《简单的三角恒等变换》教学设计

肖奋勇

摘 要半角公式推导过程中主要是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值，教学过程主要是引导学生重点观察余弦的二倍角公式，掌握角的倍、半间关系，不断培养学生的观察能力、灵活运用能力；和差化积、积化和差公式的推导，通过引导学生观察式子的结构，联系两角和（差）的正弦公式，重点突出换元的思想、化归的思想、方程的思想等。

关键词化归、换元、方程、逆向使用公式

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）08-0176-01

一、教学目标

1.通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

二、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、和差化积公式。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

三、教学过程

1.复习公式：

公式变形：

2.例1：试以 表示

【设计意图】在熟练掌握倍角公式的基礎上，理解角的倍、半间的相对性，提高学生的公式变换能力，培养学生运用方程思想、换元思想解决数学问题的能力。

【师生活动】教师——出示问题，让学生自主探究，教师重在引导学生分析角的倍、半间的关系。并注意从一般思路引导：要用一个表示另一个，如果能找到它们之间的一个关系式，那么根据方程思想，问题差不多就可以得到解决了。

总结：掌握各个公式的推导过程，是理解和运用公式的首要环节，熟练地运用公式进行升幂和降幂。

3.思考：（1）已知 ，如何求

（2）代数式变换与三角变换有什么不同呢？

【设计意图】思考：（1）重点培养学生的灵活运用公式的能力，从而引入半角公式，增强学生对三角公式的进一步理解；（2）主要引导学生对“所包含的角，以及这些角的三角函数种类的差异”对三角变换的影响进行认识，从而使学生更好地把握三角恒等变换的特点。

4.例2：求证

（1） ；

（2） 。

【设计意图】本例引出的和差化积和积化和差公式，有其结构上的同构特点，反映了角 的三角函数与角 的三角函数间的内在联系。另外，两式之间又反映了由角 建立的转换关系，这体现了数学上的对应转换即映射反演的思想方法。

（五）变式训练：已知

【设计意图】巩固三角公式，掌握运用三角公式进行恒等变形的常用方法，提高学生的综合解题能力。

【师生活动】师生——学生自主探究，教师根据巡视情况指定具有典型思路的学生上黑板板书。教师进行点评，总结解题方法。

总结：证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方面的关系。方法一可用代入法把 ，再把 ；方法二中可利用恒等式 消去条件中 的方法，即消元法，这是三角变换中常用的方法。

6.课堂小结

【设计意图】通过总结，把学习的三角恒等变换知识进一步归类，使知识系统化，培养学生的综合分析问题的能力。

【师生活动】师生——总结本节涉及的思路和方法：

（1）三角函数式的化简常用方法：

①直接应用公式进行降次、消项；

②化切为弦，异名化同名；

③三角公式的逆用等。

（2）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”。

（七）布置作业：

四、板书设计

简单的三角恒等变换