分数阶微分方程组边值问题解的存在性与唯一性

郭莉莉， 刘锡平， 贾 梅， 蹇星月

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

在工程技术和科学研究中，有许多现象是由微分方程来描述的。随着科学技术的发展，人们对分数阶微分方程的研究越来越多，取得了很多成果[1-13]。

微分方程组通常用来描述涉及到多个状态变量的运动系统，文献[14-15]研究了具有Caputo导数的分数阶微分方程组边值问题解的存在性。

本文研究一类高阶Riemann-Liouville分数阶微分方程组边值问题。

2 预备知识与引理

为了后面证明的需要，现给出一些定义和引理。

定义1[16]设函数当时有定义，且积分（是一个复变量）在s的某一个域内收敛，则由此积分所确定的函数称为函数的Laplace变换，记F(s)称为的像函数. 在相同条件下，称

引理1[16]若则

定义2[16]函数的阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义3[17]函数的阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

引 理2[17]对 任 意 的函 数的阶Laplace变换公式为

定义4[17]令，函数的定义为当级数收敛时，称级数是关于参数的二元Mittag-Leffler函数。

引理3[17]Mittag-Leffler函数的Laplace变换公式为

引理4[17]广义Mittag-Leffler导数定义为

其中，

因为，

因为，

结合Leibniz判别法可知，

由引理5可知，级数

证毕。

存在唯一解

证明 由引理2可知，

整理得到

又因为，

所以，

由引理3可知，

将式（5）代入式（4）并整理，得到

对式（6）两边进行Laplace逆变换，得到

将 d1，d2带入式（7），可得式（3）成立。

证毕。

由引理7即可得到引理8。

引理8 边值问题（1）等价于积分方程

其中，

引理9[18]（Leray-Shauder抉择） 令是Banach空间，假设是全连续算子，令存在使得，则集合是无界集或者算子T至少存在1个不动点。

3 解的存在性与唯一性

即

证明 由假设条件可知，任意

a. 证明算子T是全连续。

由引理6和式（11）可知，

由式（11）可得|fi(t,U(t))|≤

ki0+tα-2(ki1||u1||+ki2||u2||+···+kin||un||)≤

ki0+Mtα-2max{ki1,ki2,···,kin} （12）

由不等式（13）可得

由式（8）和式（11）可知，

因此

由式（14）可得

所以，

证毕。

接下来证明边值问题（1）解的唯一性，采用Banach压缩映射原理。

为了证明的方便，引入一些记号：

因此,

即

r。，

则有

由式（18）可知，

由三角不等式和式（19）可得

证毕。

4 例 题

为了说明所得结论具有较好的适用性，考虑几个具体的问题。

例1 考虑分数阶微分方程组边值问题

通过计算。得到

令

即

所以，

因此，所有的条件都满足定理1，所以，由定理1可知，微分方程组（20）至少存在1个解。

即

所以，