续信道的信号传输速率，即信道容量。

第k个用户的传输速率可表示为：

本博弈模型中，局中人为每个用户，设为集合Ω={1,2,…,K}，每个用户的策略集为所有可能的频道波束成形矢量Wk和传输功率Pk。该非合作博弈可表示为：

引入代价乘数λ，应用拉格朗日乘数法，总效用函数为：

其中，pk,max代表传输功率限制，kp为用户所能接受的最大干扰值.

3.2.2 纳什均衡存在性及唯一性证明

为找到最优策略集，首先要证明纳什均衡的存在性。由Wk和Pk的范围可知所有集合的可行域为两个凸区域的交集，即策略集为凸。在函数Uk中，分别对Wk和Pk求二阶偏导，易得Uww≤0，Upp≤0。由经济学理论可知，该效用函数至少存在一个纳什均衡[6]。经数学公式处理，可以证明该函数单调不减、规模递增且恒为正，由此证明该模型的纳什均衡是唯一的。

3.3 算法仿真与分析

本部分通过赋予变量具体的数值，通过算法仿真与分析得出总效用和与各个用户功率的具体关系，进而获得最优功率分配方案。为便于理解，可将四个小区理想化为A、B、C、D四个教学楼，不同教学楼之间的信息传输会相互干扰。由于信息不完全，各个用户做决策时，不能及时获取其它用户的决策信息。

图3 总效用速率随λ值的变化曲线

代价因子λ会显著影响总传输速率，图3为代价因子取不同值时，总效用速率的变化曲线。可以看出，总效用速率随着代价因子的变大而减少。在实际情形中，代价因子代表着不同教学楼之间信号的干扰程度，如果干扰程度大，则总体传输效果受到的影响就更大。例如A楼为科研楼，B楼为行政楼，则二者同时工作时，信号的传输势必会受到影响。若干次迭代之后，总效用速率收敛到一个常数，即为最优总效率和。

λ因子固定时，通过求解上述博弈问题，并进行仿真分析，可以得到如图4所示的结果。

图4 每个用户速率变化曲线图

可以看出用户2和用户3的信息速率曲线会出现下降的现象，可能是由于某些用户自私地提高自己速率，其它用户就会受到干扰，总体的利益受损。例如C楼为宿舍楼，用户1为其中某个宿舍，用户2、3分别为A、B两楼的用户。若用户1为了个人利益私自提高速率，用户2、3即学校科研工作所必须的信息传输就会受到损害。经过若干次迭代之后，每个用户的速率最终均趋于一个稳定值，表明该模型最后的结果是收敛的。

4 结 语

MIMO多系统传输技术已在众多院校中得到应用，并且取得了不少成就。本文在不完全信息条件下，通过建立博弈模型，证明其合理性并找到纳什均衡，寻找出最优功率分配方案。这一方法对MIMO系统功率分配提供了指导，也对科研院校信息化建设提供了研究思路。