在数学教学中培养学生的创新思维

杨瑞科

摘 要：数学教学蕴含丰富的创新教育素材，数学教师要根据数学教学的规律和特点，认真研究、积极探索培养和训练学生创新思维的原则、方法。文章结合作者教学实际，从重视情感培养，优化创新心理;重视引导探索，激励创新意识;重视解题教学，发展创新思维;重视问题提出，扶持创新行为四个方面进行探索。

关键词：品质;创新;求异

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2019-03-22 文章编号：1674-120X（2019）19-0048-04

一、激活潜能，培养学生的思维品质

学生学习的潜能是巨大的，开发学生的潜能是教育的重要目标和责任。要激活学生的潜能，首先必须培养学生良好的思维品质，学生的思维品质包括思维的广阔性、批判性、深刻性、灵活性等。

（一）在解题教学中，注意题目解答的多变性，培养学生思维的广阔性

思维的广阔性是指思维活动作用范围广泛和全面的程度。它表现为思路开阔，能全面地分析问题，多方向地思考问题，多角度地研究问题。

在解题教学中，不能就题论题，讲完了事，而是要通过对典型题目的一题多变和多题归一的讲评达到让学生举一反三、融会贯通的目的，以培养学生思维的广阔性。

以上三个命题形式不同，实质一样。这种题目等价性的变换，不但可沟通知识间的相互联系，起到触类旁通的作用，更重要的是通过采用这种多向思维的训练，培养了学生思维的广阔性。

（二）在解题教学中，通过讲评题目的科学性，培养学生思维的批判性

思维的批判性是指思维活动中独立分析和批判的程度。它表现为善于独立思考，善于提出问题，能够及时发现错误、纠正错误。

在解题教学中，教师有意识地布置一些错例，引导学生通过辨析提出问题，不但有助于学生掌握题目的科学性标准，形成了严谨的科学治学态度，而且有助于培养学生思维的批判性。

例2：一个正三棱台的下底面和上底面周长分别为30cm和12cm，侧面积等于两底面积之差，求斜高。（1987年全国高考理科数学第二大题第7小题）

解：设斜高为h，根据已知条件得：

讲评：虽然上述解答无可非议，但题目却是一个错题。事实上，题中的说的“侧面积等于两底面积之差”的三棱台根本就不存在。因为我们可以证明：棱台的侧面积大于两底面积之差。

一个不具科学性的题，只要教师处理得当，并及时讲评，能获得良好的教学效果。

（三）注意克服学生思维的惰性状态，培养思维的深刻性

我们经常会发现有部分学生满足于一知半解，对概念不求甚解;做练习时，照葫芦画瓢，不去领会解题方法的实质。这反映出学生在思维上的惰性。这种惰性不能简单地归结为学习态度问题。学生往往认为一些定理、公式是天经地义的“法规”，根本不去思考它是否在一切情况下都对，还是在某种情况下才对，忽略了考虑全局与局部的关系。

克服学生思维的惰性，主要是克服学生思维的表面性与绝对化。培养学生思维的深刻性，主要是培养学生在学习过程中不迷恋于事物的表面现象，引导学生自觉地思考事物的本质方面，学会全面地认识事物，而不被假象所迷惑。

在教学过程中，可用以下三条途径：

（1）通过对比辨异，加深学生对概念的理解。有很多概念既有联系又有区别，学生很容易混淆，产生错觉，不能明确概念的本质。教师应当随时运用对比辨异的教学手段帮助学生深刻理解数学概念。

例3：下列几个例子供学生鉴别：

正数与非负数。

锐角与第一象限的角。

直线的倾角、极坐标中的极角、复数的辐角和辐角的主值。

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角。

（2）注意变式教学，使学生加深理解解题方法的本质。在教学过程中，我常用变式教学的手段，揭示解题方法的本质与核心，使学生得到深刻的印象。

例4：四个数，前三个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19。求这四个数。

解：可设四个数为b-d，b，b+d，，很快可得b=4，化解一元二次方程。在讨论解题方法的基础上，作如下局部改动：

在原题中，将“它们的和为19”改为“它们的积为27”;

在原题中，将“它们的和为12”改为“它们的积为6”，“它们的和为19”改为“它们的积为27”;

将原题改为：五个数，前四个数成等差数列，它们的和为12，后三个数成等比数列，它们的和为19。求这五个数。

改动的目的是让学生掌握把数列问题转化为解方程的问题，而关键是如何选择未知量，力求减少未知量，简化方程。

（3）要求学生认真审题。在解题过程中，要教育学生认真、仔细地审题。

例5：已知方程x2+x+p=0的两个虚根为x1、x2，且|x1-x2|=3。求实数p的值。

在审题过程中，有一部分学生由|x1-x2|=3得x1-x2=±3或|x1-x2|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，利用韦达定理，得p=-2，从而造成原则性的错误。几乎每一届学生都产生这种错误，其根本原因是不能识别实数的绝对值与虚数的绝对值。对这样的错误，通常是让学生自己反思：如果p=-2，方程的根是什么？矛盾在哪里？在反思中，寻找错误的原因。

（四）在教学中，通过讲评题目解答的多样性，培养学生思维的灵活性

思维的灵活性是指思维活动的灵活程度。它表现为对知识的运用自如。由于思维定式产生的负效应，学生解题有时往往墨守成规，缺乏灵活性。

例6：≥x+11-a的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a的值。

学生一般思路是先求出原不等式的解集（这对一般学生來说并非一件容易的事），然后根据题设条件求出a。

讲评：学生由于受思维定式的影响，产生以上思路是情理之中的。但我针对这种情况及时讲评，启发学生改变思路，以让学生找到较佳的解题途径。

另外，还可以想方设法为学生提供联想的机会启发学生多角度思考同一问题;在教学中通过广泛提问，加快学生思维的节奏;利用变式教学，不断锻炼学生随机应变的思考能力，这样可以不断培养学生思维的灵活性。

二、创设“问题情境”，培养学生的创新意识

创新意识是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心.不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。

（一）培养学生的创新意识，教师的教学观念必须转变

教师应有扎实的基本功、广博的专业知识，具有驾驭全局、随机应变的能力;具有开展数学活动的能力，创设“问题情境”的能力。

培养学生的创新意识，主要依据下面三个途径：问题教学，变式教学，研究性学习。“问题是数学的心脏。”课堂教学中，教师要注重问题的教学，以问促思、以问促变、以问促创新意识的培养。在教学过程中，教师应特别鼓励学生提出问题，并解决问题，以让学生获得喜悦、自信，从而对数学学习充满兴趣，培养创新意识。好的问题应充分体现必要性和实用性，能激发认知需求，好的问题能诱导积极探索，促进知识的深化;好的问题往往是新知识的生长点、内在联系的交叉点，更是创新思维的启动点;好的问题能促进学生展开积极的活动（包括操作性活动和思考性活动及实践性活动），从而获得主动地发现机会。

（二）教学中注重例题的选择及其变式，培养学生的创新意识

教师对教学中的例题的设计和选择，要有针对性;并对学生进行一题多解的训练，同时引导学生对原理进行广泛的变换和延伸，尽可能延伸出更多相关性、相似性、相反性的新问题，进一步发展学生的创造性思维。

例7：关于x的方程x-t=有解，试求实数t的取值范围。对这样的问题，教师首先要求学生进行不同的解法，让学生思考，然后再进行变题，促进学生的创新思维发展。

解法1：将方程转化为2x2-2tx-1=0在[t，+∞）上有解，借用二次函数当自变量取定义域上的一个子集时，其值域的求解问题模型来解决;

解法2：将方程变为t=x-，问题归结为求函数y=x-的值域，采用三角换元的方法，易求得答案;

解法3：令y1=x-t，y2=，则问题等价转化为两个函数图像有交点时t的取值范围，通过数形结合可求得答案。 解法的多样性，能促进学生的思维的灵活性，但还需对例题条件、结论进行变式、延伸。比如，将上例进行变式，提出新的问题，只有这样才能培养学生的创新意识。

变题1：关于x的方程x-t=无解（1解，2解……），试求实数t的取值范围。

变题2：若关于x的方程cosx-sinx+a=0  在[0，π]上有解，试求实数a的取值范围。

变题3：若直线y=x-t与y=有交点，试求实数t的取值范围。

变题4：若关于x的不等式x-t≤恒有解，试求实数t的取值范围。

变题5：已知实数x，y满足y=，求：①x+y的取值范围;②x2y2+2x+2y的取值范围。

（三）巧用信息技术，培养学生的创新思维

教育的发展在一定程度上取决于教育技术的进步。随着信息技术的发展和计算机的普及，使用计算机多媒体辅助教学是提升课堂教学效率、培养学生的创新能力的一条有效途径。在数学教学过程中，教师应充分利用多媒体教学，诱导学生主动思维。主动性是创新思维的一个主要特征，是创新思维的基础和前提，对青少年来说，主动性表现为强烈的好奇心、求知欲、质疑、浓厚的兴趣等。而信息技术的多媒化——文字、声音、图像、视频、动画等形象逼真、生动新颖，为学生提供了强烈的外部刺激。正是这种情景的新颖性和感受性，使学生产生一积极的心理体验，并迅速转化为求知欲望，转化为进入创造学习的主动性。

我从几年的教学实践体会到：动态的电脑演示不仅能辅助学生理解一些数学概念，更能激发他们的学习兴趣，丰富的图形变换、趣味性的动画演示，常使他们尝试到创造的快乐。选取恰当的应用软件，常常能点石成金，如几何画板。在几何教学中，直观教学尤为重要。在教学三角形、平行四边形、长方形、正方形等图形的内在联系时，教师可以通过Flash软件设计一个动态的图形演变，把不易看清的地方用平移、延伸、展开、旋转、闪烁等方法显示出来;利用计算机对模拟图形的拆选、剪拼等动作进行演示，使学生形成具体的、印象深刻的动态感知，在动感中产生强烈的好奇心，从而主动参与学习。

三、探索问题的非常规解法，培养思维的创造性

培养学生的想象力和创造精神是实施创新教育中最为重要的一步。教师要启迪学生创造性地“学”，标新立异，打破常规，克服思维定式的干扰，善于找出新规律，运用新方法;要激发学生大胆探讨问题，增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性。教学中的切入点很多：

本题若用常规解法会很烦琐，教学时我由浅入深，引导学生从一个基本等式-=的正用和逆用入手，点拨学生采用“通分法”与“拆项法”来解。上述基本等式的逆用，训练了学生的逆向思维，又展现了一种重要的数学方法：拆項法。

当用常规方法不能解决问题时，教师应让学生及时改变思路，另选突破口，切忌在原方法上徘徊。否则难以使思维发生质的飞跃，也不利于创造性思维的培养。

题目的新颖解法源于观察分析题目的特点，以及对隐含条件的挖掘。因此，教师应从开发智能、培养能力这一目标着眼，有意识地引导学生进行联想和拓展，平时在教学中注意总结解题规律，从而逐步培养学生的创新意识。

四、开拓思路，诱发思维的发散性

徐利治教授曾指出：创造能力=知识量×发散思维能力。思维的发散性，表现在思维过程中，不受一定解题模式的束缚，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维形式。发散思维具有多变性、开放性的特点，是创造性思维的核心。

在教学中，教师的“导”需精心创设问题情境，组织学生进行生动有趣的“活动”，留给学生想象和思维的“空间”，充分揭示获取知识的思维过程，使学生在过程中“学会”并“会学”，优化学生的思维品质，从而得到主体的智力发展。教师只要细心大胆挖掘，这样的结合点随处可见。

此题求解的范围、想象的空间是广阔的，思维是开放的。让学生在求解过程中求新、求速度、求最佳，通过不断思考，互相启发，多数学生能找出7～10个结论，然后教师诱导学生从边、角、相似及三角函数关系等方面归纳出至少15种结论：

这类题具有很强的严密性和发散性，通过训练，能够把学生的思维引到一个广阔的空间，培养学生思维的广度和深度。这类题的题设与结论不匹配，需要周密思考，恰当运用数学知识发挥、探索、推断，可得到多个结果。此类题往往称为“开放型”试题。开放型问题设计是数学教学的一种形式、一种教学观，是一种创设问题情境的意识和做法，具有很好的导向性，是今后出题的一种趋势。

五、创新多变，探索思维的求异性

求异思维是指在同一问题中，敢于质疑，产生各种不同于一般的思维形式，它是一种创造性的思维活动。在教学中，教师要诱发学生借助求异思维，从不同的方位探索问题的多种思路。

学起于思，思源于疑，疑则诱发创新。教师要创设求异的情境，鼓励学生多思、多问、多变，训练学生勇于质疑，在探索和求异中有所发现和创新。数学教学中，发展创造性思维能力是能力培养的核心，而逆向思维、发散思维和求异思维是创新学习所必备的思维能力。数学教学要让学生逐步树立创新意识，独立思考，这应成为以后教与学的着力点。

在数学教学中如何培养学生的创新思维，是一项复杂而系统的工程，它需要教育部门的正确指导，更需要教师的创新意识。特别是农村中小学面临教育质量的评价及升学率的压力，它确实制约着学生创新思维的开发，这是我们必须面对的问题，也是教育部门，甚至全社会需要共同努力的。

参考文献：

[1]喻俊鹏.创新教育对数学教师能力的要求[J].中学数学教学参考，2000（12）：32-34.

[2]张黎庆.浅谈例题类型设计[J].中学数学，2000（10）：5-7.