第一类、第二类曲线积分的对比研究

摘 要：第一类与第二类曲线积分是高等数学教学中对学生有难度的一个应用问题。首先是对积分概念引入的理解有难度，其次对计算方式的选择分辨不清楚。本文通过对教学实践的总结，从一、二类曲线积分的引入背景以及积分策略、积分注意事项做了全方位的对比分析研究，通过这种共性以及差异的分析归纳总结，帮助学生有效区分一、二类曲线积分，减少运算错误。

关键词：高等数学；第一类曲线积分；第二类曲线积分；

第一类与第二类曲线积分是高等数学教学中对学生有难度的一个应用问题。二者研究的内容（概念、计算方法）以及解决的问题有相同的地方，更有不同的地方。通过对教学实践的总结，从一、二类曲线积分的引入背景以及积分策略、积分注意事项做了一个全方位的表格对比分析，通过这种寻找共性以及差异的分析归纳总结方式，帮助学生正确有效的把握两类曲线积分的关系。

一、第一类与第二类曲线积分的共性与差异

二、如何从题目的陈述上区分是第一还是第二类曲线积分？

例1.求 ，其中L是抛物线 上从点A（1，2）到点B（1，-2）的一段弧。

例2.求 ，其中L是抛物线 上从点A（1，-1）到点B（1，1）的一段。

解：区分曲线积分要观察两个地方：积分微元；以及积分路径与方向有没有关系。

容易知道：例1与方向无关，属于第一类曲线积分；例2与方向有关，属于第二类曲线积分。

三、举例辨析不同曲线积分的不同解法：

例1.求 ，其中L是抛物线 上从点A（1，2）到点B（1，-2）的一段弧。

解：L关于 x 轴对称。若函数 是关于y的奇函数，则积分为0。

所以：原式= 0

例2.求 ，其中L是抛物线 上从点A（1，-1）到点B（1，1）的一段。

解：虽然L关于 x 轴对称。但是第二类曲线积分不能用对称性化简，因为第二类曲线积分与方向有关。

取 y 为参数，则L的参数方程为：

综上，在实际教学过程中，我们可以通过更多的实例让学生深刻理解第一类与第二类曲线积分的差异，帮助学生读清楚题目的要求，准确抓出解题方法，以达到简化运算的目的。

参考文献：

[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M].北京：科学出版社，2010.

[3] 罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M].北京：科学出版社，2010.

作者简介：

吴文前（1968—），女，成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士。研究方向：数学教育

（作者单位：成都大學信息科学与工程学院）