“新定义”问题的解题策略

2019-08-27魏绮芸

课程教育研究 2019年32期

关键词：集合数列向量

魏绮芸

【摘要】新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，对于高中生来说，是必需掌握，但又不易掌握的一类题型。

【关键词】新定义集合函数向量数列

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）32-0136-01

一、集合中的新定义问题

例1 设U={1，2，3}，M，N是U的子集，若M∩N={1，3}，则称（M，N）为一个“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”的个数（规定（M，N）与（N，M）不同）为____。

解析：符合条件的理想配集有①M={1，3}，N={1，3}；②M={1，3}，N={1，2，3}；③M={1，2，3}，N={1，3}.共3个。

点评：解决集合中新定义问题的两个关键点

（1）紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中。

（2）用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质。

二、新定义下的函数问题

例2（2017·山东卷）若函数exf（x）（e=2.718 28…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质。下列函数中所有具有M性质的函数的序号为____。

①f（x）=2-x ②f（x）=3-x ③f（x）=x3 ④f（x）=x2+2

解析：对于①，f（x）的定义域为（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·2-x=（）x，∵函数y=（）x在（-∞，+∞）上单调递增，∴①符合题意。

对于②，f（x）的定义域为（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·3-x=（）x， ∵函数y=（）x在（-∞，+∞）上单调递减，∴②不符合题意。

对于③，f（x）的定义域为（-∞，+∞），ex·f（x）=ex·x3，令y=ex·x3，则y′=（ex·x3）′=ex·x2（x+3），当x∈（-∞，-3）时，y′<0，函数y=ex·f（x）单调递减，故③不符合题意。

对于④，f（x）的定义域为（-∞，+∞），ex·f（x）=ex（x2+2），令y=ex（x2+2），则y′=[ex（x2+2）]′=ex（x2+2x+2）>0，∴函数y=ex（x2+2）在（-∞，+∞）上单调递增，∴④符合題意。

∴符合题意的为①④。

点评：（1）解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解。如本例通过对M函数的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件。

（2）函数新定义问题主要包括两类：一是概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素（定义域、对应法则、值域）作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；二是性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等有关性质的延伸，旨在考查考生灵活应用函数性质的能力。

三、新定义下的平面向量问题

例3 定义平面向量的一种运算a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a，b〉，其中〈a，b〉是a与b 的夹角，给出下列命题：

①若〈a，b〉=90°，则a⊙b=a2+b2；

②若|a|=|b|，则（a+b）⊙（a-b）=4a·b；

③若|a|=|b|，则a⊙b≤2|a|2；

④若a=（1，2），b=（-2，2），则（a+b）⊙b= 。

其中真命题的序号是____。

解析： ①中，因为〈a，b〉=90°，则a⊙b=|a+b|×|a-b|=a2+b2，所以①成立；

②中，因为|a|=|b|，所以〈（a+b），（a-b）〉=90°，所以（a+b）⊙（a-b）=|2a|×|2b|=4|a||b|，所以②不成立。

③中，因为|a|=|b|，所以a⊙b=|a+b|×|a-b|×sin〈a，b〉≤ |a+b|×|a-b|≤ =2|a|2，所以③成立。

④中，因为a=（1，2），b=（-2，2），所以a+b=（-1，4），sin〈a+b，b〉= ，所以（a+b）⊙b=3 × × = ，所以④不成立。

点评：本例是新定义下平面向量的运算，解答本题关键是把此定义运算转化为我们所学的平面向量数量积运算，命题便可判断。