例谈构造法在解题中的应用

2019-09-01金东明

读写算 2019年4期

关键词：类比构造联想

金东明

摘要构造法解题是一种富有创造性的思维方法，它相当好地体现了数学中、发现、类比、联想转化的思想。

关键词类比;联想;送向;转化;构造

中图分类号：O421+.4，O629.11+3，H122 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）01-！！PageNum！！-01

用构造法来解数学问题，其方法独特，妙趣横生。本文为大家介绍几种常见的构造方法。

一、类比构造：由于问题中研究对象有着形式上，本质上的相同或相似，启发我们构造类似的数学形式，运用新数学形式的丰富内涵达到解决问题的目的。

例1：设实数a、b、c满足关系式

②

分析：①式右边的式子与②左边的形式完全相同，由此启发我们构造更一般的数学形式。

解：设函数，;均有且

在R上是递增的奇函数;由条件知;即，则

二、联想构造：联想是由一事物及另一事物的思维方式的过程，这种联想通常是事物的形式，结构、范围、关系等因素作用的结果，由联想而引发生的构造称之为联想构造。

例2：证明，其中

分析：已知条件及联想到向量的模及数量积的有关公式;故构造向量，利用向量数量积和模的有关定义解题

证明：设，，与的夹角为，

，，所以

即：

三、逆向构造：逆向构造是指按逆向思维方式，向原有数学形式的方向去探求，通过构造与结论有关的数学式子来解决问题。

例3若函数满足，则当a>0时，与之间大小关系为

A.;B.;C. ;D.与a有关，

B.分析：从条件看，本题似无从下手，此时可按逆用思维，从选支入手要比较的大小，只需比较与的大小，构造函数，只需比较与的大小，而a>0，则只需考虑的单调性，问题迎刃而解。

解：令，则

＼F（x）在R上单调递增，a>0＼F（a）>F（0）即;故选B

四、归纳构造：对于与n有关的问题，不容易直接构造出，我们可以具体的特殊f （1），f （2），f （3）的進而推广到一般的f （n）.

例4平面内有n个两两相交的圆，并且任三个圆不经过同一点，试问这n个圆把平面分成多少个区域？分析直接求n个圆把平面分成多少个区域比较难，故通过特殊情况归纳一般情况。

解：当n=1时，即一个圆把平面分成2个部分，即f （1）=2，当n=2时，第二个圆被第一圆分成的段弧，每段弧将第一个圆的每个区域分为两个区域，即f（2）=f（1）+2，设n-1个圆将平面分成f（n-1）个部分，则再增加一个圆，这第n个圆与原来的n-1个圆中的每一个圆都有两个交点，一共有2（n-1）个交点，把第n个圆分为2（n-1）段弧，而每段弧将原来的一个区域分为两个区域，一共增加了2（n-1）个区域，即f （n）= f （n-1）+2（n-1），f （2）=f （1）+2×1，f （3）=f （2）+2×2，f （4）= f （3）+2×3，…f （n）=f （n-1）+2（n-1），将以上各式相加得