一类带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统解的渐近行为

胡华书, 蒲志林, 沈怡心

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

经典的Lotka-Volterra模型都是假设一个独立物种有相似的能力去捕食或者繁殖,但是大部分的生命循环并不是这样的,很多动物至少包括2个阶段:幼年和成年.物种在第一个阶段通常是不能捕食和繁殖的,由成年父母喂养,而成年物种靠捕食猎物为生.另外,物种也受环境、迁徙等影响,所以本文考虑带有扩散项和阶段结构的非自治捕食-食饵系统:

(1)

其中,Ω⊂RN,N≥1是具有光滑边界的有界区域,B表示边界算子

Georgescu等[1]已经研究过系统不带扩散项的自治情况,通过构造一个恰当的Lyapunov函数和使用LaSalle的不变性原则,研究系统的全局动力性,得到了系统正稳态的存在性及渐近稳定性.Langa等[2-3]也研究了带有扩散项的非自治Lotka-Volterra系统的向前和拉回行为.Langa等[4]利用非自治偏微分方程的吸引子的最新理论得到关于非自治Lotka-Volterra系统描述竞争,共生和捕食-食饵现象的持久性和全局解的向前和拉回渐近稳定性.Langa等[5]利用次超轨线对的方法研究了带有扩散项的非自治Lotka-Volterra模型的长时间行为,得到了包括竞争、共生和捕食-食饵3种情形.特别地,在一些参数条件下,证明了这些模型的一个唯一非退化全局解的存在性,它吸引其他任意完全的有界轨线.最后得出次超轨线对作为现在经典的上下解方法的一般化方法,得到3种模型的拉回和向前持久性.

具有阶段性的捕食-食饵系统在最近十年也受到了广泛关注,描述阶段结构的生态反应已经由文献[6-7]给出,Liu等[8]也研究了阶段结构的种群模型的动力性.文献[9-10]研究了具有阶段结构的捕食-食饵系统的全局稳定性和持久性.所以对于研究带有扩散项和阶段结构的捕食-被食系统的渐近行为,是很有意义的.

1 预备知识

回顾拉回吸引子的概念.

定义 1.1[4]设(X,d)是一个完备距离空间,{S(t,s)}t≥s,t,s∈R是一个映射集簇,满足：

(a)S(t,s)S(s,τ)z=S(t,τ)z,对所有的τ≤s≤t,z∈X成立;

(b)S(t,τ)z在t>τ和z是连续的;

(c)S(t,t)对所有的t∈R在X上是恒等映射.

这样的映射叫做一个过程.通常,S(t,τ)z作为非自治方程在时刻τ具有初始条件u在时间t的解.对于自治方程的解仅仅依赖t-τ,记

S(t,τ)=S(t-τ,0).

为了描述像(1)式的非自治系统的渐近行为,需要一个非自治拉回吸引子的概念.

定义 1.2[9]给定t0∈R,B(t0)⊂X在时间t0是拉回吸收的,如果对每一个有界子集I⊂X,存在一个T=T(t,I)∈R,满足S(t0,τ)I⊂B(t0), 对所有的τ≤T.

定义 1.3[4]一个紧集簇{A(t)}t∈R⊂X是S(·,·)的一个拉回吸引子,如果：

(a)S(t,τ)A(τ)=A(t),对所有的t≥τ;

(b) 对所有的t∈R,I⊂X的有界子集,有

其中dist(A,B)代表A和B之间的Hausdorff距离.定理 1.4[11-12]假设存在一个紧的拉回吸收集簇,则存在一个拉回吸引子{A(t)}t∈R.

为了更精确地描述拉回吸引子的动力学对象,给出如下定义.

由文献[4]知,当吸收集簇是一致有界的,拉回吸引子可以被描述为

A(t)=

{ω(t):ω(·)是一个对S来说的有界完备轨线}.

(3)

2 自治情形

(4)

和

(5)

初边值满足：

u0(x)>0,v10(x)>0,v20(x)>0;

让(U,V1,V2)是初边值问题

(6)

相应的解,由v10、v20的非负性,则存在常数ρ1、ρ2,使得V1、V2满足

0≤V1≤ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),

0≤V2≤ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x), (t,x)∈Ξ， (7)

(8)

其中，μ1是-Δu=μu的第一特征值,Us是边值问题

(9)

(u,v1,v2)≤(U,V1,V2).

回顾(7)式有

(0,0,0)≤(u,v1,v2)≤

(U,ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),ρ2e-(λ2+d2)φ2(x)). (10)

由(10)式知

(u,v1,v2)→(0,0,0),

t→∞,γ≤μ1.

(11)

当γ>μ1时,包括对u的Neumann边界条件,依然有(v1,v2)→(0,0)，当t→∞.这隐含着对任一正的<γ-μ1,存在T1>0,满足

bv2<,

(12)

让U和U(0)是

得到了如下解的全局存在性和渐近行为.

定理 2.1给定系统(1)的任一非负初值(u0,v10,v20),系统(1)有唯一全局解(u,v1,v2)满足(10)式.当γ≤μ1时,有(u,v1,v2)→(0,0,0),t→∞;当u0≠0且γ>μ1,有(u,v1,v2)→(Us,0,0),其中,Us是(9)式的正解.特别地,如果σ≡0,则当t→∞时,(u,v1,v2)→(γ/a,0,0).

3 解的渐近行为

3.1 非自治logistic方程当v1=v2=0时,u满足logistic方程

(14)

其中,γ∈L∞((s,∞)×Ω),0

(15)

的第一特征值,ψ1(h)是唯一的正特征函数,‖ψ1(h)‖∞=1.μ1(h)关于h是连续且增的,关于Ω是连续且单减的,且如果h(x)>0在Ω里成立,由文献[12]，则

(16)

记

μ1:=μ1(0).

现在,给定h∈L∞(Ω),g∈R,g>0,考虑非线性椭圆方程

(17)

的正解的存在性和唯一性及解的一些重要性质,有如下结果.

引理 3.1[3]问题(17)有一个正解,当且仅当μ1(-h)<0.更进一步,如果这样的解存在,则是唯一的,记为u[h,g],当μ1(-h)≥0时,u[h,g]≡0,且满足：

(a)u[h,g]是有下界的

关于方程(14)的正解的存在性和唯一性以及它的向前和拉回渐近行为,记

命题 3.2[3]给定u0∈P{0},方程(14)存在唯一正解,记为θ[γ,a](t,s;u0),对t>s是严格正的,且满足以下条件：

(a)θ[γ,a](t,s;u0)关于γ是增的,且关于a是减的;

(b)γ(t,x)≡γ(x),如果a(t)=a0>0,则‖θ[γ,a0](t,s;u0)-u[γ,a0]‖∞→0,当t→∞或者是当s→-∞时成立;

(c) 如果μ1(-γ)>0,则‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞→0,当t→∞或s→-∞;

(d) 如果μ1(-γ)<0,且a(t)→0,当t→∞时,则

‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞→∞,t→∞;

V(x)≤θ[γ,a](t,s;u0)≤l(t)

对所有的

s≤T(t,u0),

(18)

其中

3.2 解的估计本小节的第一个结果保证了系统(1)的正解的存在性和唯一性,以及提供了一些有用的估计.

定理 3.3给定(u0,v10,v20)∈P{0},系统(1)存在唯一正解,记为(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20)),对t>s是严格正的,且满足：

θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s),a]≤u≤θ[γ,a],

(19)

0≤v1≤ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),

(20)

0≤v2≤ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x).

(21)

证明取

(u,v1,v2)=(θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s),a]，0,0),

ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)).

(22)

由命题3.2的(a)知

由文献[13]的定理8.3.3知,系统(1)的正解存在,唯一性由标准结论可得.

命题 3.4假设γ<μ1,则当t→∞时,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(0,0,0).

证明如果γ<μ1,则μ1(-γ)=μ1-γ>0,又由(19)式及命题3.2的(c)知,当t→∞时,u(t,s;u0,v10,v20)→0,又由(20)和(21)式知:当t→∞时,v1,v2→0.命题得证.

命题 3.5假设当t→∞时,a(t)→0,如果γ>μ1,则当t→∞时,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(∞,0,0).

证明由(20)和(21)式知,当t→∞时,v1,v2→0.又因为γ>μ1,有

γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)>μ1,t≥t1,

因此

μ1(-γ+bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x))<

μ1(-μ1)=0.

所以由命题3.2的(d)知

θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x),a]→∞,

由(19)式知u(t,s;u0,v10,v20)→∞.命题得证.

命题 3.6假设γ<μ1,则当s→-∞时,

(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),

v2(t,s;u0,v10,v20))→(0,0,0).

命题 3.7给定t∈R,γ>μ1,则当s→-∞时,

(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),

v2(t,s;u0,v10,v20))→(θ[γ,a](t,s;u0),0,0).

证明由(20)和(21)式知,当s→-∞时,v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20)→0.给定δ>0,存在sδ满足

v2(t,s;u0,v10，v20)≤δ,s≤sδ,

取u=θ[γ-bv2,a],有

θ[γ-bδ,a]≤θ[γ-bv2,a]=u≤θ[γ,a],s≤sδ, (24)

所以

θ[γ-bδ,a]-θ[γ,a]≤u-θ[γ,a]≤0,s≤sδ. (25)

因此,需要去证明

ωδ:=θ[γ-bδ,a]-θ[γ,a]→0,δ→0,

(26)

不难证明ωδ满足

(ωδ)t-Δωδ=γωδ-bδθ[γ-bδ,a]-

a(t)ωδ(θ[γ-bδ,a]+θ[γ,a]).

(27)

记

qδ(r,s)=

γ-a(r)(θ[γ-bδ,a](r,s;u0)+θ[γ,a](r,s;u0)),

由常数变异公式有

bδθ[γ-bδ,a](r,s;u0))dr.

因为‖e-A(t-r)‖op≤1,得到

‖ωδ(t,s;u0)‖∞≤

由Gronwall引理得到

‖ωδ(t,s;u0)‖∞≤

另一方面,由命题3.2有

‖θ[γ-bδ](t,s;u0)‖∞≤

‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞≤l(t),

对s≤T(t).对一些T(t)和l(t)是独立于δ的,由(28)式取δ→0,则得到(26)式,命题得证.

3.4 拉回吸引子的存在性定义

S(t,s)(u0,v10,v20)=

(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),

v1(t,s;u0,v10,v20))，

其中,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))是系统(1)的唯一正解,u0,v10,v20∈P.X上的范数

|(u,v1,v2)|∞=‖u‖∞+‖v1‖∞+‖v2‖∞.

3.4.1X上的有界吸收集 让I⊂X是有界的,即

由(19)式及命题3.2的(e)知,存在T(t,u0,v10,v20)∈R,满足

‖u(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞≤lγ(t),s≤T(t), (29)

其中

由(20)和(21)式知:

‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x)‖∞≤|ρ1|=l1(t), (30)

‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)‖∞≤|ρ2|=l2(t). (31)

这意味着X上的球有半径

R1(t)=lγ(t)+l1(t)+l2(t),

BX(0,R1(t))是过程S(t,s)的拉回吸收集.

给定I⊂X有界,定义:对t1≥s,

h(t1,s)=γu(t1,s;u0,v10,v20)-

a(t1)u2(t1,s;u0,v10,v20)-

(32)

由常数变异公式得到

u(t,s;u0,v10,v20)=e-A(t-s)u0+

因此,时间从t-1到t时,有

u(t,s;u0,v10,v20)=e-Au(t-1,s;

因此

|u(t,s;u0,v10,v20)|β=

‖Aβu(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖Aβe-A‖op‖u(t-1,s;u0,v10,v20)‖∞+

由估计[16]

‖Aβe-A(t-t1)‖op≤Cβ(t-t1)-βe-δ(t-t1), (33)

由某些常数Cβ,δ>0[16],由估计(29)式知,存在M(t)和T0(t),满足

|u(t,s;u0,v10,v20)|β≤M(t),

对所有的s≤T0(t),β<1-,∈(0,1).又由引理3.8知,有

‖u(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤

|u(t,s;u0,v10,v20)|β≤R1(I,t),

对所有的s≤T0(t).类似地，定义对t1≥s,

h1(t1,s)=

(D+d1)v1(t1,s;u0,v10,v20),

h2(t1,s)=Dv1(t1,s;u0,v10,v20)-

d2v2(t1,s;u0,v10,v20).

(34)

由估计(30)、(31)、(33)式知,存在M1(t)、M2(t)和T0(t)满足对所有的s≤T0(t),β<1-,∈(0,1)有

|v1(t,s;u0,v10,v20)|β≤M1(t),

|v2(t,s;u0,v10,v20)|β≤M2(t).

‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤

|v1(t,s;u0,v10,v20)|β≤R2(I,t),

‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤

|v2(t,s;u0,v10,v20)|β≤R3(I,t).

R1(t)=R1(I,t),R2(t)=R2(I,t),

R3(t)=R3(I,t).

重复上述结论,得到对所有的s≤T1(t),

‖u(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N1(I,t),

‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N2(I,t),

‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N3(I,t).

N1(t)=N1(I,t),

N2(t)=N2(I,t),N3(t)=N3(I,t),

令

N(t)=N1(t)+N2(t)+N3(t),

则B(0,N(t))在X上是紧的.

定理3.9过程S(t,s)存在一个拉回吸引子A(t),特别地,系统(1)至少存在一条完备有界轨线(u*(t),v1*(t),v2*(t)),t∈R.