浅谈转化思想方法在高等数学中的运用

摘 要：所谓的转化思想就是一个将问题由难变简的过程，它能够让学生摆脱固有思想的限制，从而提高解决问题的效率。高等数学较之于初等数学来讲，其难度不止上升了一个层次，正是因为如此，其解题过程往往复杂烦琐，难以完成，正因如此，才出现了转化思想，它能够将高等数学中难以理解的复杂问题通过转换，代入等加工方式变的浅显易懂。当代高校的高数教学中，对于转化思想运用层出不穷，它的出现为我们广大高数学员提供了一片新的天地，而正是这个由难变简，会让学生充满兴趣，极大程度上地促进其积极性。将微积分、三角函数、代数学等等数学知识相互引用，全面渗透转化思想，这将会大幅提升高数课堂的教学质量。本文就以转化思想在高数教学中的运用进行了简要分析。

关键词：高等数学;转化思想;运用

转化思想是高数解题方法之一，尤其是在许多高数定义、高数公式中都存在着不少转化思想的应用，如果学生能够成功掌握转化思想，那么其今后的解题之路必将一往无前，教师必须指引学生透过试题的文字看到其内在构成，将繁复抽象的题目分解成一个个简单的小知识点，最后通过这些分解转化而来的小知识点进行学习。转化思想的运用极为广泛，不仅是在数学试题中，更在生活中有着不小的作用，而转化思想最大的用处则在于高数解题中，其本领非常大。

下面本文就从高等数学的几个知识点进行了举例探析，以此来建议广大教师亦或是学生在教学或解题的过程中能够充分动用转化思想，以此来讲复杂的高数问题转化成简单的式子或解法，通过此种方法来获得答案。

一、 转化思想在微积分中的应用

转化思想在解决问题时可以轻而易举地将问题化简，例如limn→∞（n+3n-n-n）=    。这题其实看似比较困难，运用了大量的根号，同时其中还存在着未知字母n，如果单纯地以普通方法来对本题求解，那么可能会一直求下去，因此，这就要运用到转化思想，首先，本题是通过括号内的两个根号式子来寻找突破口，其构造特点非常类似于我们曾经所学习的平方差公式，因此，我们可以试着将括号内的减法式子乘以一个加法式子，同时为了保证我们所构造的式子与题目中的式子是等价的，因此，必须整个式子同时除以一个（n+3n+n-n），以此来保证等式上下相等，最终得到的式子就是limn→∞（n+3n-n-n）（n+3n+n-n）（n+3n+n-n），如此一来，整个式子就清晰简单了起来，分子上是平方差公式，可以直接得到limn→∞n+3n-n+nn+3n+n+n，这样做整个式子就更加简洁了，同时我们再将式子的上下同时除以n，就可以得到整个式子的答案。这道题在设计时看似极为烦琐复杂，其中运用了大量根号，让同学们看到后瞬间感觉到迷茫，然而一旦运用上转化思想后，那么解题过程将会变得极为简单，所运用的解题方法也不过是初中曾经学习过的通分以及平方差公式罢了。运用简单的解题方法来对烦琐的微积分进行解答，这是转化思想的应用。

二、 转化思想在不定积分中的应用

转化思想同时还可以应用在不定积分当中，我们以不定积分的推导公式之一为例，∫（cscx）2dx=cotx本公式是不定积分推导公式之一，本段就以其推导过程来展示转化思想在不定积分中的运用。如果我们单独对x的余割的平方进行求解，其难度往往很高，然而如果对本式中的余割进行相应的转化，那么题目似乎就迎刃而解了，首先我们将公式中的余割改变为1（sinx）2，这个是基本转换，并没有难度，在之后的过程中，我们需要把转换后的式子再次进行转化，我们在高中学习三角函数时，曾经学习过一个最为基本的三角函数转化，那就是“同一个角的正弦的平方加上余弦的平方等于1”，我们根据这个条件可以将分子的“1”改换成“（cosx）2+（sinx）2”，通过转换，公式就变成了∫（cosx）2+（sinx）2（sinx）2dx，此时公式还是尚且有些困难，想要通过这个式子求结果显然还有些不够，因此我们可以继续实行转化，之后式子可以转化成∫cosx（sinx）-sinx（cosx）（sinx）2dx，如此一来，整个式子就更加明了，我们通过对x进行积分处理，变换整个式子为∫dcosxsinx，通过变换后的积分式，我们就能完成整个过程的推导了。其实，高等数学并不困难，其核心内容也是由我们曾经所学习的初等数学所构成的，只要我们能够正确利用转化思想，那么解题也就变得简单了起来。

三、 转化思想在函数与数列中的应用

函数问题一直都是困扰学生们的难题之一，其问题常常呈现出多样性、不一性，学生常常因此无法进行相应的练习，同时由于函数问题所涉猎的范围极广，因此其重要性是不言而喻的，作为一门又重要又困难的知识，我们有必要利用转化思想来对其进行相应的解决，尤其是在高等数学之中。所谓函数，主要强调的是一个数值y在另一个数值x变动时，随之变动，他主要是强调一系列的数值连续变化，而数列则不同，它主要强调一系列数值的离散情况。在实际解题过程中，我们可以运用转化思想，将困难复杂的函数运用到数列当中来解决问题。以“证明sin1x在x=0处没有极限”为例。首先，我们可以先选取两段数列，第一段：x（1）n=1nπ（n=1，2，3，4…），第二段：x（2）n=12nπ+π2（n=1，2，3，4，…），根据极限的定义，我们可以很明显地得到两段数列的极限值，它们均为0，然而limn→∞sin1x（1）n=0，limn→∞sin1x（2）n=1，两个式子的极限值却不相等，因此，原函数在x=0出没有极限。这也是颇为常用的转化思想，如果单纯利用函数定义来对本题求解，其难度是非常大的，然而，当我们利用数列以及函数的相互转化后，就能轻而易举地解决本题，以两段数列的敛散性为基础，解决了本题中的函数极限问题，简单易懂。

四、 结束语

总而言之，运用转化思想可以帮助我们更快地解决问题，尤其是在高等数学之中，转化思想的作用更是不言而喻。不论是教师还是学生都应该充分理解并能正确使用转化思想，只有这样，才能保证学习效果有所提升，课堂质量也能够飞速增长。转化思想贯穿了高等数学，同时还附着在学生的学习过程中，它是最为基本的解题思想，也是最为重要的数学思想之一，高等数学在转化思想的渗透下最终也会变成一个又一个的初等数学的碎片，我们只要能够善于利用这些碎片并将其进行组合就能脱离高等数学的抽象化的限制，这不是一朝一夕就能完成的，需要我们不断地巩固知识，发现总结，只有这样才能正確利用转化思想，从而在高等数学获取更多知识，方便今后的生活应用。

参考文献：

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[2]薛松.“数的运算”中转化思想的内容与层次——以苏教版小学数学教材为例[J].教学与管理，2016（10）.

[3]张谋，魏曙光，易正俊.高等数学教学中数学思想的渗透[J].高等理科教育，2016（3）.

作者简介：

王苡琳，陕西省安康市，安康学院。