巧用结论 简化解题
2019-08-29曾雪英
摘 要：新课程标准指出：高中数学教学以发展学生数学核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。高考作为高中教学效果的重要检验方式，随着教育改革深入，经历了从知识立意、能力立意到素养立意的发展过程。高考数学试卷知识量大，对学生的思维能力，运算能力都有较高的要求，学生普遍反映解题时间紧张。因此教师应引导学生根据已学，进一步探究数学内容的本质以形成结论并应用于解题，帮助学生简化思维过程，减少运算步骤，提高解题的时效性。能否探索结论并应用于简化解题，本质上也反映了学生思维能力的差异，近年高考试题命制也常有这方面的体现。本文就以圆锥曲线这部分为例，谈谈常用结论在高考解题中的应用。
关键词：高考解题；结论应用；圆锥曲线
在新课标全国Ⅰ卷中解析几何（不含选做）部分的考察结构基本稳定，都是一道解答题加两道选填题。解答题以椭圆或抛物线为主体，选填题基本是另两种曲线的考查，一般一题较易，另一题则会对考生能力有明显区分。在选填题部分，椭圆、双曲线的离心率问题、双曲线的渐近线问题及抛物线的焦半径问题是考查的重点。
圆锥曲线深入探究，可形成非常多的结论，而高考在椭圆与双曲线选填题的命制中，以下结论的应用尤其常见。教师应引导学生加以拓展探究，并强化结论用于解题的训练，提高解题的速度及正确率。
设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1（a>b>0），双曲线方程为：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）。
设F1、F2为椭圆（双曲线）两个焦点，P是椭圆（双曲线）上一点，记θ=∠F1PF2。
结论1：双曲线焦点到渐近线的距离=虚半轴长b。
结论2：①椭圆：e=ca=1-b2a2∈（0，1），②双曲线：e=ca=1+b2a2∈（1，+∞）。
结论3：①椭圆：焦半径最小值为a-c，最大值为a+c；
②双曲线：同侧焦半径最小值为c-a，异侧焦半径最小值为c+a。
结论4：①椭圆焦点弦中以通径最短；②两端点在同一支的双曲线焦点弦中以通径最短。
通径长均为2b2a。
结论5：椭圆中①cosθ≥1-2e2，当且仅当P为短轴端点时取“=”，此时θ最大。
②设A、B是椭圆长轴两端点，当且仅当P为短轴端点时，∠APB最大。
结论6：①椭圆：SΔPF1F2=12|PF1|·|PF2|sinθ=b2tanθ2≤bc，当且仅当P为短轴端点时取“=”。
②双曲线：SΔPF1F2=12|PF1|·|PF2|sinθ=b2cotθ2。
结论7：设AB为椭圆（双曲线）的一条弦，弦中点M（x0，y0），当AB不垂直于对称轴时，则有：
①椭圆：kAB·kOM=-b2a2；②雙曲线：kAB·kOM=b2a2。
结论8：若A、B是椭圆上关于原点对称的两点，M是椭圆上异于A、B的一点，设MA、MB的斜率分别为k1、k2，则有：①椭圆：k1k2=-b2a2；②双曲线：k1k2=b2a2。
注：当椭圆与双曲线的焦点在y轴时，结论需相应改变。
下面给出以上结论的应用以供参考：
例1：（2014全国Ⅰ理4）设F是双曲线C：x2-my2=3m（m>0）的一个焦点，则F到C的一条渐近线的距离为
简析：由结论1，可得焦点到准线距离等于b=3。
例2：已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是
简析：PF2=F1F2=2c。由结论3①，PF2=2c∈a-c，a+c故e=ca∈[13，1]。
例3：已知椭圆x24+y2b2=1（0 简析：由AF2+BF2+AB=4a=8及（AF2+BF2）max=5，可得ABmin=3， 由结论4①可得ABmin=2b2a=b2=3 b=3。 例4：（2017年全国1文12）设A、B是椭圆C：x23+y2m=1长轴两端点。若C上存在点M满足∠AMB=120°，则实数m的取值范围为（ ） A. （0，1]∪[9，+∞） B. （0，3]∪[9，+∞） C. （0，1]∪[4，+∞） D. （0，3]∪[4，+∞） 简析：选A。由结论5②，知当M为短轴端点时，AMB最大，此时∠AMB≥120°， 故∠OMB≥60°，tan∠OMB=ab≥3，∴a2≥3b2。 当0 例5：（2018泉州质检理）已知点P是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）与圆x2+y2=a2+b2的一个交点，若点P到x轴的距离为a，则双曲线的离心率为 简析：不妨设点P在第一象限，由c2=a2+b2得圆半径为c，由已知可得P（b，a）。 设双曲线两焦点为F1、F2，则SΔPF1F2=ac。由结论6②得SΔPF1F2=b2cot45°=b2 b2=ac，即，c2-a2=ac，又e=ca>1，∴e=1+52。 例6：（2014江西）过点M（1，1）作斜率为-12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 简析：由结论7①得：kOMkAB=-b2a2=-12，由结论2①得：e2=1-b2a2=12，e=22。
例7：（2016龙岩质检）设A、B是双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线右支上位于第一象限的动点，设PA、PB的斜率分别为k1、k2，则k1+k2的取值范围为
简析：由结论8②得k1k2=b2a2，且k1>0，k2>0，k1≠k2，则k1+k2>2k1k2=2ba。
高考对抛物线的考查基本会涉及抛物线的焦半径或焦点弦长问题，若能应用相关结论，可实现快速解题。以下为抛物线中常用的结论：
以抛物线C：y2=2px（p>0）为例，注意：抛物线开口方向不同，结论需相应改变。
设F是C的焦点，A、B是C上两点，设直线AB的倾斜角为α，A（x1y1）、B（x2，y2）。
结论1：当直线AB过焦点时，有：
①AF=x1+p2，|AB|=x1+x2+p。
②设点A在x轴上方，则|AF|=p1-cosα，|BF|=p1+cosα。
③|AB|=2psin2α≥2p，当且仅当AB垂直于对称轴即AB为通径时取“=”。
④SΔAOB=p22sinα。
⑤x1·x2=p24；y1·y2=-p2。
⑥以AB为直径的圆与准线相切；
⑦以AF或BF为直径的圆与y轴相切。
结论2：设AB中点M（x0，y0），当AB不垂直于x轴时，kAB=py0。
下面给出以上部分结论的应用举例以供参考：
例1：（2014年新课标1理10）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=4FQ，则QF=（ ）。
A. 72
B. 3
C. 52
D. 2
简析：不妨设点P在x轴下方，则由FP=4FQ，得點Q在线段FQ上，PQ=3QF。
过点Q作QH垂直l，垂足为H，则QH=QF。设直线PF的倾斜角为α，
则直角△PHQ中，cosα=cos∠HQP=13。由结论1②得QF=41+cosα=3。
例2：（2017全国Ⅰ理10）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
简析：选A。设直线l1、l2倾斜角分别为α、α+π2，由结论1③得AB+DE=4sin2α+4sin2（α+π2）=4sin2αcos2α=16sin22α≥16。
例3：（2014全国Ⅱ理10改编）设F为抛物线C：y2=6x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则ΔOAB的面积为
简析：由结论1④，可得△OAB的面积为322sin30°=9。
例4：（2018年全国Ⅲ理16）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点。若∠AMB=90°，则k=
简析：设AB中点N（x0，y0），点M在以AB为直径的圆N上。由结论1⑥得：
圆N与l切于点M，则MN∥x轴，∴y0=1。由结论2，得k=py0=21=2。
全国新课标Ⅰ卷突出对通性通法的考查，但试题命制却也注重能够多视角、多维度、多层次地考查学生的数学思维品质，考查学生对数学本质的理解及学生的数学素养和学习潜能。而善于总结结论，并应用于简化解题，这就是学生数学素养和学习潜力的一种反映。教师在教学中应注意引领学生对各知识板块进行力所能及的探究，并应用结论帮助解题。这既可以激发学生解题兴趣，又能开拓学生思维，提升学生数学能力。
作者简介：
曾雪英，福建省泉州市，福建省泉州第一中学。
