考虑有效应力的施工参数对起裂压力影响分析

唐巨鹏，齐 桐

（辽宁工程技术大学力学与工程学院，辽宁阜新123000）

目前，页岩气作为重要的非常规油气资源成为世界各国的研究热点[1-5]。页岩气储层低孔低渗特点导致开采效率一直不理想，国内外实践表明，水平井水力压裂技术是高效经济开发低渗油气田的关键。我国页岩气储层水平井水力压裂技术尚不成熟，亟待在相关领域开展研究工作。实际上，页岩气开采过程中，孔隙压力与储层地应力相互影响、相互制约，有效应力是反映孔裂隙真实应力环境的重要力学参数，对起裂压力影响不能忽略，因此从理论分析角度，研究有效应力对水力压裂起裂压力的影响对提高体积压裂效果、促进页岩气经济高效开采具有重要意义。

近年来，随断裂力学理论逐渐成熟，国内外学者对起裂压力机理研究取得了大量成果。黄润秋等以深埋隧道涌水为研究对象，从断裂力学角度分析单条裂纹在高水压力作用时的扩展机理[6]；Zhang等通过研究地应力中间主应力或最大主应力对裂缝起裂与扩展的作用，得到裂缝数量和失准角对井眼起裂位置的影响规律[7]；Warpinski和Teufel预测水力裂缝是否能引起天然裂缝面的剪切滑移从而导致水力裂缝被捕获（沿着天然裂缝延伸），或者使天然裂缝张开导致了更高的滤失[8]；任岚以多孔介质流体渗流与岩体应力—应变耦合理论为基础，提出一种全新的水力压裂岩石破裂压力的计算方法[9]；盛金昌等以应力强度因子为参量，给出水力压裂判据[10]；赵延林通过建立压剪裂纹断裂损伤力学模型，分析分支裂纹扩展的贯通机制[11]；郭肖等依据页岩扩散原理，采用自制页岩扩散系数测定装置，对真实地矿进行实验，分析有效应力与温度对页岩扩散系数的影响[12]。赵金洲等建立裂缝性地层射孔井起裂压力模型，研究近井区域径向缝网形成机制[13]；蔺海晓等通过数值模拟揭示地应力对煤层起裂的影响[14]。吕有厂等分析在水平主地应力相等条件下，穿层钻孔在垂直煤层中的起裂机制[15]。综上所述，国内外学者对裂缝起裂压力机理研究已逐渐达成共识，但深入研究有效应力与起裂压力作用关系较少。而实际上，有效应力是反映地应力和孔隙压力相互作用的物理量，研究有效应力与起裂压力的关系具有重要参考意义。本文将建立考虑有效应力的起裂压力理论公式，与前人结果进行比较，验证所建公式的正确性，并分析井筒方位角、钻孔倾斜角、水平地应力差不同时的裂缝起裂压力变化规律，以期对水力压裂开采规划设计提供一定的参考。

1 考虑有效应力的任意方向钻孔水力压裂力学模型

从理论分析角度，考虑水力压裂过程中有效应力对起裂压力的影响，同时根据最大拉应力准则，给出有效应力与起裂压力关系表达式。

1.1 有效应力

Terzaghi在1921—1923年最先提出土的有效应力原理和土的固结理论，1960年Cook对其研究并将其应用于岩石材料中，此后有效应力开始广泛应用于煤、页岩等领域中，有效应力张量表达公式：

由（1）式可知，岩体骨架中任意点的有效应力等于总应力减去孔隙压力，裂缝起裂受水力压力和地应力共同作用，因此有效应力不可忽略。本文主要研究水力压裂中有效应力与起裂压力间的作用关系。

1.2 坐标系

水力压裂在钻井过程中会使围岩应力重新分布，井筒内壁应力集中导致裂缝产生，同时当水力压力产生的拉应力大于岩体抗拉强度时，裂缝产生并扩展，形成单条裂隙，与岩体本身天然裂缝沟通形成缝网。为简化分析，采用如图1所示坐标系对斜孔周围应力状态进行描述。为了方便运算，选取坐标轴（1，2，3）与主应力（σh，σH,σV）方向一致，Ω为方位角，Ψ为倾斜角；为描述孔周围应力状态，建立直角坐标系（x，y，z）来描述远场地应力；采用柱坐标系（r，θ，z）描述孔壁周围应力状态；其中z轴对应于井轴，x和y位于与井轴垂直平面上。

为了建立（x，y，z）坐标与（1，2，3）坐标之间关系，将（1，2，3）坐标按以下方式旋转：

（1）将坐标轴以3为轴，按照右手定则旋转角Ω，变为（x1，y1，z1）；

（2）再将坐标（x1，y1，z1）以y1为轴，按右手定则旋转Ψ，变成（x，y，z）。

通过以上描述，主地应力坐标系（1，2，3）按图1所示转换得到坐标系（x，y，z），并得到应力转换关系：

1.3 斜孔周围应力分布

假设岩体所在地层为线弹性多孔、各向同性材料，并认为在井壁处于平面应变状态，利用无限大平板模型，平板上有一圆孔受均匀内压Pi，并且在平板无限远处受水平最大地应力σH,水平最小地应力σh，垂直方向受垂向地应力σv，如图2，井周地层应力分布由孔内液体压力Pi、远场面内应力（σx,σy,σz）和远场离面应力（σz,σxz,σyz）以下部分应力叠加而得。

液柱压力Pi引起的应力其中，R为井眼半径（m），r为极坐标半径（m）。

由地应力分量σxx和σyy引起的井壁围岩应力分布分别为：

图1 井轴坐标系

图2 井壁围岩力学模型

由地应力分量σzz引起的井壁围岩应力分布

由地应力分量σxy所引起的井壁围岩应力分布为

由地应力分量σxz所引起的井壁围岩应力分布为

由地应力分量σyz所引起的井壁围岩应力分布为

应力分量线性叠加后，井壁围岩应力分布：

式中，R 为圆孔半径(m)，Pi为起裂压力（MPa），PP为孔隙压力（MPa），ν为泊松比孔隙度（%）、θ为井周角（°）（相对于x轴）。

1.4 孔壁应力分布

在（2）式中，当R=r时，得到孔壁应力分布为

1.5 含有效应力的孔壁应力分布

将（1）式带入（3）式中，得到考虑有效应力下的孔壁应力公式：

2 考虑有效应力孔壁起裂分析

在水力压裂处理裂缝起裂问题时，通常选定一个断裂准则作为水力压裂裂缝起裂依据。前人已提出多种断裂准则，其中较经典的有最大能量释放效率理论（G准则）、应变能密度因子理论（S准则）、最大周向应力理论（σθ准则）和最大拉应力准则（σmax）。σmax准则形式简单，考虑三向地应力，至今普遍应用，对抗拉强度较低的岩石类材料，更接近于实际情况，所以本文采用最大拉应力准则作为裂缝起裂判据：

由上述孔壁应力状态可看出，液体压力Pi是σθ的函数，所以Pi也是σmax函数，井筒内壁圆周方向上，当θ发生改变，σmax也随之改变。当液体压力Pi增加到一定值时，孔壁θf处开始逐渐裂开，产生裂缝，即在θf处达到最大值。以最大拉应力准则为准，孔壁最大拉应力大于等于岩石抗拉强度σt，裂缝在θf处起裂，即σmax=σt，可由以下公式得到裂缝起裂位置θf：

Hossain等研究表明，起裂压力随岩石抗拉强度增大而增大，随孔隙压力的增大而减小[16]。假设岩体抗拉强度σt=0、孔隙压力Pp=0，可以抵消两者对起裂压力影响，根据（6）式得出θf，由（4）式和（5）式可得到考虑有效应力的裂缝起裂压力i：

3 计算实例与参数分析

结合最大拉应力准则及斜井周围应力分布，引入有效应力，推导出适用于页岩开采的、考虑有效应力的起裂压裂公式。从（7）式可以看出：i不仅与岩体所受地应力分量σxx、σyy有关，而且与孔隙压力PP、起裂位置也有关。对于深部开采的高地应力储层，通过已知岩体力学参数，引入有效应力推导起裂压力公式，对实际水力压裂工作具有一定的参考价值。

施工参数（井筒方位角、钻孔倾斜角、压裂液量）和储层地质条件（层理、水平主应力差、天然裂缝）共同影响体积压裂复杂程度。下面研究考虑有效应力时，井筒方位角、钻孔倾斜角、水平地应力差对页岩起裂压力的影响规律。裂缝起裂受多方面影响，其中地应力场起主要作用，由σv、σH、σh大小决定，本文研究其中一种情况，即σh＜σH＜σv工程算例参数选自文献[17]某四川页岩储层力学参数（表1）。

表1 页岩力学参数与井筒地应力情况

3.1 井筒方位角对起裂压力影响

在页岩气实际开采中，井筒方位角影响井筒内壁周围应力状态改变，导致起裂压力变化，因此分析井筒方位角与考虑有效应力的起裂压力作用规律具有重要意义。选取表1页岩力学参数计算，当钻孔倾斜角Ψ =90°时，探讨井筒方位角Ω为0°、30°、45°、60°、90°时，考虑有效应力的起裂压力变化规律。

钻孔倾斜角Ψ =90°时，井筒为水平井筒，井筒方位角Ω从0°旋转到90°，从图1可知井筒轴线从σh转到σH方向，即井筒在平面1-2内旋转。本文建立的起裂压力公式考虑了有效应力的作用，即考虑了实际页岩气开采过程中水压与地应力间的相互作用，更接近实际地层情况。起裂压力随井筒方位角变化曲线如图3所示。据此得到起裂压力与井筒方位角关系规律。

（1）与国内学者冯彦军[18]研究结果进行对比可以发现，考虑有效应力时起裂压力比不考虑有效应力时的起裂压力明显减小，但两者关系曲线趋势一致，验证了本文考虑有效应力的起裂压力公式的正确性。考虑有效应力时，井筒方位角为0°、30°、45°、60°和90°时，起裂压力分别为37.9、35.8、33.5、31.2和29 MPa，起裂压力分别降低了9.67%、5.74%、6.44%、3.5%和3.56%。研究发现：考虑有效应力时，起裂压力降低，更容易满足起裂条件。在实际工程中，起裂压力越小，水力压裂越容易实现，越有利于页岩气经济开发。

（2）起裂压力与井筒方位角呈线性递减关系。井筒方位角为0°和30°时分别对应起裂压力的最大值和次大值，此时井筒轴向与最小水平地应力方向相同，因此主要受最小水平地应力作用，剪切力影响小。井筒方位角30°～60°井筒受剪切力作用明显。井筒方位角60°～90°起裂压力降低至29 MPa，井筒轴向与最大水平地应力相同，主要受其影响。所以，井筒方位角是影响起裂压力的重要因素。在实际页岩开采时，应尽可能增大井筒方位角，以降低起裂压力。对于页岩储层而言，井筒方位角为90°时，水力压裂一般会产生垂直于井筒的横向裂缝，更易于缝网形成，对页岩气开采就越有利。

3.2 钻孔倾斜角对起裂压力影响

钻孔倾斜角是井筒与孔眼横截面轴线与水平方向间夹角。实际钻井过程中，钻孔倾斜角度会影响裂缝起裂压力及页岩气开采量，因此研究钻孔倾斜角与考虑有效应力的起裂压力变化规律十分必要。为研究单一因素钻孔倾斜角，选取井筒方位角Ω=90°，钻孔倾斜角Ψ从0°转到90°，即钻孔从垂直井变为水平井，图1所示钻孔轴从与轴3重合转到与轴1重合。理论计算钻孔倾斜角与起裂压力间关系规律，如图4所示。

（1）起裂压力随着钻孔倾斜程度的增加呈先增大后减小趋势。钻孔倾斜角由0°、30°、45°、60°增加到90°时，起裂压力分别为26、34.5、42.1、36.3和30.1 MPa，起裂压力变化率分别为22.03%、32.29%、20.6%和15.97%，0°～30°垂直地应力占主要影响，30°～60°剪切应力起主要作用，60°～90°最大水平地应力占主要影响。

（2）由图4发现，以45°为中心，起裂压力值呈对称分布。这是因为Ψ=0°受垂直地应力影响，Ψ=90o受最大水平地应力影响，而剪切应力无明显作用，所以起裂压力小；Ψ=45°时，起裂压力最大，井筒周围受到剪切应力和地应力共同作用，这一规律与龚迪光所得“射孔倾斜角为0°和90°剪切力影响小，射孔倾斜角为45°剪切力作用”[19]显著相符。

图3 井筒方位角与起裂压力关系曲线

图4 钻孔倾斜角与起裂压力关系曲线

上述结果表明，钻孔倾斜角对起裂压力作用明显，随着钻孔倾斜角的增大，起裂压力呈“∧”型对称分布。因此，在实际压裂钻井中，根据钻孔倾斜角合理布置可以经济有效地开采页岩气。本文建议最佳钻孔倾斜角为0°。

3.3 水平地应力差对起裂压力影响

水力压裂发生时，页岩气储层在地应力和水力压力共同作用下产生裂缝，水力裂缝沟通天然裂隙形成缝网，此过程中地应力起决定作用，因此研究地应力与考虑有效应力的起裂压力变化规律意义重大。

由于在页岩气开采中水平井是在同一深度向前延伸，即保持σv不变。水平轴与σh方向一致，即图1中Ψ=90°、Ω=90°，改变水平地应力差，从以下两个方面分析，选取表2不同地应力组合，计算说明水平地应力差与起裂压力关系的规律，如图5所示。

（1）图5表明，最小水平地应力改变时，随着水平地应力差增大，起裂压力线性减小（这与文献[17]规律一致），起裂压力变化范围较大。水平地应力差由2、4、6、8 MPa增加到10 MPa时，起裂压力为68.1、62.1、58.9、55.4和50.3 MPa，降低变化率依次为9.66%、5.95%、6.32%和10.14%。岩体在地层受附加应力影响大，受层理和天然裂缝影响时需要较大压力才能使裂缝起裂。随着最小水平地应力减小，水平地应力差增加，使岩体应力集中，裂缝容易起裂，因此，起裂压力小。

总之，改变最小水平地应力时，起裂压力随着水平地应力差增大而降低，且降低幅度较大，在水力压裂过程中考虑水平地应力差为探索裂缝形成过程及扩展规律提供了设计思路。

（2）由图5可知，最大水平地应力改变时，起裂压力随着水平地应力差的增加线性增大，增加幅度较小。水平地应力差由2、4、6、8 MPa增加到10 MPa时，起裂压力为49.5、50.1、51.2、52和52.9 MPa，增加了1.21%、2.19%、1.56%、1.73%。因为在水平地应力增加时，对裂缝尖端延伸的约束能力增强，水力能量集中，因此起裂压力值大。在水力压裂过程中，最大水平主应力的变化，导致裂缝起裂和扩展不同，但水平最大地应力的改变对起裂压力影响较小。

以上结果表明，页岩储层受构造应力影响，同一深度不同位置水平地应力有明显差异。在钻水平井过程中，最小水平地应力改变对起裂压力影响显著，使井壁发生破裂的可能性增加。

表2 三向地应力状态

图5 水平地应力差与起裂压力关系曲线

4 讨论与结论

本文以任意方向钻孔水力压裂力学模型为基础，基于最大拉应力准则，推导考虑有效应力的起裂压力公式，与文献报道结果吻合较好，验证了该公式的正确性。因此研究井筒方位角、钻孔倾斜角、水平地应力差对考虑有效应力的起裂压力的影响规律，所得结论对体积压裂设计具有一定的参考价值。但由于水力压裂机理的复杂性，且影响裂缝扩展因素较多，如深部储层温度、地层构造条件等，故所得结论尚需进一步完善。