发展学生数学抽象能力的教学策略

许礼光

摘要

数学抽象是形成理性思维的重要基础，它使得数学成为高度概括、准确表达、结论可一般化的系统。根据数学抽象的内涵与要求，基于现实发展抽象，重视抽象过程设计，合理采取抽象方法，让学生经历能在情境中抽象出概念、命题、方法和体系的抽象过程，从而提升学生的数学抽象能力。

关键词

数学抽象 抽象方法 抽象过程

数学抽象能力是舍去现实世界中事物的一切物理属性，得到数学研究对象的能力。数学抽象包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中，抽象出数学概念以及概念间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

数学抽象是学生形成理性思维的基础，它是数学本质特征的反映，使得数学成为高度概括、准确表达、结论可一般化的系统。在抽象能力形成的过程中，可以使学生加深对数学概念、命题、方法和体系的理解，可以使学生有效地理解和掌握数学的本质，可以更好地促进学生养成运用数学抽象思考并解决问题的习惯，积累数学抽象的经验。

一、基于现实发展抽象

史宁中教授认为：数学抽象是从许多事物中舍去个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段。这种基于现实的抽象，是从感性具体上升到理性具体的思维过程。

例如，“温度计”是家庭必备工具，学生非常熟悉。“温度计”以“零度”为界，零上与零下的“气温”从小到大排列，为此我们可设想：将“温度计”看作“直线”，这个直线具有如下数学特征：有原点，有统一的单位长度、有数的增大方向，这样就可将这个“温度计”看成“数轴”了，可以得到数轴上的点可表示正数、0、负数。借助生活中冷暖體验的经验，从而可联系到“数的大小比较”，得到比较有理数大小的“数轴”规则。

“有理数的加法法则”是学生进入初中学习的第一个运算法则，我们可以借助现实情境，设计系列问题，让学生感受引入负数后有理数是如何进行加法运算的。

我们首先作出这样的规定：在足球比赛中赢球为“正”，输球为“负”，这样主场与客场两场比赛的结果可用数学式子表示出来。例如，主场比赛赢2个球，客场比赛输1个球，那么这一轮比赛结果为净胜1个球。根据学生已有的经验，上述结果可这样表示：（+2）+（-1）= +1。接着提出下列问题供学生思考：

1.依照上面的表示，请说出每轮比赛出现的不同结果情形，并用数学式子表示;

2.通过对所列算式的观察，尝试归纳出两个有理数相加的所有情形，并总结有理数的加法法则;

3.“互为相反数的两数和为零”与“法则中异号两数相加的情形”有何联系？

4.两个有理数相加与小学学过的两个数相加有何联系与区别？

这里的设计，既关注学生对有理数加法运算法则的理解，又让学生深刻体会到“负数”的意义和作用。

二、重视抽象过程设计

数学抽象是数学的基本思想。在数学抽象过程中，通过对一类问题情境的观察，发现研究对象的“属性”;通过对“属性”的分析，找出简约化的本质特征，并高度概括;用数学的语言表示出“属性”，使其适合具有“属性”的所有对象;再通过建立联系，纳入学生原有的认知系统。数学抽象活动的顺利进行，关键在于设计合理的问题与任务，让学生在概念、命题、方法和体系的形成过程中，经历数学抽象的过程，这是在知识形成过程中有效积累活动经验的基本策略。

“估算”是数学与生活联系极为紧密的应用，因为生活中经常遇到的是估算而不是精确计算。“估算”涉及理解数的大小、修正调整数字等能力，这些能力均包含在数学抽象的基本特征中。由于估算一般都源自实际问题，因此，我们需关注设置的情境要有现实意义。

例如，我们可以通过对学生熟悉的A4纸的长与宽的估计、度量、折叠等活动，感受数（长度）的大小（长短）及倍数关系，同时感受无理数就在身边。可设计如下的活动：

活动1：观察一张A4纸的两个边长，估计A4纸的长与宽之比;

活动2：度量A4纸的长与宽，求出它们的比值，并与你的估计值进行比较;

活动3：将A4纸按下列图示的方式折叠，说出你的发现;

活动4：将A4纸对折，取其一半，求其长与宽的比并与A4纸的长与宽的比进行比较，说出你得到的结论。

在上述操作的过程中，首先通过观察，估计A4纸的长与宽的大小关系;接着通过度量获得长、宽比的近似值;然后通过折叠，得出“折出的正方形对角线与A4纸的长边重合”，获得A4纸的长、宽的比为[2]∶1。有了这样的经验后，再将A4纸对折“取其一半”，通过观察及之前的折叠方式，发现仍然与A4纸有同样的性质，再通过A4纸的长宽之比计算半张纸的长宽比，进行理性的思考和证实发现的结论，这样的再操作利于学生积累抽象活动的经验。

类似地，在研究三角形时，我们一般遵循“定义、性质、判定”的思路，通过“合情发现性质，猜想性质逆命题的正确性并演绎证明”的方法，研究三角形边的关系、角的关系，以及外角、中线、角平分线、高线的各自关系。上述三角形的研究经验可以上升为一般几何图形的研究经验，我们可将这个方法迁移到四边形研究中，这样学生就会自然地提出四边形到平行四边形的研究问题，自己规划研究方案并实施。通过这样的方法学习了平行四边形的知识系统，这种经验可以引领学生继续构建矩形、菱形、正方形的知识系统，并最终形成“平行四边形——特殊的平行四边形”的知识结构系统，完成平行四边形相关知识的系统抽象。

三、合理采取抽象方法

数学抽象首先是发现属性，其次是特征概括，接着是数学表示。“发现属性”要求学生通过观察、类比、联想和结构分析，从中找出“属性”，并建构出符合“属性”的模型;“特征概括”要求学生能把模型一般化，通过类比、归纳和联想找出一般化后的对象具备的共同特征，可以用式子、图形、表格、程序等表示;“数学表示”要求学生表达准确、简约。

例如，在分式概念教学时，先出示一组具体生活背景的实例。

如果某市绿地面积为520万㎡，人口总数为30万人，那么该市人均拥有绿地[523]㎡。

如果某市绿地面积为a万㎡，人口总数为b万人，那么该市人均拥有绿地[ab]㎡。

我们发现，如果其中的数量仅是小学学过的两个整数，那么其和、差、积都是整数，而商不一定是整数;如果其中的数量是两个字母（或一个字母与一个整数），那么其和、差、积都是整式，而商不是整式，这个“商”的分子、分母都是“整式”，这有点像分数的“除法运算”，用类似分数的式子将这个“商”表示出来，如式子[ab];接着，让学生用类似的方法表示现实世界中其他一些关于两个整式相除但结果不是整式的数量关系，得到若干个式子。

如果长方形玻璃的面积为3㎡，宽是n m，那么它的长是[3n]m。

如果两块面积为m公顷、n公顷的棉田分别产棉花a kg、b kg，那么这两块棉田平均每公顷产棉花[a+bm+n] kg。

观察这些类似分数的式子[ab]、[2a]、[a+bm+n]等，找出它们的共同特征：分子、分母都是“整式”，有点像分数的“除法运算”。根据这个特征，类比分数的定义，命名这类两个整式“商”的式子为分式，并给出“形如[AB]（A、B是整式，B中含有字母）的式子”的定义，通过辨析分式与分数的关系，讨论分式有意义的条件;类比分数的学习经验，构建分式的研究方案：类比分数的基本性质研究分式的基本性质，类比分数的通分研究分式的通分，类比分数的约分研究分式的约分，类比分数的运算研究分式的运算，等等。这样，学生从熟悉的“分数”出发，完成了对“分式”的抽象，同时还明确了分式进一步学习的方向。

在“分式”的学习中，有分式概念的抽象，分式基本性质的抽象，通分与约分方法的抽象，分式的运算法则的抽象等。其中包含了概念的抽象、规则的抽象、方法的抽象，也包括建立分式知识系统的结构抽象。因此我们在教学时，要以某一种抽象方法为主线，将相关抽象方法整合在一起，使各种数学抽象活动有序开展。如分式的起始教学时，我们可以系统结构抽象为线索，以分式概念抽象为重点，把分式概念抽象整合到系统结构抽象的主线中。因此，需要关注类比分数，需要关注从整式的运算出发，通过把分数的分子、分母分别用字母表示出来，实现一般化抽象，从而分离出“整式除法运算”这一特征，发现像分数“除法运算”的式子，通過一般化的概括得到分式的概念，在得到分式的概念后，类比分数提出分式要研究的内容，如性质、运算等，从而初步完成分式整体研究方案的规划。在后续学习中，则分别针对基本性质和各种运算进行规则的抽象。

根据数学抽象的要求，系统有序地设计抽象步骤，合理设计和有效开展抽象活动，可以使学生充分经历数学抽象的过程，从而积累数学活动经验，发展数学抽象能力。

（作者单位：江苏凤凰科学技术出版社基础教育分社）

【参考文献】

[1]林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[2]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[3]董林伟.在数学实验中发展学生的数感[J].中国数学教育，2015（11）.