变系数非线性薛定谔方程的精确行波解

曹 瑞

(菏泽学院数学与统计学院，山东菏泽274000)

非线性发展方程通常用来描述自然科学领域中出现的非线性现象，而构造非线性发展方程的精确解是研究这些非线性现象的一个重要课题之一。在过去的几十年，许多专家学者提出了一系列行之有效的求解精确行波解的方法，例如齐次平衡法[1]，Painleve截尾展开法[2]，Hirota双线性方法[3]，sine-cosine函数方法[4]，双曲函数法[5]，试探函数法[6]，Jacobi椭圆函数展开法[7]以及F-展开法[8]，对称约化法[9-10]等。利用以上这些方法成功获得了非线性发展方程丰富的精确行波解。

王明亮等[11]提出了一种新方法称为-展开方法，并说明这种方法是求解非线性发展方程的一种有效方法。-展开方法的关键在于非线性发展方程的精确解能表示成关于的多项式形式，这里G=G(ξ)满足一个二阶线性常微分方程。随后，利用各种改进的-展开方法，许多学者获得了一大批非线性发展方程的精确解[12-14]。随后，Malik等[15]基于一个新的假设提出了改进的-展开方法，用来求解了Bogoyavlenskii方程并得到了许多精确解，以此来说明这种方法的有效性。

其中，u=u(x，t)是x，t的复值函数。当参数α(t)和β(t)，γ(t)取具体值，方程(1)可推导出一些非线性薛定谔方程。例如，若 α(t)=q，β(t)=2p，γ(t)=0，那么方程(1)化为如下的常系数非线性薛定谔方程[17]

N.Taghizadeh等运用首次积分方法构造了非线性Schrödinger方程(2)的精确解[17]。由于方程(1)在物理各个领域的广泛应用，如非线性光学，等离子体和量子力学[18-22]，方程(1)及其扩展方程受到了广泛关注。

(1)对于一个给定的非线性发展方程

其中，X=(x，t)，为了获得方程(3)的行波解，利用广义行波变换

u(x，t)=u(ζ)，ζ=ζ(X)。

那么，方程(3)化为如下的常微分方程(ODE)

(2)假设方程(4)有下列形式解

这里G=G(ζ)满足如下二阶常微分方程

若定义D[u(ζ)]=M，那么

方程(6)有解如下

上式可以简记为

借助于Mathematica通过求解决定代数方程，我们得到a0(X)，ai(X)和bi(X)。把这些结果代入方程(5)并结合方程(6)的解，我们得到方程(1)的精确行波解。

2 方程(1)的精确行波解

这里v(x，t)和θ(x，t)分别是振幅和相位函数。把变换(6)代入(1)分离实部和虚部，得到

和

考虑方程(7)齐次平衡，假设方程(7)和(8)有下列形式解

这里G=G(ξ)满足方程(6)。把方程(9)和(6)一起代入方程(7)和(8)，方程(7)—(8)的左边化为(k=0，1)的多项式，收集(k=0，1)的系数，并令每一个系数为零得到一个代数方程组

借助于Mathematica求解上述代数方程组，我们得到下列三种情形。

情形1:

这里ci(i=1，2，3，4，5)是任意常数， 而a(t)满足

此时，方程(1)有精确解

特别地，方程(1)的暗孤波解为

方程(1)的双曲函数解为

方程(1)的三角函数解为

情形2:

这里a(t)满足如下限制条件

此时，方程(1)的精确解为

方程(1)的亮孤波解为

方程(1)的奇解为:

方程(1)有三角函数周期解

情形3:

这里a(t)满足如下限制条件

此时，方程(1)有如下形式的解。

当μ＜0时，方程(1)有双曲函数解

若令

可得到方程(1)的亮-暗孤子解为

若令

那么解(17)化成

当μ＞0时，变系数非线性薛定谔方程(1)的三角周期解为

若令

那么，解(20)可化为

其中

3 总结