基于小波分析的铁路车辆轮对纵向非稳态振动研究

陶伟文，刘 韦，罗跟东，卜继玲，刘振光

(1.株洲时代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007；2.无锡地铁集团有限公司，江苏 无锡 214023)

在铁路机车车辆动力学研究中，通常假设车辆匀速行驶在匀质的轨道上，因此在传统的车辆动力学研究中轮对振动可以认为是属于平稳随机振动过程[1]。但实际工程中，除了在恒定工况下和不变环境下运行的机械部件的振动是稳态的，其余机械系统的振动几乎都属于非稳态。事实上，轮对的振动具有高度非稳态的振动特点，出现以下3种情况时轮对的振动将不能当作平稳随机振动来处理，例如：

（1）由于钢轨存在接头、裂纹、三角坑及磨损等空间轨面非均质不平顺时，轮轨系统的时域激励将变为非稳态随机过程；

（2）当车辆加速或减速运行时，即使轨面不平顺频为均质的，由车辆变速运行所产生的轮轨激励也是非稳态随机过程；

（3）系统的刚度或阻尼等参数为时变参数[2]。这时振动信号的结构，包括频谱都随时间变动，它们都属于非稳态振动信号，在稳态情况下本来不容易显现出来的现象在变速或变工况情况下可以得到充分的显现[3]。因此，针对以上情况，采用传统的稳态频域分析方法无法获知轮对的振动特点。实际工程中，机车车辆自身的振动特性和激励特性具有时变的特点，因此振动响应可能是非平稳的，其统计量（如相关函数、功率谱等）是时变函数。对于非平稳信号，时域中各统计量会随时间发生变化，进而使其失去统计意义；而在频域中其频谱结构也会随时间变化，进而导致谱值也失去意义。

因此，为了分析非平稳信号的特征，需要使用时频联合函数来表征振动信号。该方法认为非平稳信号在全局是非平稳的，而在局部域内则是平稳的，它克服了传统的傅立叶变换不能反映非平稳信号的统计量随时间变化这一缺陷。就分析方法而言，平稳信号可用单一的时间轴或频率轴进行一维表示，但非平稳信号则需用时间-频率或时间-尺度平面进行二维表示；平稳信号采用的是全局变换，而非平稳信号则采用局部变换。小波变换是非平稳信号时频分析方法中的一种，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，其时频窗口大小固定不变，但形状可以改变，即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，而在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。该特征很适合提取信号的局部特征，因此小波变换具有振动信号分析显微镜的称号。Priestley[4]从理论和工程实际应用角度研究了非稳态随机振动过程的功率谱密度函数问题，Ruzzene[5]应用连续小波变换提取瞬态激励下系统的模态参数。基于连续小波变换，Staszewski[6]提出了非线性系统的参数识别方法，Ta[7]将该方法进行了进一步扩展。Spanos[8]基于统计线性化方法的谐波小波方法研究了随机激励下非线性系统的响应问题，并给出了其演化谱。Basu[9]采用基于小波变换的随机振动方法进行了摩擦基础的地震分析，将基础的振动模拟为非稳态振动过程。Hou[11]使用小波分析方法对结构损伤及健康监测问题进行了研究。Wang[12]使用连续小波变换估计非稳态系统的时变频率。小波变换以其对振动信号较高的自适应性，非常适合于分析机车车辆轮对的非稳态振动特性。因此，本文主要基于小波变化法研究车辆在运行过程中轮对的非稳态振动问题。

1 车辆系统非稳态振动特点及分析方法介绍

在对铁路机车车辆进行动力学分析时，需要充分掌握研究对象的振动特点才能对其存在的问题做出准确判断。但对于很多振动信号我们却无法在时域分析中找出其振动特征，而且在频域分析中也无法找出其全部特征信息。因此，如果明确了机车车辆的自身振动特性、激励特性与机车车辆速度的关系，在分析中引入速度参量（即时间参量），就可以从时频域中获得更多的机车车辆振动特征。

轨道激励主要表现为随机不平顺，用轨道谱来表征，如果考虑车轮的某些缺陷，如周期性车轮不圆顺，轮轨激励中就会出现周期激励成分。轨道谱是基于轨道的几何形态，因此对其研究主要集中在空间域。但对于分析铁路机车车辆系统的振动响应而言，轮轨激励还与运行速度密切相关，因此需要将空间频域下的轨道谱转换成时间频域内的激励功率谱,时域内的轮轨激励谱是车辆运行速度的函数。设y为轨道不平顺几何幅值，x为空间距离，v为车辆速度，t为时间，f为空间距离与轨道几何不平顺间的函数关系，则有

一般来说，车辆自身振动就是车辆各个固有振动模态振动，除了与轮对振动相关的模态之外，它们不随车辆速度变化而变化。传统的振动分析都假设振动系统是时不变系统,但是，在许多实际工程中，振动系统却是时变的，比如转向架的蛇行振动模态、系统的质量、刚度或阻尼具有时变特性时。因此，用于线性时不变系统中的振动及模态分析不适合分析时变系统的振动问题，变化的质量或刚度会引起系统固有频率及模态的变化，变化的速度会使轮对相关的振动模态发生改变，而传统的使用傅立叶变换的频率响应分析无法准确分析时变振动系统振动问题。但基于小波分析的时频分析方法却可以很好捕捉到非稳态振动系统的参数变化，很适合分析车辆系统的非稳态振动问题。小波分析的基本原理如下：

对于离散小波分析来说，其可以实现振动信号f(t)的多分辨率分析

其中：l和k分别为尺度和平移参数，*代表复共轭算子。v和w分别是尺度函数φ(t)和基本小波函数ψ(t)的近似函数和小波系数。从以上两式可以看出，离散小波变换通过将振动信号f(t)分解为低频近似函数和不同频带的高频细节函数来实现多分辨率时频分析。

对于连续小波分析来说，假设存在一个基本小波（或母小波），它是一个均值为零的平方可积函数

式（4）的规范化范数| |ψ(t)=1，且能量集中在以t=0为中心的邻域内。对Ψ(t)伸缩a，平移b，可得到一族小波函数

这族函数仍然有规范化的范数| |ψa,b(t)=1。尺度因子a的作用是将基本小波做伸缩，a越大，Ψ(t/a)就越宽；时间因子b的作用是将基本小波在时间轴上进行平移。通过对尺度因子a和时间因子b的调节可以实现小波变换多分辨率的功能，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。

从以上对离散小波和连续小波特点的分析可以看出，小波分析方法具有很好的信号局部处理能力，可以准确捕捉到非稳态振动的振动特征。

2 一系定位刚度变化引起的轮对纵向非稳态振动问题

在机车车辆长期运行过程中，轮对定位内部结构难免会出现磨损、老化的现象，悬挂参数也会发生变化，再加上生产安装过程中难免会出现误差等等，会对轮对振动产生一定程度影响。本小节主要研究当一系定位刚度为时变参数时轮对的纵向振动特点。

小蠕滑条件下的轮轨摩擦力定义为黏着摩擦力，黏着摩擦力即我们一般理解的蠕滑力，源自于轮轨间未发生宏观滑动、仅由材料切向应变产生的切向应力，且未达到库伦摩擦极限。根据文献[1] ，将小蠕滑情况下轮轨接触斑纵向摩擦模型简化为具有一定刚度与阻尼的串联模型，如图1所示。

图1 轮轨摩擦模型

其中刚度与阻尼是轮轨激励频率和纵向蠕滑率的函数，x0代表轮轨相对位移，q(t)代表外部位移激励。轮对纵向振动简化模型如图2所示，其运动方程为

其中：k(t)为随时间变化的刚度。

假设某机车运行中轮对的一系纵向定位刚度发生了如图3所示的突变，计算可得如图4所示的轮对纵向振动加速度时间历程。

为了得到轮对纵向振动特点的信息，对其进行傅立叶变换的结果如图5所示。

图2 单轮对运动简化模型

图3 刚度突变曲线

图4 轮对纵向振动信号时间历程曲线

从该图中仅可以看出轮对相对构架的同向和反向振动固有频率，而无法获得更多的振动信息。对图4所示的振动信号进一步按照离散小波变换进行分解，结果如图6所示。

从该图中可以清楚看到，在小波分解的高频层中，在10 s时刻发生了一个较为明显的瞬时冲击，进而可以判断出轮对定位刚度在10 s时发生了突变。

如果对图4进行连续小波变换，可得到如图7所示结果。

从该图中可以清楚看到系统的固有频率在10 s时刻从20 Hz左右突然变化到了17.4 Hz。凭此信息可以断定轮对的纵向定位刚度在10 s时刻发生了突变，由于轮对质量未变，因此能判断出定位刚度从4×107 N/m突然变化到3×107 N/m。

图5 频谱图(FFT)

图6 轮对纵向振动信号的离散小波分解图

图7 轮对纵向振动信号的连续小波变换图

3 变速情况下轮对非稳态振动问题研究

铁路机车车辆动力学基本都是研究匀速情况下车辆的振动情况，而实际情况中车辆经常变速运行，当车辆变速运行时轮轨激励是非稳态随机过程，而轮对振动响应也是非稳态随机振动过程，该问题一直是车辆动力学分析的难题，本节主要应用小波分析方法研究车辆变速运行条件下轮对的振动特点。

轮对纵向振动响应同时取决于外部激励特性与一系纵向定位系统的固有特性。在系统振动分析中，单个组件的动态特性往往是已知的，因此可以通过时频分析将那些特殊的频率成分与某一组件的振动情况联系起来[13-14]。本文以文献[15] 中的机车动力学模型为例，该机车轮对存在严重的纵向振动问题，经过长期轮轨相互作用可能会引起车轮周期性磨耗，因此，本文假设该机车模型还存在车轮不圆的问题，对该机车动力学模型施加如图8(a)所示的驱动力矩，可以得到如图8(a)所示的轮对纵向振动加速度时间历程图，从该图中不能获得轮对振动特征的信息。因此对图8(a)分别进行傅立叶变换和小波变换，相应的频谱图和时频图分别如图8(b)和图8(c)所示。

从图8(b)中只能得知轮对发生了主频率为19 Hz和21 Hz的纵向振动，而无法获取更多的信息；但从图8(c)中我们可以得到更多的信息，其中随着时间近似线性增长的频率为车轮椭圆不圆顺（通过车速及车轮半径等已知条件可以推测出来），为系统的主要激励源；不随时间变化的是轮对相对于构架的纵向振动频率，分别为19 Hz和21 Hz。在车轮多边形激励频率与轮对纵向固有频率的交点处，轮对纵向振动加速度响应达到了最大值，即轮对发生了纵向共振。根据以上分析可以认为，用小波变换方法分析轮对纵向振动问题要优于傅立叶变换方法，运用该方法能够获得更多轮对的振动特征。

图8 变速工况下轮对纵向振动

4 结语

本文分别采用傅立叶变换、离散小波变换和连续小波变换法研究了一系定位刚度突变情况下轮对的振动特点以及车辆在变速运行工况下轮对的振动特点。研究表明：

（1）傅立叶变换无法用于分析非稳态振动问题，采用离散小波变换可以很方便找出车辆系统参数变化（或外部瞬时冲击）发生的具体时刻及影响，但无法获得车辆系统频率（或动力学参数）的具体变化情况，而采用连续小波变换可以清楚观察到车辆系统参数变化情况以及相应的变化时刻及影响；

（2）根据连续小波分析可以得到随车速（或频率）变化的曲线对应于2阶车轮不圆顺，而不随车辆速度变化的曲线对应轮对的固有频率，在两条曲线的交点处，车辆振动加速度响应幅值较大，即发生了共振。