二维板条梁模型水弹性计算

薛继阳 熊鳌魁 桑腾蛟

(武汉理工大学交通学院 武汉 430063)

0 引 言

超大型浮体大尺度、小刚度的特点，导致结构在外载荷的作用下的弹性变形比较重要.相对于传统将结构物作为刚体计算结构物的运动就不能很好的预测超大型浮体结构的变形，必须在考虑结构物刚体运动的同时考虑到结构的弹性体变形.关于超大型浮体结构的变形计算的两种思路：①利用模态叠加法，即将弹性体的变形位移由很多运动模态叠加而成，然后分别计算各个模态所对应的水动力，最终带入运动方程求解位移；②直接将结构位移进行离散处理，将结构的振动方程作为边界条件进行求解.而对于流场的计算，同样存在格林函数和特征函数匹配两种方法.其中格林函数法是在边界上分布满足控制方程的格林函数，通过满足相应的边界条件求解边界上分布格林函数的源强求解速度势.而特征函数则是通过匹配其他边界条件求解级数系数从而得到速度势.

Newman[1]对模态叠加法求解水弹性问题进行了详细的叙述.Chong等[2]则利用模态叠加法对考虑吃水的平板，并且入射波带有一定的入射角的水弹性问题进行了具体分析.Kim等[3]则对利用特征函数匹配方法求解水弹性问题进行了相应研究.Wu等[4]同样采用模特叠加方法，其中采用了边界元积分方法去求解散射势和辐射势,Ohmatsu[5]利用板的振动方程导出来修改后的自由表面边界条件，导出新的色散关系，类比与光学中的折射定律导出了结构弹性波波幅的传递函数，随后进一步对时域、拖曳情形(存在一定的航速)、装配组合情形，以及超大型浮体系泊风险分析进行了进一步的讨论.金晶哲等[6]比较了求解水弹性问题的模态展开法及特征函数展开法，表明两种方法基本上可以比较准确地预报浮体结构的挠曲变形，模态函数展开方法与试验结果吻合得略好，特征函数展开方法在某些波长下给出的预报结果与试验数据还有一定的差距.闫红梅[7]根据文献[8]提出的一种矩形平板的挠度函数进行超大型浮式结构物在波浪中的水弹性响应分析,提出了一种满足板振动方程的平板格林函数，将平板的位移用压力分布函数与平板格林函数表示，而根据伯努利公式将压力表达成速度势的函数，即可求解流场的速度势.

1 基本理论

对于大型浮体在线性波浪下的水弹性问题，由于其水平尺度比较大.故将其简化成平面问题考虑，见图1.其中入射区及透射区均存在级数解.假定流体为理想无旋流体，中间计算域速度势满足Laplace方程，而计算域与入射区和透射区的边界1和边界2均满足速度势及法向速度连续，边界3即底面边界条件，满足物面不可穿透边界条件，而边界4即为两端自由的梁，满足梁的振动方程，同时满足速度连续.根据控制方程以及边界条件即可对中间计算域的流场进行求解.

图1 计算模型图

入射区的速度势函数为

(1)

式中：H为波高；ω为波浪圆频率；g为重力加速度；k为波数；d为水深；a为平板半长；Ap,Kp为相应的常数.

速度势对于x的偏导为

(2)

设定计算域的速度势函数为Φ，则在边界1满足速度势及速度势法向导数连续.

(3)

利用速度势特征函数的正交性，得到边界1上的边界条件为

(4)

(5)

透射区域速度势级数解为

(6)

在边界2上仍然满足速度势以及速度势法向导数连续，处理方式与边界1类似，得到边界2上的边界条件为

(7)

(8)

边界3为水底满足物面不可穿透边界条件，即在边界3上有

(9)

边界4忽略了板的吃水，将其简化为两端自由的梁，满足梁的振动方程

(10)

式中:E为材料的弹性模量；I为梁截面的惯性矩；S为截面面积；ρ为材料密度；P为梁上的作用压力.并且满足梁两端偏移量的两阶导和三阶导等于0，物理含义为自由梁两端的力矩以及剪力为0.

2 数值方法

建立起控制方程和边界条件之后，即建立离散模型对方程进行求解.首先对计算域离散划分为相应的四边形网格，见图2.

图2 中心网格离散

(11)

得对于计算域中心的每个节点都有对应的方程，但对于边界上的节点无法提供方程，必须利用相应的边界条件补充方程使得方程组封闭得以求解.这里采用的方法是将边界上的节点再外推一排，则原始边界上的节点即可利用控制方程给出相应的离散方程，而新增加的节点必须利用边界条件给出新的方程.

对于边界1，该边界条件为第三类边界条件，见图3.

图3 边界1离散

对于梯形积分两端的端点值取一半：即有A11=ikcosh (k(z1+d))·dz/2，B11=cosh (k(z1+d))·dz/2；A1N=ikcosh (k(zN+d))·dz/2，B1N=cosh (k(zN+d))·dz/2.

对于速度势偏导采用的中心差分格式即：Φxi2=(Φi3-Φi1)/2dx.

对于式(5)是一个齐次方程，即当j>1，bj=0.且有：Api=kpcos (kp(zi+d))dz，Bpi=-cos (kp(zi+d))dz；Ap1=kpcos (k(z1+d))·dz/2，Bp1=-cos (kp(z1+d))dz/2；ApN=kpcos (k(zN+d))·dz/2，BpN=-cos (kp(zN+d))dz/2.

边界2的处理方式与此类似，这里不在详述.

对于边界3和边界4的处理方式比较类似，不同的边界3上的法向速度为0，而边界4上的法向速度由梁的振动解指定.采用的方式任然是采用外推一排节点，见图4.

图4 边界3离散

由此可以提供边界3上的M个方程.

3 模型验证

图5 固壁受力级数解与计算结果对比

同样参数下对应平板作升沉运动时的辐射力见图6.

图6 辐射力级数解与计算值对比

由图5～6可知，通过差分匹配边界条件求解场方程得到的结果与相应的级数解十分接近，证明了该方法的可靠性，下面即用此来研究平面梁板模型的水弹性行为.

4 梁板模型水弹性计算结果

图7 不同波长板长比下板梁模型位移与三维实验值比较

5 结 束 语

文中将超大型浮体结构的水弹性问题忽略吃水之后将其简化为两端自由的板条梁的水弹性问题，由于未考虑试验室一侧的牵引以及忽略了吃水导致计算结果一侧与试验有一定的差别，但是另一端自由端的计算结果与实验值比较一致.并且在波长板长比在比较大的情况下结果与试验比较一致.