常微分方程课程在培养创新人才方面的实践与探索

王金凤　崔仁浩　刘萍　侍述军

[摘 要] 本文从常微分方程课程教学出发，探讨了在培养创新人才方面的实践和经验， 通过对常微分方程全新教学模式的开展、创新与突破， 对需要改进的问题作了必要的说明。

[关键词] 常微分方程;课程教学;创新人才

[中图分类号] G642  [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2019） 07-0106-02

培养人才是高校最基本的职能，自然培养推动社会发展的创新人才成为高校教学改革的主要任务。创新人才的培养是教育界共同探讨的话题，目前，世界各国的高校都在进行教学改革，以求培养具有创新精神，创新能力的高素质人才。早在1919年，陶行知先生就把“创造”引入教育领域。他在《第一流教育家》一文中提出，要培养具有“创造精神”和“开辟精神”的人才，认识到培养人才对国家强弱和民族兴亡具有的重要意义。到20世纪60， 70年代，随着美国心理学家吉尔福特（J. P. Guiford）的《创造性才能》和《创造力与创新思维新论》两本著作的问世，研究创造性人才逐渐成为一个热门课题。虽然国外学者没有“创新人才”的提法，但他们所提的培养目标无一不表现出人才要具有“创新”的内涵。

而教学是培养人才的根本途径。我国数学本科生均从中学的重应试的数学教育中走来，而大学数学本科教材，包括基础课程教材，受苏联的影响，普遍追求理论的严密性，一般性，均从最一般到特殊，而且忽略数学建模、定性分析及与现代数学的联系，使学生难于接受，不会应用，影响创新能力的培养，即使最富有创造力的学生也难以在学习过程中开发其潜能。本科生创新能力的培养已成为当前高校教育工作者面临的一项重要任务，经过几年着眼于哈尔滨师范大学数学科学学院对本科生创新能力的培养，笔者将对其在常微分方程课程方面创新能力培养的一些理论探索和教改实践进行了分析总结，在此基础上进行比较系统的思考，初步形成了一套本科生创新能力培养所需要的制度体系，以适应培养高层次创新型人才这一紧迫任务的需要。

一 重课程教学

我们在哈尔滨师范大学本科常微分方程基础课教学中，普遍实施“讲授启发式”教学模式，在教学课堂上实现师生互动的教学方式。特别，结合课堂教学，组织本科生参加“研讨班”，实行探究式的研究性学习，实行导师制。采用最大似然估计与贝叶斯估计统计推断方式进行效果评价，使教学内容的改革在提高综合素质与创造能力方面优于传统内容。专门为基地班学生开设学科交叉课程、研究性课程。近十年来，我们对数学与应用数学专业的本科生采用中英文教材相结合的方式进行教学，特别是对于基地班的教学过程中强调英文教材的参考使用，使我们的学生学会用符合英语习惯的科学语言表达自己的观点， 从而使他们将来在国际学术舞台上赢得一席之地， 能顺利进行学术访问和学术交流， 并响应教育部所提出的实行双语教学的倡议， 尝试在数学课堂上实行双语教学是一项有益的工作;其次在常微分方程基础上，我们开设了数学物理方程选修课，并在其基础上开设了反应扩散方程，应用偏微分方程等研究性课程，这些课程激发了即将选择分析或微分方程方向的本科生的浓厚兴趣，为他们在未来的研究生学习奠定了坚实的基础。

二 重实践指导

老师与学生的紧密联系不仅是给学生讲授知识，吸收学生参加科研项目，而是体现在专业方向的确定、课程选择和课程学习结果的审查、个性化教学计划的制定和学术研究的指导等方面。因此我们采用教学实验与观察研究相结合的研究方法，进行中英双语教学，计算机辅助教学及探究式研究性学习，培养本科生创新科研能力。运用探索式的启发式讲授，通过建模培养创新能力。根据学生的具体情况结合国外的教学实践，我们将MATLAB，MAPLE等数学软件引入课堂，使整个课堂寓教于乐，图文并茂，给同学们留下了深刻的印象，取得了良好的教学效果。此外，我们在课程讲授之后增加学生讨论的环节，以两至三人为一个单元，结合课堂内容对实际问题进行讨论，这个过程为学生参加数学建模竞赛等科技活动积累了坚实的经验和方法。

三 重导向型教学

导向型教学是国外流行的一种教学方式，它强调在课堂教学中学生是学习过程的中心，教师在教学过程中起到引导作用，是学习过程中的组织者和协调人。对具有一定自主学习能力的本科生来说，采用以学生为中心的启发式教学，符合当前的教学改革潮流。围绕这一目标，国内高校通常使用的方法有慕课、翻转课堂等，对学生自我学习的潜能开发有一定的指导作用。常微分方程课程教学的主要目的是求解各种形式的常微分方程模型，运用导向型教学方式进行教学有利于使学生学会在事物的量与量之间建立起常微分方程模型。根据作者多年的教学研究和实践，我们在讲授常微分方程过程中，通过小组讨论，引导学生在不同的假设条件下建立常微分方程的简单模型;引导学生在求解微分方程中以定性分析方法为主。例如，对于一阶二维非线性微分方程组，引导学生回忆线性化思想，教师自然地引入微分方程在平衡解处的线性化形式，进而利用定性分析方法分析在平衡解附近微分方程解的渐近行为，并分析解随参数变化时发生分歧现象的规律， 同时引导学生考虑将数学上分析的结果应用于各种具体的问题中。教师从提出具体问题到引导学生解决问题的准备、实施、总结三个阶段过程中，始终起到的是辅助作用，需要充分强调学生的主动性。在此过程中，强调学生的中心地位，弱化教师的主导地位。

四 重课程建设

课程建设是本科教学的一项重要的基础性建设工作，要培养高素质创新人才，必须要有一批特色课程。在中英文教材相结合的教学过程中，最初我们使用的是英文教材 Paul Blanchard， Robert L Devaney， Glen R Hall 编著的《Differential Equations》，把以往采用的由中山大学王高雄等编写的《常微分方程》（第三版）作为辅助教材。经过了几年的教学实践与探索，我们设计并编写出与国内传统常微分方程教材完全不同的，适用于进行探索式教学的常微分方程课程本科教学的教材《常微分方程简明教程》，在国家级出版社“科学出版社”出版，并入选“大学数学科学丛书”。同时，我们设计、编写出与此教材配套适合学生进行研究性学习的学习指导书《常微分方程导学》，在“哈尔滨工业大学出版社”出版。在教学中我们不仅使用《常微分方程简明教程》与《常微分方程导学》，我们还针对我院学生知识基础和外语水平参差不齐的实际情况采用分层次的教学方式，对于专业基础扎实，外语水平普遍较好的本科生，采用双语教学的教學方式，由具有丰富教学经验，具有国外访学或留学经历的教授承担， 教学过程中采用英语板书，英文讲解，汉语补充的教学方式。对普通班则进行低层次的双语教学，即部分英文板书，汉语讲解，适当穿插英文。针对具体内容，我们还做了一些小课件供学生使用，主要是一些具体的实际应用模型，让学生感到数学的存在不再遥不可及，学习的意义更不只限于它的抽象美。例如，教材中有这样一个实验让学生来做，验证菌群的指数增长模型：买一片面包，放在寝室的窗台上，观察其霉变的过程，通过霉变面积的大小来判断霉菌的增长，直到面包全部变黑。我们在课件课上演示上述霉变过程不同阶段的图片，通过数据建立模型。课后不少学生尝试这一实验，反馈效果良好。

经过近几年的实践和探索，我们微分方程团队在培养本科生创新人才方面取得了卓著的成果。笔者之一作为指导教师所指导的2011级本科生方丽婷的本科毕业论文发表在被SCI收录的国际著名数学杂志《Applied？Mathematics？Letters》上。指导教师在教授《常微分方程》时，将非线性二维方程组的讲解与研究型论文结合，通过定性分析及数值模拟的方式把教材的概念与方法在具体的生物数学模型中表示出来。方丽婷同学正是在这个启发下，研究了带有消耗资源型的捕食食饵模型，同时结合反应扩散方程的基本知识，对该模型进行了详细的动力学分析。这种把教学与科研有效结合的方式在本科生的学习过程中很具有推广性，仅在近三届毕业的本科生中，就有十几名学生完成有关微分方程模型和定性分析等方面的学术论文。其中，有4 名同学的论文发表在省级以上的刊物上，有4名同学的本科毕业论文被评为哈尔滨师范大学校优秀毕业论文。在全国大学生数学建模竞赛上，多名本科生多次获得奖项，一大批毕业生已在其研究或工作领域崭露头角。

培养学生靠教师，但教师不是决定学生是否具有创新性的唯一因素。培养学生创新素质的任务要靠整个教育系统中的各部门共同承担，因此，创新人才培养需要教学管理体制，以致全社会的创新。以本文作者为主要成员的常微分方程教学团队是省级优秀教学团队，在充分发挥自身强有力的科研优势基础上，我们致力打造具有师范特色的精品教学。以方程教研室为依托，研究常微分方程与后继课程反应扩散方程及应用偏微分方程的内在联系，既让师范生掌握基本的教学技能，又能给对科研有兴趣的学生传输有效的学术思想，全方位培养能完成素质教育任务的新型教师及科研工作者。

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