浅谈高职高专微分的概念

摘要：微分的概念对于高职高专的学生们来说，是很抽象的数学概念。如何让学生在理解的基础上很轻松地记忆这个概念呢？老师可以在教学过程中进行如本文中所叙述的教学设计，这样学生们就能很容易地理解微分的概念了。

关键词：微分的概念;教学设计;函数

为了让高职高专的学生很容易地理解微分的概念，教师对微分的概念的教学进行了如下教学设计。

先学习如下引例：

一块正方形的均匀薄铁片，遇热后边长由x0增加到x0+Δx，问铁片的面积大约改变了多少？

分析：设正方形的边长为x，面积为y，则y=x2。铁片面积在遇热后增加了，面积的增加量也就是函数值的增量为Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=（x0+Δx）2-x20=x20+2x0Δx+（Δx）2-x20=2x0Δx+（Δx）2。本引例问铁片的面积大约改变了多少事实上就是求Δy的近似值。当|Δx|=Δx很小时，（Δx）2更小，将（Δx）2舍弃掉，可得Δy≈2x0Δx。

定义1若函数y=f（x）在点x=x0处可导，则函数y=f（x）在x=x0处可微，且函数在x=x0处的微分为dy|x=x0=f′（x0）·Δx。

练习1设函数y=x2，

（1）当x=3，Δx=0.01时，求dy|x=3;

（2）当x=3，Δx=-0.01时，求dy|x=3;

（3）當x=3时，求dy|x=3;

（4）当x=x0时，求dy|x=x0;

（5）当x为任意实数时，求dy。

解y=x2，y′=f′（x）=（x2）′=2x，

（1）dy|x=3=f′（3）Δx=2×3×0.01=0.06;

（2）dy|x=3=f′（3）Δx=2×3×（-0.01）=-0.06;

（3）dy|x=3=f′（3）Δx=2×3Δx=6Δx;

（4）dy|x=x0=f′（x0）Δx=2x0Δx;

（5）dy=f′（x）Δx=2xΔx。

由以上练习一的第四个问题的结果可得，引例中面积的增加量即函数值的增量约等于微分，即

Δy≈dy|x=x0

以上近似结论可以推广到任意可导函数y=f（x），即若函数y=f（x）在点x=x0处可导，则Δy≈dy|x=x0。

由以上练习一的第五个问题的结果可得如下定义：

定义2若函数y=f（x）在区间I内可导，即它在该区间内的每一个实数x处都是可导的，则函数在区间I内可微，且函数y=f（x）在区间I内的微分为dy=f′（x）·Δx。

考察函数y=x，由以上定义可得：

dy=dy|y=x=f′（x）·Δx=x′·Δx=1·Δx=Δx=dx。

由以上结论可理解为自变量的微分等于自变量的增量，所以可导函数y=f（x）的微分又可以记作：

dy=f′（x）dx，

从而有dydx=f′（x）。

也就是说，导数可以看作函数值微分与自变量微分的比值。因此，导数又叫做微商。由此可见，可导与可微是等价的。

我们求可导函数的微分时，只要先将函数的导函数y′=f′（x）求出来，再乘以dx就可以了。

作者简介：

郑晓珍，湖北省襄阳市，襄阳职业技术学院。