非线性双端固支梯形梁压电俘能器结构设计与特性分析

高世桥 闫 丽 金 磊 张希洋 张广义

(1.北京理工大学爆炸科学与技术国家重点实验室， 北京 100081;2.中国科学院宁波材料技术与工程研究所， 宁波 315201)

0 引言

随着微机电技术的发展，微小型、低功耗电子元器件的供电问题得到了广泛关注。振动能广泛存在于自然环境中，具有绿色、无污染、能量密度高等优点，收集振动能并为低功耗电子元器件供能成为研究热点[1-4]。压电俘能器作为一种振动能采集器，具有结构简单、无污染、无电磁干扰、易于小型化等优点，其产生的能量可以满足低功耗电子元器件的需求[5-7]。ROUNDY[8]将末端带有质量块的单悬臂梁式压电俘能器应用在无线传感网络节点中。自然环境中的振动源多为100 Hz以下的低频振动源[9-10]，而单悬臂梁式压电俘能器固有频率大多在100 Hz以上[11-12]，难以达到其谐振频率点，且其带宽窄，输出性能较差。因此，降低压电俘能器的固有频率、拓宽压电俘能器的带宽成为研究重点。ZHANG等[13]设计了三角形、梯形、矩形3种形状的悬臂梁结构，并进行了理论分析与试验验证。谭杨康等[14]对梯形悬臂梁进行了研究,并与矩形悬臂梁作了对比，结果表明，梯形压电片上应力分布更加均匀。改变悬臂梁形状可以在一定程度上降低固有频率、增大开路电压、提高输出功率。另外，为拓宽俘能器带宽，许多学者将非线性因素引入压电俘能器中[15-16]。利用磁铁的非接触磁力引入非线性的方式，可以有效拓宽俘能器带宽，改善输出性能。针对双端固支式压电俘能器，笔者提出一种双端固支矩形梁压电俘能器[17]，并将其输出性能与双端固支梯形梁压电俘能器进行对比分析。

为满足压电俘能器低频、宽带、高效的要求[18-19]，本文提出一种非线性双端固支梯形梁压电俘能器，通过引入非接触磁力，以降低俘能器谐振频率，拓宽带宽，并提高输出功率。

1 结构设计与理论分析

线性双端固支梯形梁压电俘能器结构如图1所示，由梯形压电片、梯形基底梁和位于中间的作为质量块使用的磁铁(质量块磁铁)组成，质量块磁铁两侧对称布置两片梯形压电片。从应力云图(图2)看出，应力主要集中在固支端和质量块磁铁两侧。质量块磁铁可以降低谐振频率，提高振幅并增大压电片应变。

图1 线性双端固支梯形梁压电俘能器结构示意图Fig.1 Linear double-end fixed trapezoidal beam PEH

压电片上下两表面铺设电极，且使质量块磁铁一侧两梯形压电片的下表面电极相连，上下表面电极可通过导线与负载相连，形成回路并对外供能。图3是振型简图，质量块磁铁一侧两压电片受力相反，将两压电片串联可增加输出电压并提高输出功率。在质量块磁铁的上下两侧对称布置相同的固定磁铁，由此引入非接触磁力，利用磁铁间的引力改变俘能器振动幅值，进而改变输出性能，非线性双端固支梯形梁压电俘能器结构如图4所示。

图2 应力云图Fig.2 Stress nephogram

图3 振型简图Fig.3 Mode of vibration diagram

图4 非线性双端固支梯形梁压电俘能器结构示意图Fig.4 Nonlinear double-end fixed trapezoidal beam PEH

图5 压电俘能器等效电路图Fig.5 Equivalent circuit of PEH

线性双端固支梯形梁压电俘能器由机械振动单元和压电俘能单元组成，两部分通过传递因子相互作用。压电俘能器可等效为电流源和电容并联[20]，如图5所示。

压电耦合状态方程[21]为

(1)

(2)

式中me——等效质量

ce——等效阻尼系数

k——梯形梁等效刚度

t——时间

R——外接负载电阻

V(t)——负载两端电压

a(t)——外界激励加速度

z(t)——俘能器位移

θ——机械振动单元与压电俘能单元间的传递因子

C——双端固支梯形梁质量块磁铁一侧两压电片串联电容

βp——压电材料介电常数

ε——梯形梁截面变化率

δ——压电片厚度

L——质量块一侧基底梁总长度

a0——基底梁宽度

磁铁间磁力[22]为

(3)

式中μ0——磁导率

M1、M0——两磁铁磁化强度

在整个高速公路的养护和管理的过程中，成本的管理是贯穿在整个公路养护过程中的，根据当地的实际情况选择合适的养护计划、进行运行和养护成本的预测、监督成本的使用情况、工作人员根据计划的实施情况提出相关的改进建议等都是工作人员需要重点考虑的。我国的高速公路养护和管理历史并不长，因此需要向国外引进相关的经验。国外在这方面的一个非常重要的发展经验就是实现成本管理的制度化和规范化。

V1、V0——两磁铁体积

d——两磁铁之间的静态距离

在外界激励下，当俘能器质量块磁铁的某瞬时振幅为z(t)时，质量块磁铁与上、下固定磁铁之间的作用力分别为Fm1、Fm2，则质量块磁铁受到的非线性磁力为

(4)

式中Mm、Mt、Mb——质量块磁铁和上、下固定磁铁磁化强度

Vm、Vt、Vb——质量块磁铁和上、下固定磁铁体积

为避免梁的塑性变形，应使质量块磁铁受到的非线性磁力小于梁的弹性恢复力。

当俘能器上下两固定磁铁相同，且与质量块磁铁的静态距离分别相等时，将式(4)在俘能器的静态位置处泰勒展开并忽略三阶以上的高阶项，得到

Fm(z(t))=k1z+k3z3

(5)

(6)

(7)

式中k1——非接触磁力引起的线性刚度

则非线性双端固支梯形梁压电俘能器耦合状态方程为

(8)

2 仿真分析

2.1 线性和非线性压电俘能器数值仿真

在建立耦合状态方程的基础上，利用Matlab/Simulink对线性和非线性双端固支梯形梁压电俘能器进行数值仿真，建立的线性仿真模型(图6)和引入非接触磁力后的非线性仿真模型(图7)的相关设计参数如表1所示。通过数值仿真对比线性及非线性两种情况下俘能器的输出性能，分析非接触磁力对俘能器输出性能的影响。

对线性及非线性两种情况进行Matlab/Simulink仿真分析，输出功率随频率变化曲线如图8所示。线性压电俘能器谐振频率为93 Hz，谐振时输出功率为0.175 mW；非线性压电俘能器谐振频率为82 Hz，谐振时输出功率为0.187 mW。引入的非接触磁力使压电俘能器等效刚度降低，谐振频率比线性时小，更易在低频环境中达到谐振状态。非线性压电俘能器谐振时输出功率比线性提高了6.8%，输出性能明显优于线性压电俘能器。

2.2 非线性压电俘能器输出性能影响参数

分析固定磁铁与质量块磁铁间距d、外接负载电阻R、外界激励加速度a3个参数对俘能器输出性能的影响。

图6 线性双端固支梯形梁压电俘能器仿真模型Fig.6 Simulation model of linear double-end fixed trapezoidal beam PEH

外界激励加速度为2 m/s2，固定磁铁与质量块磁铁间距d为18、15、12 mm时，输出功率随频率变化曲线如图9所示。磁铁间距18 mm时，谐振频率为83 Hz，最大输出功率为0.186 mW；磁铁间距15 mm时，谐振频率为82 Hz，最大输出功率为0.178 mW；磁铁间距12 mm时，谐振频率为82 Hz，最大输出功率为0.173 mW。随着磁铁间距的减小，俘能器谐振频率略有下降，最大输出功率降低。

图7 非线性双端固支梯形梁压电俘能器仿真模型Fig.7 Simulation model of nonlinear double-end fixed trapezoidal beam PEH

参数数值介电常数βp/(F·m-1)1.3×10-8等效电容C/F5.148×10-9传递因子θ/(N·V-1)0.002466弹性模量Yp/GPa66等效阻尼系数ce/(N·s·m-1)0.3等效质量me/kg0.02线性时等效刚度k/(N·m-1)6503.1剩磁(钕铁硼)Br/Gs4200磁导率μ0/(H·m-1)4π×10-7

图8 线性及非线性压电俘能器输出性能仿真对比Fig.8 Output performance comparison between linear and nonlinear PEH

图9 不同磁铁间距时输出功率随频率的变化曲线Fig.9 Variation curves of output power with frequency at different spaces between magnets

在外界激励加速度为4 m/s2、磁铁间距15 mm条件下，外接负载电阻R对俘能器输出性能的影响如图10所示。在初始阶段，随着负载电阻的增加，输出功率快速增加，直至输出功率达到最大值；随后输出功率随负载的增加缓慢下降。可以看出，最佳负载在200 kΩ左右。

图10 输出功率随负载电阻的变化曲线Fig.10 Variation curve of output power with load

图11 不同加速度时输出功率随频率的变化曲线Fig.11 Variation curves of output power with frequency at different excitation accelerations

在固定磁铁与质量块磁铁间距d为15 mm情况下，俘能器输出功率随频率变化曲线如图11所示，外界激励加速度为2、3、4 m/s2时，最大输出功率分别为0.185、0.412、0.711 mW。随着加速度的增大，最大输出功率显著增加，俘能带宽增大，谐振频率降低。不同外界激励加速度下输出功率随电阻变化曲线如图12所示。不同加速度下，功率随电阻的变化趋势相同，同一电阻的输出功率随加速度的增大而增大，最佳负载下的输出功率随加速度增大而增大。

图12 不同加速度时输出功率随电阻的变化曲线Fig.12 Variation curves of output power with load at different excitation accelerations

图13 压电俘能器样机Fig.13 Prototype of PEH

图14 试验测试系统Fig.14 Test measuring system1.信号发生器 2.功率放大器 3.示波器 4.激振台 5.动态信号分析仪

3 试验与结果分析

针对线性及非线性双端固支梯形梁压电俘能器设计了样机并搭建了试验测试系统，俘能器样机及试验测试系统分别如图13、14所示。压电俘能器结构模型使用PZT-5H作为压电材料，使用铍青铜作为基底梁材料，线性时使用强力磁铁作为质量块磁铁，非线性时在质量块磁铁上下两侧布置相同的磁铁，使质量块磁铁与上下两相同磁铁之间产生非接触磁力，磁铁均为圆柱型强力磁铁。结构模型参数如表2所示。

试验测试系统中，信号发生器生成简谐信号，简谐信号由功率放大器放大后传递给激振台，激振台带动压电俘能器振动，动态信号分析仪和示波器分别显示外界激励加速度信号及压电俘能器输出电压。

3.1 线性与非线性压电俘能器性能对比

在激励加速度为2 m/s2时，线性及非线性双端固支梯形梁压电俘能器的开路电压随频率变化曲线如图15所示，输出功率随频率的变化曲线如图16所示。此时非线性压电俘能器中固定磁铁与质量块磁铁间距为18 mm，固定磁铁与质量块磁铁间的作用力为引力。测量结果显示，线性压电俘能器谐振频率为90.8 Hz，最大峰峰值电压为34.8 V，带宽为2.5 Hz；非线性压电俘能器谐振频率为81.8 Hz，最大峰峰值电压为33.6 V，带宽为3 Hz。

表2 结构模型参数Tab.2 Structural model parameters mm

图15 线性及非线性时开路电压随频率的变化曲线Fig.15 Variation curves of voltage with frequency

图16 线性及非线性时输出功率随频率的变化曲线Fig.16 Variation curves of output power with frequency

非线性压电俘能器谐振频率降低了9 Hz，带宽增加了0.5 Hz，带宽拓宽了20%，输出功率提高了7.5%，与数值仿真结果一致。

3.2 引力作用下非线性压电俘能器性能测试

通过试验测试研究引力作用下固定磁铁与质量块磁铁间距d、外接负载电阻R、外界激励加速度a3个参数对非线性双端固支梯形梁压电俘能器输出性能的影响。

不同固定磁铁与质量块磁铁间距时非线性压电俘能器的输出性能如图17、18所示。当间距d减小时，非线性压电俘能器谐振频率降低，开路电压略有增大，输出功率下降，与数值仿真结果一致。由于磁铁间距的减小，非线性压电俘能器等效刚度降低，谐振频率下降。磁铁间距是影响非线性压电俘能器输出性能的重要参数，在实际应用过程中需要综合考虑谐振频率与输出功率，使俘能效果达到最优。

图17 不同磁铁间距时开路电压随频率的变化曲线Fig.17 Variation curves of voltage with frequency at different spaces between magnets

图18 不同磁铁间距时输出功率随频率的变化曲线Fig.18 Variation curves of output power with frequency at different spaces between magnets

保持外界激励加速度a为4 m/s2、磁铁间距d为15 mm，输出功率随负载电阻的变化曲线如图19所示。由图19可知，输出功率先随负载电阻的增大快速增加，当电阻为220 kΩ时输出功率最大，随后输出功率随负载电阻的增大而缓慢下降，变化趋势与仿真结果相符合。

图19 输出功率随负载电阻的变化曲线Fig.19 Variation curve of output power with load

图20 不同加速度时输出电压随频率的变化曲线Fig.20 Variation curves of voltage with frequency at different excitation accelerations

图21 不同加速度时输出功率随频率的变化曲线Fig.21 Variation curves of output power with frequency at different excitation accelerations

外界激励加速度分别为2、3、4 m/s23种情况下非线性压电俘能器的输出性能如图20、21所示。由图20、21可知，随着外界激励加速度的增大，非线性压电俘能器谐振频率降低，开路电压、输出功率都显著提高，非线性效应随加速度的增大而增强。

不同激励加速度下输出电压随电阻的变化曲线如图22所示。由图22可知，随着外接负载电阻逐渐增大，负载两端电压增大。不同加速度时，外接负载输出功率随负载电阻变化曲线如图23所示，当加速度2 m/s2时，最佳负载电阻为190 kΩ，对应的输出功率为0.263 mW；当加速度3 m/s2时，最佳负载电阻为200 kΩ，对应输出功率为0.532 mW；加速度4 m/s2时，最佳负载电阻为220 kΩ，对应的输出功率为0.927 mW。由此可以看出，最佳负载电阻随加速度的增大略有增大，最佳负载电阻对应的输出功率有显著提高。

图22 不同加速度时输出电压随电阻的变化曲线Fig.22 Variation curves of voltage with load at different excitation accelerations

图23 不同加速度时输出功率随电阻的变化曲线Fig.23 Variation curves of output power with load at different excitation accelerations

4 结论

(1)建立了非线性双端固支梯形梁压电俘能器耦合状态方程，利用Matlab/Simulink进行数值仿真，并试验测试、对比分析了线性及非线性压电俘能器输出性能，结果表明：非接触磁力的引入使非线性双端固支梯形梁谐振频率降低了9 Hz，带宽拓宽了20%，输出功率提高了7.5%。

(2)研究了引力作用下固定磁铁与质量块磁铁间距、外接负载电阻、外界激励加速度对输出性能的影响。固定磁铁与质量块磁铁间距减小时，非线性压电俘能器等效刚度下降，使得谐振频率降低，更容易达到谐振状态，同时其输出功率有所降低；外接负载电阻变化时，存在一个使输出功率达到最大值的最佳负载电阻；随着外接激励加速度的增加，非线性压电俘能器的输出性能得到提高。