基于U(1)对称的无限矩阵乘积态张量网络算法提取Luttinger液体参数K*

王秀娟 李生好

1)(重庆大学,输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室,重庆 400044)

2)(重庆工程职业技术学院,重庆 400037)

3)(重庆大学,现代物理中心,重庆 400044)

1 引 言

量子相变[1]是发生在绝对零度由量子涨落所驱动的一种相变.量子相变现象为我们展示了一个丰富的量子世界,目前仍然是凝聚态物理研究领域极为热衷的研究对象.研究量子强关联多体系统的主要数值方法有密度矩阵重整化群的方法(DMRG)[2]、量子蒙特卡罗方法[3]以及张量网络态算法[4—14].DMRG的方法处理一维系统很是成功,但在处理二维晶格系统时还是存在一定的限制.量子蒙特卡罗在处理费米子系统以及带有阻挫的系统时会遇到一个负号问题.而张量网络则不存在这些问题,它既可以处理一维系统也可处理高维系统,而且被认为是目前解决复杂的带阻挫的量子自旋系统的一种强有力的数值模拟方法.把U(1)对称性应用到张量网络态算法中大大优化了程序,提高了计算效率,而且还可以得到具有很大纠缠的系统基态.

纠缠熵是一个量子系统中非局域关联的测量,在研究黑洞、量子计算等问题中起着非常重要的作用.在一维系统中,共形场论和精确对角化已经证实了对于一个临界系统,纠缠熵与系统尺寸存在一个对数函数的标度关系[15,16].实际上,对于一个具有粒子数或自旋守恒的一维临界系统,在一个共性不变的子系统中,涨落的行为类似于纠缠熵,也是系统尺寸的函数并且是对数发散的.其系数就是Luttinger液体参数K,K可以用来描述很多一维系统的低能特征.

本文研究的目的就是利用U(1)对称的无限矩阵乘积态算法(iMPS)提取自旋S=1/2,1,2的各向异性量子XXZD模型的Luttinger液体参数K.二分涨落在临界系统中与系统尺寸存在一个对数函数的标度关系,通过对二分涨落F的拟合并结合有限纠缠标度的临界指数κ,可以提取出无能隙相中的Luttinger液体参数K.自旋S=1/2,D=0的量子XXZD模型在临界相中Luttinger液体参数K是精确可解的[17]K=(π/2)/[π-arccos(Δ)],其中Δ是各向异性参数.本文利用U(1)对称的iMPS的方法提取出的Luttinger液体参数K与精确Luttinger液体参数K的值符合得很好,相对误差小于4%.众所周知,自旋S=1的XXZD模型可以被映射到一个自旋S=1/2的有效XXZ模型在参数D≤-2的区域内.文中计算了在这个区域内参数(Δ=-0.05,D=-5)的Luttinger液体参数K=0.991,精确的Luttinger液体参数K=1,其相对误差小于1%.在参考文献[18]中DMRG在这一点上给出的数值结果是K=0.9976±0.0004.此外,在参数点(Δ=-0.5,D=0)处,文献[18]中,DMRG给出的Luttinger液体参数K=3.086±0.002.在这个参数点上,本文方法给出的Luttinger液体参数K=3.1275与DMRG的结果相对误差小于2%.研究结果表明:当系统具有U(1)对称性时,利用U(1)对称的iMPS的方法可以提取无能隙相中的Luttinger液体参数.本文研究的内容安排如下:第2部分介绍U(1)对称的iMPS算法[13,14];第3部详细介绍如何提取量子XXZD模型在临界区的Luttinger液体参数K;最后部分对本文主要工作进行总结.

2 U(1)对称的iMPS算法

目前,张量网络算法是研究量子多体系统的一种强有力的数值计算方法.本文工作在无限矩阵乘积态(iMPS)算法的基础上把U(1)对称性加到算法中,得到优化的张量网络算法,进一步提高了计算精度,从而得到更高精度的系统基态.下面就以平移两个晶格不变的结构为例说明如何把U(1)对称性应用到iMPS算法中并实现波函数部分的更新,从而得到量子自旋系统的基态波函数[13,14].对于具有平移不变的一维晶格系统,其系统基态波函数可以用几个三阶张量和二阶张量刻画的iMPS表示.系统具有U(1)对称性也就意味着系统的粒子数是守恒的,用n来标记,如图1所示.图1(a)是组成iMPS表示的一个三指标张量Γ(圆圈表示)和奇异值矩阵λ(菱形表示),以及标记每个键上的粒子数n.由于所考虑的系统是平移两个晶格不变的,因此可以用这四个张量λ[0],λ[1],Γ[0]和Γ[1]来表示系统的基态波函数,如图1(b)所示,其中,nl,nr和ns分别标记每个键上的粒子数.每个键上粒子数n的符号是“±”,图中用输入或输出的箭头表示.每个格点张量是U(1)不变的,也就是说保证每个格点上的张量输入的粒子数之和等于输出的粒子数总和.图1(b)中的四个张量就是我们选择更新的最小的一个原包结构,只要更新了这个最小的原包结构,整个iMPS链就被全部更新.

图1 (i)三指标张量 Γ ,奇异值矩阵 λ和粒子数n;(ii)具有 U(1)对称的iMPS表示Fig.1.(a)Three index tensor Γ ,singular value matrixλ and particle number n;(b)An U(1) symmetric iMPS representation.

具体的更新过程如图2所示,由以下几个步骤组成: 图2(a)两点U门作用于具有U(1)对称的iMPS态上; 图2(b)缩并张量以及两点门U,从而得到一个新的张量Θ; 图2(c)对张量Θ进行奇异值分解,得到新的张量图2(d)插入逆矩阵λA,从而还原原来的原胞结构; 图2(e)得到更新的张量以及更新过的粒子数值得注意的是它与之前不加U(1)对称性的iMPS算法的区别在于更新张量的同时,也要一起更新粒子数n.不断地交替作用两点门,重复以上步骤,直到系统的基态能量收敛,便可以得到具有U(1)对称的iMPS表示的系统基态波函数.有了波函数之后,便可以计算想要研究的一些物理量.

图2 更新具有 U(1)对称的MPS的过程(a)把U门作用在具有 U(1)对称的MPS上;(b)吸收U门缩并(a)中的张量使之成为一个两指标张量 Θ;(c)对张量 Θ 进行奇异值分解(SVD),得到新的张量X,Y和 ,同时得到新的粒子数;(d)插入逆矩阵,还原原来的原胞结构;(e)得到更新的张量 ,和 及粒子数Fig.2.The process of update the U(1) symmetric MPS(a)applied gate U on the U(1)symmetric MPS,then contract the tensor network(a)into a single tensor Θ .We compute the singular value decomposition of tensor Θ ,and get the new tensor X,Y和and particle number as in(c).(d)Insert inverse matrix and restore the original tensor structure,we obtain the new tensor , ,and particle number as in(e).

为了验证这个算法,本文研究了不同自旋的量子 X XZD 模型.文中只考虑最近邻两个格点之间有相互作用,其系统哈密顿量写成:

3 利用U(1)对称的iMPS算法提取Luttinger液体参数

本节中讨论如何利用U(1)对称的iMPS算法提取临界区内的Luttinger液体参数K.根据iMPS表示,一个临界的基态,关联长度和系统的截断维数满足如下的标度关系[19,20]

其中κ是有限纠缠标度指数.关联长度被定义为其中λ1和λ2分别是转移矩阵的第一大和第二大本征值.对于一个具有U(1)对称的系统,在临界区另外一个有用的量被参数化就是Luttinger液体参数K.在量子多体系统中利用粒子数守恒二分量子涨落可以被定义为:

其中n是粒子数,λ是二分系统的斯密特分解系数.二分量子涨落类似于纠缠熵,在临界处与系统尺寸χ满足一个对数函数的标度关系[15,16]

本文首先利用U(1)对称的无限矩阵乘积态算法(iMPS)得到在Luttinger液体相中的基态波函数.然后通过二分量子涨落F和有限纠缠标度指数κ的关系提取出Luttinger液体参数K.

3.1 自旋S=1/2的XXZD模型

首先讨论D=0 ,自旋S=1/2 的情况,此时,(1)式中系统的哈密顿量H对应着量子XXZ模型,这个模型的基态相图已被广泛地研究.自旋S=1/2的XXZ模型是精确可解的[21].XXZ模型在各向异性参数Δ=-1 处发生了一个量子相变,其对应着各向异性铁磁海森堡模型; 在各向异性反铁磁点Δ=1 处,系统发生的是一个BKT相变.当各向异性参数Δ在 [-1,1]的区域,系统处于无能隙的XY液体相中,此时,系统的Luttinger液体参数K是精确可解的[17]K=(π/2)/[π-arccos(Δ)].

图3 在不同控制参量条件下,自旋 S=1/2 的XXZD模型的关联长度 ξ和涨落F是截断维数 χ 的函数.其中,参数D=0Fig.3.Correlation length ξ and fluctuation F of spin S=1/2 XXZD model as a function of the truncation dimension χ for various parameters Δ .Here,fixed parameter D=0 .

固定各向异性参数D=0 ,改变各向异性参数Δ在 [ 0,1]的范围内,如图3所示.如图3(左)所示,通过执行拟合函数ξ∼aχκ,分别得到不同参数Δ对应的有限纠缠标度指数κ: 其中(a)a=1.11,κ=1.359 ,参数Δ=0;(b)a=1.206 ,κ=1.316 ,参数Δ=0.25;(c)a=0.9428 ,κ=1.331 ,参数Δ=0.5;(d)a=0.6996 ,κ=1.356 ,参数Δ=0.75;(e)a=0.863 ,κ=1.271 ,参数Δ=1 .然后,根 据粒子数守恒的二分涨落的定义计算出涨落的大小,再通过涨落与系统尺寸之间存在一个对数函数的标度关系执行拟合,如图3所示,拟合函数得到如下的拟合结果:(a)Kκ/(2π2)=0.06878 ,b=0.1259 ,参数Δ=0;(b)Kκ/(2π2)=0.05707,b=0.1296,参数Δ=0.25;(c)Kκ/(2π2)=0.05077,b=0.1193,参数Δ=0.5;(d)Kκ/(2π2)=0.04436,b=0.1114 ,参数Δ=0.75;(e)Kκ/(2π2)=0.03347,b=0.1193 ,参数Δ=1 .由此,可以数值提取出自旋S=1/2 的XXZ模型在临界区内的Luttinger液体参数K,如表1所示.同时,表1也给出了Luttinger液体参数K的精确解以及相对误差.

表1 自旋 S=1/2的 XXZD模型在临界区的Luttinger液体参数K,其中参数D=0Table 1. Estimates for Luttinger liquid parameter K in the critical phase of spin S=1/2 XXZD model with the parameter D=0.

从表1可以看出,我们的计算结果和精确解符合得很好,在参数Δ=1 时,本文得到的结果与精确解的相对误差小于 4 % ,其他参数点得到的结果与精确解相比相对误差均小于 1 % ,这表明用U(1)对称的iMPS算法提取Luttinger液体参数K是可行的.

3.2 自旋S=1的XXZD模型

为了检验这个提取Luttinger液体参数方法的可靠性,研究了自旋S=1 的XXZD模型.自旋S=1的XXZ模型加入单粒子各向异性参数D后,这个模型呈现出了一个丰富的相图[22].其基态相图包含 H aldane 相、l arge-D相、两个XY(XY1,XY2 相、铁磁相和N eel 相.每两个相之间发生了各种类型的相变,如在 H aldane和l arge-D相之间发生的是从有能隙到有能隙的高斯相变;XY相和Haldane 相、l arge-D相之间发生的是有能隙到无能隙的BKT相变等.

在XY2相中,当参数D≤-2时,自旋S=1的XXZD模型可被映射到一个有效的1/2的XXZ自旋链:

其中=4Δ|D|+1 ,是自旋-1/2的算符.我们在XY2相中选取一点(Δ=-0.05,D=-5 ),利用U(1)对称的iMPS的算法提取出了Luttinger液体参数K=0.991 .通过关系式=4Δ|D|+1 ,这个参数点可以被映射到自旋1/2的精确可解的XXZ模型,其对应的参数点就是=0 ,该点处的Luttinger液体参数是K=1 .利用U(1)对称的iMPS的方法得到的Luttinger液体参数K与精确解的相对误差是0.1%.在参考文献[18]中DMRG在这一点上给出的数值结果是K=0.9976±0.0004,我们的计算结果与DMRG数值结果的相对误差小于1%.通过与精确解以及DMRG数值结果的比较,表明我们的计算结果是可靠的.

此外,利用U(1)对称的算法也研究了其他一些参数点的Luttinger液体参数K.图4给出了自旋为1的XXZD模型的关联长度和二分涨落分别对不同的参数D,它们是截断维数χ的函数.在这里,固定参数Δ=-0.5,改变参数D在[—0.3,0.6]范围内,也即是从XY2相到XY1相变化.如图4(左)所示,我们分别执行拟合ξ∼aχκ对不同的参数D,得到κ的拟合结果如下:(a)a=1.173,κ=1.273,参数D=-0.3;(b)a=0.9994,κ=1.321,参数D=0;(c)a=1.106,κ=1.291,参数D=0.3;(d)a=1.095,κ=1.287 ,参数D=0.5;(e)a=1.075,κ=1.287 ,参数D=0.6.图4(右)所示为分别执行拟合对不同的参数D,从而得到的拟合结果:(a)Kκ/(2π2)=0.2171 ,b=0.2609 ,参数D=-0.3;(b)Kκ/(2π2)=0.2093 ,b=0.1787 ,参数D=0;(c)Kκ/(2π2)=0.1755 ,b=0.207 ,参数D=0.3;(d)Kκ/(2π2)=0.1573 ,b=0.2078 ,参数D=0.5;(e)Kκ/(2π2)=0.1483 ,b=0.199 ,参数D=0.6 .结合上面的拟合结果可以得到不同控制参量D对应的Luttinger液体参数K,如表2所示.

图4 在不同控制参量条件下,自旋 S=1 的XXZD模型的关联长度 ξ和涨落F是截断维数 χ 的函数.其中,各向异性参数Δ=-0.5Fig.4.Correlation length ξ and fluctuation F of spin S=1 XXZD model as a function of the truncation dimension χ for various parameters D.Here,fixed anisotropic parameter Δ=-0.5 .

图5 在不同控制参量条件下,自旋 S=2 的XXZD模型的关联长度 ξ和涨落F是截断维数 χ 的函数.其中,参数D=1.5Fig.5.Correlation length ξ and fluctuation F of spin S=2 XXZD model as a function of the truncation dimension χ for various parameters Δ .Here,fixed parameter D=1.5 .

表2 自旋 S=1 的XXZD模型在临界区的Luttinger液体参数K,固定参数Δ=-0.5Table 2. Estimates for Luttinger liquid parameter K in the critical phase of spin S=1 XXZD model with the parameter Δ=-0.5 .

表2给出的结果是在参数D＞-2 的区域,这个区域内的参数点不能够被映射到自旋1/2的XXZ模型,其对应的Luttinger液体参数K也就没有精确解.文献[18]中,DMRG给出的Luttinger液体参数K=3.086±0.002 在参数点(Δ=-0.5 ,D=0 )处,其中DMRG方法保存了 4 00 个态.在这个参数点上,表2给出的Luttinger液体参数K的结果与DMRG数值结果的相对误差小于 2% .通过对参数点(Δ=-0.05 ,D=-5 )和(Δ=-0.5 ,D=0),得到的数值结果分别与精确解和DMRG数值结果进行对比,相对误差均小于 2 % .从而表明利用U(1)对 称的iMPS的方法提取自旋S=1 的XXZD模型在其他参数点处的Luttinger液体参数K的结果也是可靠的.此外,由表2也可以看出在此临界区内随着参数D的增加,Luttinger液体参数K是逐渐减小的.

3.3 自旋S=2的XXZD模型

此外,我们还研究了S=2 的量子XXZD自旋链.对于自旋S=2 的量子XXZD模型,目前还很少被研究,整个参数下的基态相图还不是很清楚.文献 [23]基于 DMRG的算法给出了Δ≥0和D≥0 参数下的基态相图.其基态相图包括:XY相、e ven-Haldane 相和反铁磁相.图5分别给出了不同控制参量下自旋为2的XXZD模型的关联长度和二分涨落,它们是截断维数χ的函数.其中固定参数D=1.5 ,在XY相中改变参数Δ.图5(左)给出了关联长度与截断维数χ之间的关系.根据关联函数的拟合方程ξ∼aχκ,得到不同参数Δ对应的有限纠缠标度指数κ的数值结果分别是:(a)a=0.6438,κ=1.298 ,参数Δ=0.4;(b)a=0.6199 ,κ=1.277 ,参数Δ=0.8;(c)a=0.5916,κ=1.273 ,参数Δ=1;(d)a=0.5316 ,κ=1.286 ,参数Δ=1.2;(e)a=0.458 ,κ=1.284 ,参数Δ=1.6 .图5(右)分别给出不同控制参量Δ对应的二分涨落与截断维数之间的关系.二分涨落类似于纠缠熵在临界处与截断维数有一个对数函数的标度关系F∼通过这个标度关系得到数值拟合结果 是:(a)Kκ/(2π2)=0.1771 ,b=0.2 ,参数Δ=0.4;(b)Kκ/(2π2)=0.1632 ,b=0.2126 ,参数Δ=0.8;(c)Kκ/(2π2)=0.1554 ,b=0.2261 ,参数Δ=1;(d)Kκ/(2π2)=0.1534,b=0.2202,参数Δ=1.2;(e)Kκ/(2π2)=0.1373,b=0.2571,参数Δ=1.6 .由此,得到自旋S=2 的 XXZD模型在XY相中的Luttinger液体参数K,如表3所示.

表3 自旋S=2的XXZD模型在临界区的Luttinger液体参数K,固定参数D=1.5Table 3. Estimates for Luttinger liquid parameter K in the critical phase of spin S=2 XXZD model with the parameter D=1.5 .

前面已利用U(1)对称的iMPS的方法提取了自旋S=1/2和S=1 的 XXZD模型的 Luttinger液体参数K,并且将所得结果分别与精确结果和现有DMRG结果进行了比较,其相对误差均小于 4% .这充分说明了利用U(1)对称的iMPS的方法提取Luttinger液体参数K是可行的.因此,利用此方法提取出的Luttinger液体参数K如表3所示的结果是可靠的.

本文对各向异性量子XXZD模型的研究表明:当系统具有U(1)对 称性时,利用U(1)对称的iMPS的方法可以准确提取出无能隙相中的Luttinger液体参数K.

4 总 结

本文将U(1)对称性应用到iMPS的算法中,优化了之前的张量网络算法,提高了计算效率,并根据粒子数守恒定义了二分量子涨落.二分量子涨落在临界点处有类似于纠缠熵的标度行为,与系统尺寸有对数函数的标度关系,其拟合系数是Luttinger液体参数K与有限纠缠标度指数κ的乘积.为了提取Luttinger液体参数K我们分别研究了S=1/2,1,2 的量子XXZD自旋链.首先,利用U(1)对称的无限矩阵乘积态算法(iMPS)得到在Luttinger液体相中的基态波函数.其次,利用关联长度与截断维数的关系以及二分涨落与截断维数的关系提取出了各向异性XXZD自旋链在临界区域内的Luttinger液体参数K.对于自旋S=1/2的情况,固定参数D=0 ,此时考虑的系统对应着XXZ模型.在XY相中Luttinger液体参数是精确可解的,提取出的数值结果与精确解符合得很好,相对误差小于 4 % .对于自旋S=1 的情况,量子XXZD模型具有一个丰富的基态相图.X Y 相包含XY1和X Y2 相,在 X Y2 相中,当D≤-2 时,这个模型可以被映射到一个自旋1/2的XXZ自旋链.本文计算了参数点(Δ=-0.05,D=-5 )处的Luttinger液体参数K=0.991 .把这个点映射到自旋1/2的XXZ模型其对应的精确Luttinger液体参数K=1 ,而DMRG方法给出的结果是K=0.9976±0.0004.在这个参数点上计算的结果分别与精确解和DMRG的结果进行了比较,相对误差均小于 1 % .在参数点(Δ=-0.5,D=0 )处,得到的结果和DMRG的结果相比相对误差小于 2% .此外,固定参数Δ=-0.5 ,改变参数D,计算了在XY相中的其他一些点的Luttinger液体参数K.最后,还计算了自旋为S=2 的量子XXZD模型在一定参数下对应的Luttinger液体参数K.研究结果表明: 当系统具有U(1)对 称性时,利用U(1)对称的iMPS的方法可以提取无能隙相中的Luttinger液体参数K,这为提取Luttinger液体参数K提供一种新的思路和研究方法.