数学题目中的隐含条件

贾炳麟 傅海伦 王悦

摘   要  通过挖掘隐含条件解题是一种极具创造性的思维活动，运用自己的联想能力和充足的知识储备，拓宽问题解决的思路，冲破数学的边界，打通学生的解题道路，提高学生发现、处理、解决问题的能力，增强学生的联想与想象能力，从而增强学生的数学学习兴趣，使学生体会到数学学习的美妙。

关键词隐含条件  数学解题  挖掘

所谓隐含条件，是指在数学问题中，除了直接给出的已知条件外，还没直接给出需要人们去挖掘的条件。这种条件一般隐含在定义、定理、公式、法则、图形之中，含而不露，容易被忽视，因而造成解题错误[1]。也就是说，隐含条件在解题时并未在数学题目本身直接表示，但是通过利用已知条件、有关条件或者已有的知识储备可以得出的解题条件。隐含条件的内容十分丰富，没有特别一成不变的模式可循，它是以抽象广泛的普遍性与实际问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取的相应的解决办法[2]。在解题过程中，如果按照习惯的思维定势探求解题途径比较困难的话，可以根据题目的特点，展开丰富的联想，找到最佳的解题途径，这对培养学生的创新意识和提高解题能力有很大的帮助。

一、数学题目中隐含条件的基本类型

1.制约型

制约型的隐含条件是指其仅仅对于数学解题中的结果或者结论有一定的限制作用，而对于解题过程而言并没有过多影响。这种制约型的隐含条件多数出现在数学题目所涉及的数学公式或者概念中，是由于这些公式、概念本身的性质而产生了这种制约条件。

例1  解方程log2x+log2（x+2）=3

在本题中，隐含条件就是x>0，x+2>0，这是由于log2x的性质决定的，这个隐含条件对于解题的最终结果有限制作用，而并不会影响到解题步骤和过程，这就是限制型隐含条件。

2.补充型

补充型的隐含条件就是指在某些数学解题中，对于某些存在着特殊性质的概念或定义，它对于整个题目的解决有隐藏的补充作用。补充型的限制条件对于数学解题具有重要的价值和意义，如果我们遇到一道题目却无从下手，那么就要再重新阅读观察题目，尝试挖掘出其中隐藏的隐含条件，或许隐含条件中有许多的补充关系。补充型隐含条件总是在解题的全过程中对我们实施一定的干扰，让我们始终以为忽略了某些条件。因此，要密切观察每一道数学题目中的隐藏关系，以免做题时存在过多不必要的麻烦和困扰。

例2  计算■+■+■+…+■

在本题中，一般项■（k=1，2…2000）就是补充性隐含条件，如果我们没能将这个一般项找到，并且加以变形简化处理，这道题将无从着手。

3.导向型

导向型的隐含条件和制约型的隐含条件恰好相反，导向型并不会影响最终的解题结果，却会对解题方式产生一定的作用。如果不能深刻剖析出数学题目中隐藏的导向型隐含条件，那么就会影响学习者的解题方式，阻碍其解题过程。而导向型的隐含条件往往存在于题目结构或是题目涉及到的定义、概念中。

例3  已知k>a>b>c>0，求证：K2-（a+b+c）k+ab+bc+ca>0

这道题目如果直接观察题意会感到非常的迷茫，不知道该如何下手，但是结合条件和结论，再进行大胆的猜想和假设，得出0<（k-a）（k-b）（k-c）就抓住了本題的关键。因此，解题时不仅应该仔细审题并且要观察题目结构，从各种渠道寻找解题的最佳方案。

4.综合型

数学本身就是一门逻辑学科，其是以逻辑为链条的形式化符号系统，数学的形式化决定了数学能够对纯粹的量进行独立地、理想化地、系统地、深入地研究，从而推动其自身的发展。数学概念、定义、定理之间并不是孤立存在的，而是一个相互联系的逻辑系统，因此，在数学题目中，许多数字和条件也是息息相关的，综合型隐含条件就是同时具有限制性、补充性、导向性的隐含条件。

例4  如果{x|2ax2+（2-ab）x-b>0}{x<-2或x>3}，求实数a，b的范围。

本题中由题设可知：设f（x）=2ax2+（2-ab）x-b，且f（x）>0，因此隐含条件是一元二次方程f（x）=0的两根必在数轴上以-2，3为端点的线段内。从这个隐含条件出发，既对a的大小有所限制，也对题意有所补充，使得题意中条件更加丰富充实，为数学解题提供了便利。

针对隐含条件的意义总结出以下几点：第一，提升学生的学习水平和思维严谨性。通过挖掘隐含条件的学习，可以让学生学会更多的解题方式，使学生在日常学习中更加便利，同时让学生学会使用数学思维和方法来解决问题，进而提高学生的思维水平和学习水平。第二，帮助学生形成良好的解题习惯。通过不断挖掘隐含条件的锻炼，让学生形成良好的解题习惯，学会如何正确解题，提升自己的综合水平和素质。第三，增强学生的创新能力和水平。探究学习中，鼓励学生主动探究挖掘隐含条件的方式，培养其创造性的解决问题的能力，从而发展其创造水平和能力。

二、数学题目中挖掘隐含条件的途径

2.利用数形结合挖掘隐含条件

数形结合就是指将数字和图形二者相结合，通过二者间的相互辅助，来解决数学问题，开拓解题思路。在日常的教学和学习生活中，教师应该对于数形结合思想具有高度的敏感性，积极引导学生将抽象的代数和具体的几何图形相结合，从而找到与“数”相对应的“形”，找到几何图形中所隐含的代数关系，从而达到化难为易、化零为整的目的，使学生可以从新的角度来解决数学问题。

例6  已知BC⊥CD，点A为BD中点，Q在BC上，并且AC=CQ。R在BQ上，并且BR=2RQ。S在CQ上，并且QS=RQ。求证：∠ASB=2∠DRC。

我们仔细研究这道题目可以发现，这个题目都是通过将几何直观（见图1）和代数抽象直接联系，将这道代数题目转化为几何问题，挖掘出题目中的隐含条件，使这道题的解决更加简便快捷，这种方法在数学解题中经常可以用到。

3.利用概念、定义挖掘隐含条件

在数学解题过程中，总是离不开概念、定义的综合运用，在这一过程中教师应该让学生深入了解概念以及定义的根本属性，使其具有充分的知识储备，可以深刻地挖掘出隐含条件的存在，以防出现思维的固定化，开辟新的解题方式，为今后的学习和问题解决提供全新的思路。只要善于归纳总结并且灵活运用。我们就可以轻易挖掘出隐含条件，掌握解题技巧。

例7  m取什么值时，方程2x2-（3m+2）x+12=0与4x2-（9m-2）x+36=0有同一个根？

这道题目如果用分别解两个方程的方法再加以比较，那真的是耗时耗力了，其实这道题的本质就是解方程组：

2x2-（3m+2）x+12=04x2-（9m-2）x+36=0

在这道题中，方程的根的概念就是隐含条件，如果学生清楚认识到方程的根就是让等式成立的数字，就很容易想到用联立方程组来解决这道题目。

4.运用条件和结论的因果关系挖掘隐含条件

数学题目的类型千变万化，解题方式也各有不同，但在许多情况下需要通过从结论和已知条件两个首尾端点向中间靠拢的方式，来寻找其中所隐藏的条件。因此，我们可以从不同的方面来思考数学问题，利用概念与定义、条件与结论之间的关系，来挖掘隐含条件，这样才能避免不必要的麻烦，给自己省下更多的時间和精力。

然后去题中寻找已知条件，在这一步骤中，我们就用到了隐含条件：韦达定理。借助韦达定理求出：a+b和ab的值，再代入整理过的式子中，从而解题完成。

此题通过分析题目结构，从条件和结论两个方面出发，发现可以利用韦达定理进行求解，运用结论与已知条件的因果关系发现题中隐藏题意，通过结论和条件分别从两端向中靠近，从而实现解题条件的简单化、便捷化。因此如果当解题陷入困境时，也可以尝试寻找条件和结论的关系来寻找思路，或许会有些许启发，使得整个解题过程豁然开朗。

三、隐含条件在数学解题中的运用

1.优化解题的途径

有些数学问题虽然不用挖掘隐含条件也可以解决，但求解的过程繁琐，如果可以合理运用其中的隐含条件，往往可以简化复杂的讨论和运算，避免大量不必要的运算，使复杂的数学问题得到快速而准确的解答。如例6，若想通过直接求出角的代数值来证明，不仅过程繁琐，更重要的是条件不足。通过挖掘隐含条件，找到题目中的隐藏条件，将角的问题轻松转化为函数问题，从而运用辅助函数c2=a2+b2将题中所涉及线段用基本量表示出来，解题过程清晰简便，思路完整有效，使得如此复杂的数学问题迎刃而解。

2.清晰沟通条件和结论的关系

许多数学问题利用题中既定的已知条件很难直接计算出结果，还要沿着一定的方向去寻找新的思路，以该思路模型为桥梁，沟通条件和结论之间的严密逻辑关系，才能推导出问题的正确结论。如例5，仅运用已知条件很难直接得出结果，但如果可以适当的对已知条件进行转化拓展，由已学的三元均值不等式类比推论出具有某些独特性质的二元不等式，这样解题过程中就可以有效运用这些特有性质，从而更加便捷地解决问题。

3.丰富原有知识储备

在解答数学问题时，经常会遇到各种各样的问题，这些问题中包含着各种各样的知识点，也并不排除某些知识点存在着有效相关关系的现象，通过解决这些问题可以推动数学相关知识的相互转化、渗透和吸收。如例6可以将代数问题转化为几何问题来解决，这就实现了数学知识之间的转化，达到融会贯通的效果，因此，挖掘隐含条件可以促进数学知识的实践和运用，增强知识的吸收和渗透。

总之，隐含条件有的内含于定义中，有的内含于图形之中。有效而合理的挖掘隐含条件，可以变隐晦为直观、变复杂为简明、变生疏为熟悉、变抽象为具体，往往使问题得到巧妙解决。挖掘隐含条件解题是一种极具有创造性的思维活动，运用自己的联想能力和充足的知识储备，拓宽问题解决的思路，冲破数学的边界，打通学生的问题解题道路，可以提高学生发现、处理、解决问题的能力，增强学生的联想与想象，从而增强学生的数学学习兴趣，提高学生的学习情绪，体会到数学学习的美妙[3]。

参考文献

[1] 邹锦程.数学解题应重视隐含条件的挖掘[J].天府数学，1998（05）.

[2] 赵志明.谈数学题目隐含条件的挖掘[J].课程教材教学研究：教育研究版，2009（02）.

[3] 孙伟奇.如何挖掘数学题中的[J].数学教学研究，2007（04）.

【责任编辑  郭振玲】