对一道课本例题的多解探究及教学反思

☉广东省珠海市第十中学 王淑艳

学习“多边形的内角和”时，一次不经意的放手竟有意想不到的收获，也引发了我对课堂教学的一点思考.

按教学计划，学习了三角形内角和定理之后，接着要探索多边形内角和公式，我先引出问题：请同学们探讨四边形内角和等于多少度.想到方法的同学将解法写在黑板上.我没有给任何提示就让学生自己开始尝试解决.

一、相关知识回顾

结论：任意三角形内角和等于180°.

证明方法1：对于任意△ABC，过点A作DE∥BC.

则∠B=∠BAD，∠C=∠CAE.

同时∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠DAE=180°.

则∠BAC+∠B+∠C=180°.（得证）

证明方法2：对于任意△ABC，作过点A的直线DE.过点C作FG∥DE，过点B作MN∥DE.

则DE∥FG∥MN.

故∠ACP=∠CAE，∠APC=∠PAD，∠BPC=∠PBM，∠PCB=∠CBN，且∠APC+∠BPC=∠APB=180°.

同时∠PAD+∠BAC+∠CAE=∠DAE=180°，∠PBM+

∠ABC+∠CBN=∠MBN=180°.

则∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠DAE+∠MBN-

∠APB=180°.

图1

图2

二、解法预设

图3

备课时我根据之前的教学经验及常规解法，估计学生可能会有以下几种方法：

（1）将四边形分成两个三角形，如图3所示；

（2）在一边上选一个点与不相邻的顶点连接，将四边形分成三个三角形，将这三个三角形内角和相加后减去多余的平角即可，如图4所示.

图4

图5

（3）在四边形内部任意选一点，与四个顶点连接，将四边形分成四个三角形，将这四个三角形内角和相加后减去中间的周角即可，如图5所示.

（4）在四边形外部任意选一点，与四个顶点连接，将四边形分成四个三角形△APD、△CPD、△BCP，再将这三个三角形内角和相加后减去△ABP的内角和即可，如图6所示.

即把四边形分割为三角形，通过三角形内角和推算出四边形内角和.分割的方法有直接连接一条对角线，还可以任选一个点与四边形四个顶点连接，形成若干个三角形，当然，这个点的选取可以在四边形的一条边上，也可以在四边形的内部或者外部.

图6

三、课堂实录

我本以为自己准备得很充分，用预设方法去求四边形内角和也是非常自然的事情，谁知学生经过讨论后，开始往黑板上写他们的解法时，我才发现自己忽略了一些很重要的东西，就是我们刚刚学习了“相交线与平行线”及三角形的有关知识，我没有提前预见到学生会利用刚学的知识解决今天的问题！

他们除了用到解法预设中的第一种解法，其他方法不能不说还是非常精彩的.简述如下：

图7

解法1：（如图7所示）连接AC、BD交于点O.

因 为∠AOB=∠DAO+∠ADO，∠AOD=∠DCO+∠CDO，∠DOC=∠CBO+∠OCB，∠COB=∠BAO+∠ABO，所以∠AOB+∠AOD+∠DOC+∠COB=∠DAO+∠ADO+∠DCO+∠CDO+∠CBO+∠OCB+∠BAO+∠ABO，即∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°.

（利用外角来解）

解法2：（如图8所示）过点C作CE∥AD，交AB于点E.

则∠A+∠1=180°，∠D+∠DCE=180°.

所以∠A+∠1+∠D+∠DCE=360°.

又因为∠1=∠B+∠BCE，所以∠A+∠B+∠BCE+∠D+∠DCE=360°.

即∠A+∠B+∠BCD+∠D=360°.

解法3：（如图9所示）过点C作CE∥AD，交AB于点E，过点B作BF∥AD.

则∠A+∠ABF=180°，∠D+∠DCE=180°.

所以∠A+∠ABF+∠D+∠DCE=360°.

所以∠A+∠ABC+∠1+∠D+∠DCE=360°.

因为CE∥AD，BF∥AD，所以CE∥BF，所以∠1=∠2.

所以∠A+∠ABC+∠2+∠D+∠DCE=360°.

即∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°.

解法4：（如图10所示）延长AB、DC交于点O.

因为∠A+∠D+∠O=180°，∠ABC+∠CBO=180°，∠DCB+∠BCO=180°，所以∠A+∠D+∠O+∠ABC+∠CBO+∠DCB+∠BCO=540°.

又因为∠OBC+∠O+∠BCO=180°，所以∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°.

（这种方法仅适用于四边形有一组对边延长能相交的情形）

解法5：（如图11所示）对于任意四边形ABCD，过点A作直线EF，过点B作GH∥EF，交AD于点P，过点D作IJ∥EF，交BC于点Q，过点C作MN∥EF.

则EF∥GH∥IJ∥MN；

∠ABP=∠BAF，∠PAE=∠APB=∠ADQ；

∠QDC=∠DCM，∠QCN=∠CQD=∠CBP.

同时∠PAE+∠DAB+∠BAF=∠EAF=180°，∠DCM+∠DCQ+∠QCN=∠MCN=180°.

则∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=∠EAF+∠MCN=360°.

四、教学反思

1.鼓励学生大胆尝试

如果一开始我就用准备好的方法教学生如何得到四边形的内角和，可能就抹杀了学生如此有灵感的证明.学生的证法中虽然第2、3、4种证明方法不能适用于所有四边形，但他们灵活使用学过的知识解决问题的意识还是值得表扬的.可以注意到，学生刚接触几何证明，思路可能还比较单一，他们只能借助刚学的知识解决问题，条理性和严密性还需要进一步加强，而我们作为老师，可以换位思考一下，学生初次看到这些问题可能与之前的知识有怎样的联想，以帮助我们了解学生的思考方向，对于我们把握学生的思路很有帮助，对他们思路中可能出现的漏洞也有所预见.

2.引导学生大胆质疑

实际上，按照学生现有的知识，他们没有意识到他们解题过程中存在的问题，例如，学生的第2、3、4种解法，并不是适用于任意四边形，可以引发学生思考：为什么这种方法不适用于任意四边形？哪些四边形不能用呢？引导学生思考特殊四边形，找到证明过程的疏漏，为今后学习打下基础.

3.培养学生合作探究的意识

数学解法，尤其几何证明通常不止一种方法，让学生通过合作探究解决数学问题，不仅培养学生自主学习的能力，还提高了交流能力，培养了解决问题的主动性，养成不依赖老师的学习习惯.同时，与同学探究的过程，对知识进行了一次有效的梳理，拓宽了思维方式.

4.培养学生的逻辑推理能力，形成和发展学生的数学学科核心素养

提出问题，充分地让学生思考，不仅培养了学生独立思考、解决问题的能力，同时通过老师对他们的解法进行点评及完善，养成严密的逻辑推理能力.在教学过程中，注重逻辑推理能力的培养，有利于提高学生研究事物本源的能力，真正提升学生的综合素养.

因此，我们在备课过程中，不能单凭经验或者固定的解题方法去预设学生的解法，多点机会让他们表达自己的想法，通过共同探究去培养学生多方面的能力.放手把课堂交给学生，让他们在不成熟中慢慢成熟起来.