构建直观想象 展开思维之翼——基于教材培养数学直观想象素养的实践研究

王黎明

一、课题的提出

我国著名数学家、教育家王梓坤曾说过：“在实践中所体会到的直观形象有助于抓住本质，它常常是理论的先导，并为理论提供思路、模型与方法。严格的逻辑证明和计算有时无非是直觉的一种数学加工和精确化而已。”对于高度抽象的数学学科来说，许多抽象概念和结论一旦找到直观形象的背景，或联想到自己已把握的具体模型，就会变抽象为直观。这样，无论是对抽象概念和结论的认识和理解，还是对有关问题的思考和解决就会变得容易把握。

然而在现实教学中，可能受传统教学思想的影响，我们还有很多教师对教材中的背景材料，通常只会将其作为辅助的引入材料，忽视其作为发现问题源头的重要作用。只关注知识的运用和提升，对有些原理、性质没有进行直观上的建构，使学生感觉到数学越来越难学，越来越难懂甚至会谈“数”色变，认为数学就是一堆冷冰冰的数字和奇特符号的组合，数学学习留给他们的只是“枯燥、繁难”的回味。虽有部分教师明白直观想象的重大意义，总感觉直观想象的培养比较“飘渺”，难以内化和实践操作。还有些人认为数学直观想象只是与数学家有关，同灵感、创造和发明等有关的直观想象是一种“高深莫测的意境”，必须对数学有深刻理解才可能产生直观想象，其实像“题感”、“空间意识”和“几何直观”等这类数学观念是普遍存在的，是可以培养和渗透的。

基于上面的现实思考，对于如何增强学生的直观想象素养，如何更好地发挥直观性的教学价值成为现实的话题。因此，我们就提出“依托教材培养数学直观想象素养的实践研究”这一课题，以期通过这一课题的研究挖掘数学教材中的有机资源，促进学生对数学基本知识和技能的深入理解，进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，体会数学的本质。

二、课题的研究现状

大数学家希尔伯特在《直观几何》序言里头写了这样三层维度：第一层，图形可以帮助刻画和描述问题。一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。第二层，图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路。第三层，图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。苏联大教育家苏霍姆林斯基在《给教师的一百条建议》中谈教学的直观性问题中写到，我的学生总是把算术练习本从中间起分成“两半”，左边的一半用来解答习题，而右边的一半则用来以直观的、示意的办法把应用题画成图解的样子。在动手解答习题以前，学生先“把应用题画出来”。教会学生把应用题“画”出来，其用意就在于保证由具体思维向抽象思维的过渡。儿童开始时画一些实物（苹果、篮子、树、鸟），然后转到示意性的绘画，即用小方块、小圆圈来代表它们。我特别关心的是那些学习感到困难的学生是怎样“画”应用题的。假若不是采用了这种教学方式，这些学生是未必能学会解答应用题和思考它的条件的。如果哪一个孩子学会了“画”应用题，我就可以有把握地说，他一定能学会解应用题。也有个别学生，在几个月里还学不会用图画来表示应用题的条件。这就意味着，他们不仅不会抽象思维，而且也不会“用形象、声音、色彩和感觉”来思维。这就必须先教给他们形象思维，然后再逐渐地引导他们进行抽象思维。

国内自2011年《数学课程标准》提出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学的学习中，发挥着重要的作用。新课程理念实施以来，培养和发展学生的直观想象能力已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题。因此，国内很多的教师对数学直观想象的教学也有一定的研究。但立足于课本，深入挖掘数学教材中的有机资源，进行有意有序的直观想象渗透这方面的研究并不多。

三、课题研究的阐述和定位

数学是研究数量关系与空间形式的科学。空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本、主要研究对象。直观想象顾名思义，直观不仅仅是指直接看到的东西，直接看到的是一个层次，更重要的依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象。

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。几何直观是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。

（1）直观想象是一种思维形式，既有深刻的形象思维特点，又有强烈的抽象思维特点。

（2）直观思维是一种常规数学思维能力，具有发现的功能，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦”。

（3）在直观想象中构造出具体的图形就是构造出相应的概念与数学实体。直观思维在数学教学中的作用非常重要，有必要加强直观想象与数学课程整合，重视其教育价值，并探讨直观想象素养培养的方法。

四、课题研究的实践与思考

直观想象是借助与几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养。下面将以实践案例的形式从数学实验的媒介使用、知识之间的联系和数学解题过程中的思路探寻图的应用等方面进行实践与思考。

1.制作教学媒介，直观促进理解 数学概念、性质、定理等具有高度的抽象性和概括性，让学生直接理解，肯定存在很大困难，所以在数学教学中，教师应该为学生提供一些实物、模型、教具、教学软件等丰富的数学学习材料，让学生有充分的时间对具体事物进行操作，使他们获得学习新知识所需要的具体经验，通过思维活动来形成对知识的深刻理解，而不是机械的重复，记住所讲述的关于概念的现成解释，这样学生获得的知识才是全面的、清晰的、牢固的。

（1）动手实验

案例： 八年级上等腰三角形

以全局观的角度解读教材，本单元先从图形的轴对称认识开始，研究图形的轴对称的定义、性质以及作图，接着研究最重要的轴对称图形的等腰三角形，它的定义、性质、判定以及应用，非常完整地展示几何学习的通常路径。安排了一个合作学习：在透明纸上任意画一个等腰三角形，画出它的顶角平分线，然后沿着顶角平分线所在的直线把等腰三角形进行对折，让学生观察，猜测，交流并证明。很多老师就是这样做的，在这一过程中，有操作，有猜想，还有证明。具备了现代理念下课堂教学的一些基本要素，很多人都认为是一节好课。是一节好课吗？只要深层次思考一下就会发现：学生是在教师的指令下折纸的，折纸后左右对称的关系已经明摆着，猜想成为多余，后面即将学习的性质并不是学生发现的，而是老师告诉的。这么一想，这个操作不就逊色了吗？等边对等角和三线合一性质的发现和证明，关键是顶角平分线，可是这条线在操作中被学生折叠出来了，结论的发现和证明已经跃然纸上，这里的操作并没有实现它应有的教学价值，相反降低了猜想和证明的思维层次。如果我们换一种设计，从若干三角形中寻找特殊（等腰三角形作为一种特殊情形很容易进入研究视野）——定义等腰三角形并提出课题：研究其性质——观察所面对的图形——想象（不难发现左右完全一样）——提出猜想（可能有很多猜想，但最终可概括出两条性质）——分析并证明其中的一条性质（另一性质留给学生思考）——折纸验证并进行解释。

在这一设计中，猜想表现的是洞察力，证明需要探索，操作的意义在于实验，充分展示学生猜想的直觉和对证明的理解，对新课程提倡学习方式，如观察、实验、猜测、验证、推理、交流等的价值进行挖掘。

（2）图文并茂

案例：解一元一次不等式组

解一元一次不等式组是数学教学中的一个难点，在教学过程中，教师可设计复合幻灯片，教师结合图片，逐一进行分析、概括，并提炼出口诀，这样学生利用图形的直观效用对一元一次不等式组的解就会有比较清晰的认识。

（3）几何画板

应用现代化教学手段，可以使教学中“死”的图形“动”起来，把“死”的书本知识“活”起来，为学生提供生动、直观材料，开阔视野，拓展知识结构。

案例 探索勾股定理

一个美丽的故事：世界的许多科学家正在试探着寻找外星人，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道这个星球上有智慧生命。

我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。

【设计意图】通过一个美丽的故事的阅读，创设一个遐想的情境，诱发学生发挥想像，初步感受勾股定理的神秘，调动学生的情绪，使学生以饱满的热情进入学习探究状态。

①定理探索1：等腰直角三角形的三边数量关系

出示图形，说明图中每个小方格代表一个单位面积。引导学生根据三个问题进行个体主动探究与思考。

问题1：你能说出正方形P，Q，R的面积及其数量关系吗？

问题2：你能说出正方形P，Q，R的面积和直角三角形三边a，b，c之间的关系？

问题3：你能说出等腰直角三角形三边之间的数量关系吗？

教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的不同研究方法进行全班交流。

②定理探索2：直角三角形的三边数量关系

出示图形，说明图中每个小方格代表一个单位面积。引导学生根据两个问题进行个体主动探究与思考。

问题1：你能说出正方形P，Q，R的面积及其数量关系吗？

问题2：你能说出等腰直角三角形三边之间的数量关系吗？

教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的不同研究方法进行全班交流。

③定理探索3：验证猜想

引导学生操作：在《几何画板》的格点中画出直角边为5cm、12cm的直角三角形，验证你刚才的猜想是否成立。（图中每个小方格的边长为1cm）

教师通过广播系统的监控了解学生的学习探究状况，适时通过学生演示将学生的研究结果进行全班交流。

④定理探索4：得出结论

引导学生思考问题：是否一般的直角三角形都具有上述特征呢？

学生利用《几何画板》的动态演示，在运动过程中注意观察各个正方形面积的变化及其关系，得出勾股定理：

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：若△ABC中，∠ACB＝90°，则a2+b2＝c2．

变形：若∠ACB＝90°，

教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。

【设计意图】学生能独立思考，有强烈的探究愿望，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在交流意见的过程中逐渐完善自己的观点。故本段设计遵循构建主义的学习理念，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。

2.建立知识网络，加深数学理解 数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系。要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的、只言片语的。希伯特教授用信息的内部表示和构成方式来描述理解，“我们认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，是指它的智力表示成了表示网络的一个部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。”

（1）数形结合

数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路。

案例 在二次函数复习时，从这样一个问题开始教学

一位农民现打算在自己房子靠墙的一侧（墙长7米）围一个养殖场。现有6米长的篱笆，请同学们设计一下，如何围，才能使围出的养殖场面积最大？同学们解决过类似的问题，认为很简单，利用二次函数的最大值知识得出：当宽为1。5米、长为3米，养殖场面积最大（4。5平方米）。

学生们颇为得意地完成任务后，接着教师提问：为什么只能围成矩形，其它形状是否可以？

学生们再动手围，有围成正方形、三角形、梯形、半圆形等，并算出结果：

学生由此得出：大概围成半圆形的面积最大。

教师引导指出，不可这样武断地下结论，利用我们已学过的图形面积知识是否还可深入研究？

通过启疑提问，可以引发学生明确学习目标，进入积极思维的目的，目标是教学活动的方向盘和指南针，也是起始和归宿，清晰的学习目标可为学生掌握知识指明方向。启问被尊为课堂教学的点金术，真正有效的提问可以开启学生思维的齿轮，获得网开八面的探索思路，成功的启问要启在关键上，问在精要处，这是教师主导的有力体现。

学生积极尝试后，有同学从半圆形面积较大进一步考虑到弓形（如图），列出计算式：

其中，0°＜n＜360°，L＝6米。

这里的S（n）是一个超越函数，如何看出其变化规律？学生面露难色，教师提醒大家用实验的方法，用n＝1，2…，360计算（分组用计算器），学生兴趣高涨，很快汇总整理出了当n＝180时S（n）取最大值。

老师可以通过各种形式有意识的使学生领会到数形结合方法具有形象、直观易于说明等优点，并初步学会用数形结合观点去分析问题，解决问题。

（2）知识网络

案例：学习完正方形的概念后，要求学生自主梳理将这一章中的特殊四边形之间的构建知识网络图。

通过这样的结构图的构建学生更清楚地理解到平行四边形、矩形、菱形、正方形相互之间的联系与区别，更好地辨析概念，掌握知识的内涵与外延。

3.建构思维导图，明晰解题思路 数学学习离不开解题，解题要求老师帮助学生学会数学地思考，让学生在杂乱无章的思路中探寻正确的途径，减少盲目地尝试。在已知条件和未知之间建立有序的简明示意图，或在知识储备和问题之间建立结构示意图，为思考架设探究桥梁，便于学生寻找解题路径。

（1）思路简明图

案例：求证等腰三角形两底角的平分线相等。

此题在前一章学习的基础上进一步巩固文字语言、图形语言和几何表述之间的互译，详细地给出分析过程，既有几何表达的分析，还在教材里首次按分析法的思维程序写出探求证明方法的过程，并用框图的形式直观地表示出来，有助于学生掌握“执果溯因”的分析法的思维模式。这种方框图虽然不能作为证明过程，但是便于探寻解题路径，从整体上进行思考问题，对每个知识结点进行分析还能发现一题多解（还可以证明ΔABD≅ΔACE），解题后进行检验和优化。

（2）逻辑结构图

案例：已知：如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：AD＝DB。

不难给出如下的证明，连结OD，∵OA是⊙C的半径，∴OD⊥AB，∴AD＝DB.

证明过程非常简单，但是没有充分暴露思维的过程。本题是小圆在大圆中，小圆的直径恰好是大圆的半径，要证明两线段相等。思维就从这两个地方展开，由小圆的直径是大圆的半径，结合图形能够推出什么呢？要证明两线段相等，有哪些方法？

这是解决这道题的平面结构图，包括有用捕捉、有关提取、有效组合，发现四种解法，解法一使用圆周角定理的推论和垂径定理进行证明，这种证明方法最直接，最容易想到，是通性通法，解法二、三都用三角形的中位线进行转化，异质同源，解法四很好地使用圆心角定理和平行四边形的性质，构图与三角形中位线定理证明有关联。随着解题能力的提升，对于解题环节较多的题目，这种结构图可以简化，只需要抽象出核心的逻辑框架图。

五、结语

德国教育家第斯多惠曾说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”因此，我们教师要有意识地培育学生直观想象的素养，先想后证，将想象与推理有机地结合，把主动权交给学生，对大胆设想予以充分肯定，对其合理成分进行鼓励，激发学生自发性直觉思维去思考问题，在解决问题的过程中插上直观想象的翅膀，让思维之翼腾飞。